李信巧 劉娜娜

【摘 要】本文以“指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”為例，闡述思維導(dǎo)圖在教學(xué)中的應(yīng)用，分析思維導(dǎo)圖對培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維的作用，并對思維導(dǎo)圖在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行總結(jié)和反思。

【關(guān)鍵詞】指數(shù)函數(shù) 思維導(dǎo)圖 發(fā)散性思維

【中圖分類號】G? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2019）11B-0098-03

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門學(xué)科，數(shù)學(xué)在培養(yǎng)理性思維、學(xué)科精神和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展過程中發(fā)揮不可替代的作用。思維導(dǎo)圖是一種利用圖形、符號等將大腦的內(nèi)部思維過程進(jìn)行外部呈現(xiàn)的發(fā)散性思維的工具，它能充分地運(yùn)用右腦的圖像功能，幫助人們改善大腦存儲方式。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，使用思維導(dǎo)圖能有效地幫助學(xué)生整理數(shù)學(xué)知識。本文主要論述在教學(xué)實(shí)踐中使用思維導(dǎo)圖培養(yǎng)和提高學(xué)生整理數(shù)學(xué)知識的能力，幫助學(xué)生在解題中提取大腦中存儲的知識點(diǎn)進(jìn)行解題。

一、思維導(dǎo)圖在教學(xué)中的應(yīng)用案例

（一）引出概念

〖問題一〗這兩個(gè)解析式：（t≥0）;y=1.073x（x∈N+，x≤20）有什么共同特點(diǎn)呢？像這樣式子是不是函數(shù)呢？如果是，那么它是什么函數(shù)？

〖?xì)w納〗如果可以用字母 a 代替其中的底數(shù)，那么上述兩式就可以表示成 y=ax 的形式。因?yàn)樽宰兞吭谥笖?shù)位置，所以我們把它稱作指數(shù)函數(shù)。

指數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù) y=ax（a≥0，且 a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)。其中，x 為自變量，函數(shù)定義域?yàn)?R。

〖問題二〗為什么規(guī)定 a≥0，且 a≠1？

教師以問題串的形式，一步步引導(dǎo)學(xué)生歸納指數(shù)函數(shù)的概念，學(xué)生開始在紙上繪制出本節(jié)思維導(dǎo)圖雛形（如圖 1 所示）：

（二）概念辨析

〖例 1〗辨一辨下列函數(shù)中哪些是指數(shù)函數(shù)？

（1）y=4x;（2）y=x4;（3）y=-4x;（4）y=（-4）x;（5）;（6）;（7）y=4-x;（8）y=xx;（9）y=42x;（10）y=（2a-1）x（，且 a≠1）。

〖練一練〗若函數(shù) y=（a2-3a+3）ax 是指數(shù)函數(shù)，求 a 的值。

通過例 1 和練習(xí)進(jìn)一步探討指數(shù)函數(shù)定義中的細(xì)節(jié)，學(xué)生接著完善思維導(dǎo)圖如下（如圖 2 所示）：

（三）性質(zhì)探索

〖問題三〗研究函數(shù)一般包括哪些方面？

探究一：小組合作。結(jié)合課本提示從圖象和解析式這兩個(gè)不同的角度研究以下函數(shù)的值域、單調(diào)性、奇偶性并歸納。

繪圖：（1）y=2x;（2）y=3x;（3）;（4）。

步驟：列表、描點(diǎn)、繪圖。

要求：選取的點(diǎn)必須包含 x=-1，x=0，x=1 這三個(gè)點(diǎn)。

引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象的特點(diǎn)，進(jìn)而得出 a>1 和 0

以小組為單位結(jié)合課本所給提示，完成四個(gè)指數(shù)函數(shù)圖象的繪制。根據(jù)所學(xué)函數(shù)性質(zhì)對指數(shù)函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行探討，并添加至思維導(dǎo)圖中（如圖 3 所示）：

（四）拓展提升

〖例 2〗函數(shù) y=ax-3-2（a>0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn) P，則 P 點(diǎn)坐標(biāo)為? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

〖例 3〗比較下列各組數(shù)的大小。

（1）1.72.5 1.73;? ? ?（2）0.7-0.1 0.8-0.2;

（3）1.70.3 0.73.1;? ?（4）30.1 20.1。

以其中一個(gè)小組思維導(dǎo)圖為例，進(jìn)行講解完善。師生共同構(gòu)建并完成本節(jié)課的思維導(dǎo)圖（如圖 4 所示）：

【例 2 教學(xué)片段】

師：函數(shù) y=ax-3-2（a>0，a≠1）的圖象恒過的定點(diǎn) P 的坐標(biāo)是什么？我們先觀察這個(gè)函數(shù)類型，再做下一環(huán)節(jié)的判斷。

生：這個(gè)是指數(shù)型函數(shù)。

師：指數(shù)型函數(shù)的特點(diǎn)是不是和指數(shù)函數(shù)有關(guān)？

生：是。

師：那有哪些是相關(guān)的？可以怎么解決？

生：根據(jù)指數(shù)函數(shù)恒過定點(diǎn)（0，1）可以進(jìn)行推測，當(dāng) ax-3 中 x-3 為 0 時(shí)不管 a 在定義域內(nèi)進(jìn)行怎樣的變化都不會改變 y 的值，由此可以確定定點(diǎn)的坐標(biāo)。

師：很好，那下面請同學(xué)們根據(jù)自己的思考，繪制這道題的思維導(dǎo)圖，可以進(jìn)行盡可能地?cái)U(kuò)散。

師：好，現(xiàn)在我給大家展示一下 C 同學(xué)的思維導(dǎo)圖（圖 5）。

【課后練習(xí)教學(xué)片斷】

師：通過對本節(jié)課的學(xué)習(xí)，請同學(xué)們完成課本上 59 頁 A 組題目中的第 7 題第 1 小題，時(shí)間兩分鐘。

師：好，在剛剛的巡視當(dāng)中，發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)都能快速地使用思維導(dǎo)圖將練習(xí)完成，而且除了老師布置的，還額外完成了其他題目。請大家一起來看一下 A 同學(xué)的思維導(dǎo)圖（如圖 6 所示）。

師：我們可以看到，A 同學(xué)將指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用得非常好，而且總結(jié)了指數(shù)函數(shù)比較大小的一些方法。但是除此我們還有哪些方法？

生：還可以通過中間值去比較。

師：對，那我們在自己的解題思維導(dǎo)圖上加上去。我們這節(jié)課就到這，課后請同學(xué)們將指數(shù)函數(shù)的思維導(dǎo)圖加入函數(shù)類型的思維導(dǎo)圖中，并進(jìn)行完善。

【應(yīng)用案例分析】

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)。在研究指數(shù)函數(shù)性質(zhì)之前，學(xué)生對函數(shù)已經(jīng)有了一定的了解，知道研究函數(shù)應(yīng)該從哪些方面入手。教師緊緊圍繞“指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”這一中心內(nèi)容展開本節(jié)課的教學(xué)。本節(jié)課的難點(diǎn)在于對指數(shù)函數(shù)模型的認(rèn)識，通過概念辨析之后學(xué)生對指數(shù)函數(shù)的模型有了一定的了解。教師此時(shí)要求學(xué)生繪制思維導(dǎo)圖將知識點(diǎn)以圖片的形式展現(xiàn)，使學(xué)生直觀地發(fā)現(xiàn)重點(diǎn)、難點(diǎn)、易錯點(diǎn)間的關(guān)系。同時(shí)，整節(jié)課堂利用思維導(dǎo)圖將知識點(diǎn)聯(lián)系在一張圖片上，課程內(nèi)容講解結(jié)束后學(xué)生能在筆記本上留下完整的關(guān)于“指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”的思維導(dǎo)圖。這樣的課堂，學(xué)生參與度比較高，能有效地將知識進(jìn)行整理歸類，為后繼學(xué)習(xí)奠定良好的知識基礎(chǔ)。

傳統(tǒng)的解題教學(xué)模式幾乎是教師對問題進(jìn)行分析，將相關(guān)的內(nèi)容羅列在黑板上，再讓學(xué)生進(jìn)行求解。使用思維導(dǎo)圖解題分析模式，區(qū)別于常規(guī)課堂中教師分析的模式，它把分析過程以思維導(dǎo)圖的方式呈現(xiàn)，使分析過程更加清晰，也使學(xué)生在解題分析中進(jìn)一步深化題目所涵蓋的知識點(diǎn)。這種模式將被動的學(xué)習(xí)方式變?yōu)閷W(xué)生主動學(xué)習(xí)的方式?？梢?，教師在課堂上利用思維導(dǎo)圖輔助教學(xué)能充分地調(diào)動學(xué)生解題分析的積極性，將腦海中的對數(shù)學(xué)問題所設(shè)想的可能寫在紙上，方便學(xué)生找到問題解決的辦法，取得舉一反三的學(xué)習(xí)效果。

二、思維導(dǎo)圖對培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維的作用

思維導(dǎo)圖事實(shí)上是對學(xué)生思考過程進(jìn)行有型的記錄。學(xué)生在學(xué)習(xí)新的知識和解題上，往往會遺忘某些知識點(diǎn)，導(dǎo)致無法解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。思維導(dǎo)圖對培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維具有幾個(gè)方面的作用：

其一，能有效幫助學(xué)生將零散的知識點(diǎn)歸類到完整的數(shù)學(xué)體系中。學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，往往是先接收到零散的知識點(diǎn)，課后再將零散的知識點(diǎn)匯總到相關(guān)的知識體系中，以便更好地理解和運(yùn)用知識。

其二，能有效地幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題。在數(shù)學(xué)問題解決的過程中，學(xué)生可以通過繪制解題思路的思維導(dǎo)圖，能更好地尋找更多的解決問題的途徑，有效地幫助學(xué)生更全面地分析和解決數(shù)學(xué)問題。

其三，思維導(dǎo)圖能改善學(xué)生存儲知識點(diǎn)的方式，幫助學(xué)生調(diào)動右腦參與學(xué)習(xí)。

三、在數(shù)學(xué)教學(xué)中使用思維導(dǎo)圖的思考

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中只起到引導(dǎo)作用。思維導(dǎo)圖在教學(xué)中的應(yīng)用，能恰當(dāng)?shù)貙?shù)學(xué)課堂交回給學(xué)生，使學(xué)生能夠根據(jù)教師所給的提示進(jìn)行探索?，F(xiàn)根據(jù)教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行總結(jié)，為今后在數(shù)學(xué)教學(xué)中使用思維導(dǎo)圖提供參考。

在訓(xùn)練上，教師要結(jié)合學(xué)生現(xiàn)有知識基礎(chǔ)及學(xué)習(xí)行為習(xí)慣，循循善誘，幫助學(xué)生盡快熟練數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖的繪制方法、技巧，逐漸形成自己個(gè)人特點(diǎn)。學(xué)生初學(xué)思維導(dǎo)圖時(shí)，不同的學(xué)生會遇到不同的困難，因此，教師要深入了解學(xué)生所遇到的困難，并及時(shí)解決。特別要注意的是，成績處于中下水平的學(xué)生由于受自身數(shù)學(xué)知識儲備的限制，接受并使用思維導(dǎo)圖的程度會比較困難，因此要循序漸進(jìn)，逐步提高。

在教學(xué)設(shè)計(jì)上，教師要充分考慮在課堂上使用思維導(dǎo)圖是否有效，學(xué)生能否根據(jù)教師的引導(dǎo)繪制相關(guān)思維導(dǎo)圖。要做好預(yù)設(shè)，預(yù)測學(xué)生在繪制思維導(dǎo)圖時(shí)，可能遇到的各種問題。教師最好能事先提前繪制一份完整的完善的思維導(dǎo)圖，以便在教學(xué)中能更好地幫助學(xué)生提出更好的修改建議。

在教學(xué)過程中，思維導(dǎo)圖在各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)都可以使用，但在知識梳理、解題分析、解題反思等環(huán)節(jié)應(yīng)用會更高效。思維導(dǎo)圖的有效性在一定程度上體現(xiàn)學(xué)生對知識、條件的分析和整理能力。如果學(xué)生沒有系統(tǒng)地歸納和整理數(shù)學(xué)知識的能力，那么在數(shù)學(xué)問題解決上也會遇到很大的困難。因此教師在教學(xué)過程中可以這樣處理，一是在訓(xùn)練學(xué)生使用思維導(dǎo)圖的過程中要循序漸進(jìn)，充分關(guān)注學(xué)習(xí)成績處于差等的學(xué)生對思維導(dǎo)圖的掌握情況，只有這樣才能更好地幫助本就成績差的學(xué)生找到新的學(xué)習(xí)方式;二是在課堂上預(yù)留充足的時(shí)間給學(xué)生使用思維導(dǎo)圖對知識進(jìn)行歸納整理;三是在使用思維導(dǎo)圖的過程中要深入了解不同的學(xué)生所遇到的問題，及時(shí)幫助學(xué)生解決遇到的困難;四是在復(fù)習(xí)、解題等思維導(dǎo)圖的繪制上，要充分尊重學(xué)生的主體地位，發(fā)揮小組合作的作用，讓學(xué)生互評互改思維導(dǎo)圖，并互相完善，必要時(shí)教師可參與一起繪制思維導(dǎo)圖。

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【基金項(xiàng)目】玉林師范學(xué)院2014年度“MS -EEPO 有效教育”教學(xué)改革項(xiàng)目“基于‘MS-EEPO有效教育框架下培養(yǎng)師范生數(shù)學(xué)教學(xué)技能的研究與實(shí)踐”（14EEPO10）。

【作者簡介】李信巧，玉林師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授，廣西高中數(shù)學(xué)課改專家組成員，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)課程與教學(xué)論、思維導(dǎo)圖與數(shù)據(jù)驅(qū)動教學(xué);劉娜娜，碩士，玉林師范學(xué)院商學(xué)院教師，主要研究方向數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論，數(shù)學(xué)教育技術(shù)。

（責(zé)編 盧建龍）