張偉

[摘? 要] 通過對教學(xué)設(shè)計和課堂的觀察，文章作者發(fā)現(xiàn)兩位教師在同課異構(gòu)課中對教學(xué)起點的設(shè)置、探究過程的層次、認知策略的導(dǎo)向都有不同的思考. 文章主要從“三個理解”方面去分析兩位教師的教學(xué)設(shè)計，分析其不足與優(yōu)點.

[關(guān)鍵詞] 二次根式;教學(xué)設(shè)計;理解數(shù)學(xué);理解學(xué)生;理解教學(xué)

背景簡介

2017年12月，筆者有幸在師徒結(jié)隊活動中聆聽到兩位教師的同課異構(gòu)課——浙教版數(shù)學(xué)教材八年級下冊“二次根式的性質(zhì)”第2課時，雖然教學(xué)內(nèi)容相同，但他們的教學(xué)風格不同，有不同的呈現(xiàn)方式，也存在值得商榷的地方. 第2課時是學(xué)生在使用第1課時的性質(zhì)時出現(xiàn)“知識沖突”，無法運用第1課時的知識來解決實際問題，進而繼續(xù)探究新的方法，進一步經(jīng)歷二次根式性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程，體驗歸納、類比的思想方法. 同時要讓學(xué)生了解“最簡二次根式”的概念，結(jié)合二次根式的性質(zhì)化簡二次根式. 下面筆者從理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)三個方面對這兩節(jié)課進行對比分析，并談?wù)剛€人的幾點思考.

案例簡述

1. 簡述A教師的教學(xué)流程

A教師上課時先讓學(xué)生計算兩個式子，回顧上節(jié)課的內(nèi)容，接著進行新課引入：“積的乘方等于各個因數(shù)乘方的積，商的乘方等于分子的乘方除以分母的乘方的商[1]”，那積的算術(shù)平方根和商的算術(shù)平方根又會有什么結(jié)論？這節(jié)課我們就來探索這一新知識.

例1? 請完成下面的計算，并根據(jù)你的計算結(jié)果猜想結(jié)論.

（1）=_________，×=________;

（2）=_________，×=________;

（3）=_________，×=________.

通過上面的三組計算，師生共同歸納出“積的算術(shù)平方根等于算術(shù)平方根的積”這一結(jié)論，并用符號表示：=·（a≥0，b≥0）.

例2? 請完成下面的計算，并根據(jù)你的計算結(jié)果猜想結(jié)論.

（1）=____________，=________;

（2）=___________，=________;

（3）=__________，=________.

通過上面的三組計算，師生共同歸納出“商的算術(shù)平方根等于分子的算術(shù)平方根除以分母的算術(shù)平方根的商”這一結(jié)論，并用符號表示：=（a≥0，b>0）.

接著，教師從例2中得出“最簡二次根式”的概念，并給出例3.

例3? 化簡.

（1）=________;

（2）=________;

（3）=________;

（4）=________;

（5）=________;

（6）=________.

接下來，A教師對a，b的符號進行了特別說明，提出假如a<0，b<0，應(yīng)如何處理，最后進行總結(jié)、反思.

……

2. 簡述B教師的教學(xué)流程

師：我們前面已經(jīng)學(xué)過兩數(shù)乘積的算術(shù)平方根，下面請大家計算的結(jié)果.

生：用豎式計算結(jié)果得出根號內(nèi)兩數(shù)的乘積為33124，然后就不知道如何計算算術(shù)平方根了.

師：我們發(fā)現(xiàn)當兩數(shù)乘積比較大的時候，不能方便地求出算術(shù)平方根，有沒有較為簡便的方法求出結(jié)果呢？這節(jié)課我們就來探索、研究一下.

（教師板書課題）

師：計算下列三組式子.

（1）=______， ×=______;

（2）=_________， ×=______;

（3）=______， ×=______.

觀察左、右兩邊的式子，你有怎樣的猜想？你能用字母表示出你的猜想嗎？（學(xué)生根據(jù)兩邊的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)兩邊相等）

師：于是我們可以猜想“積的算術(shù)平方根等于算術(shù)平方根的積”這一命題，即=·（a≥0，b≥0）. 但這僅僅是我們通過三組式子得到的猜想，那這一命題是否在一般情況下都成立呢？我們還需要進一步驗證.

（接下來B教師直接板書證明過程）

師：通過嚴密的推理論證，我們終于可以肯定這一命題是正確的. 同時我們也總結(jié)出了探索新事物的一般方法：取值→觀察→猜想→驗證. 這也是我們以后探索新事物的一般方法.

師：那“商的算術(shù)平方根等于算術(shù)平方根的商”嗎？（B教師給出三組數(shù)據(jù)，并要求學(xué)生自己動手進行計算和驗證）

接著B教師給出了例1：（1）=______;（2）=________;（3）（s≥0）=______;（4）=______. 先處理前三道小題，并得出“最簡二次根式”的概念，然后處理第（4）小題. 隨后布置了四道類似的小題要求學(xué)生動手計算.

接下來，B教師講解了例2：（1）=______;（2）=______;（3）=______.

……

案例評析

1. 從導(dǎo)入部分看教學(xué)起點設(shè)置的合理性

A教師先讓學(xué)生回顧了“積的乘方等于各個因數(shù)乘方的積;商的乘方等于分子的乘方除以分母的乘方的商”這一結(jié)論，然后類比提出：積的算術(shù)平方根和商的算術(shù)平方根又會有什么結(jié)論？揭示本節(jié)課的探究方向，并板書課題.

B教師首先讓學(xué)生回顧了第1課時二次根式的性質(zhì)，隨后計算兩個較大數(shù)乘積的算術(shù)平方根，引導(dǎo)學(xué)生運用第1課時的性質(zhì)去計算，結(jié)果發(fā)現(xiàn)計算的過程很艱辛，隨后提出：有沒有較簡便的方法來解決這一類問題呢？猜想本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并板書課題.

對比評析? A教師在知識引入部分先回顧兩數(shù)積和兩數(shù)商的乘方運算，為探索新知識做鋪墊，但乘方運算不是本節(jié)課的知識生長點，只需做簡單回顧，不需要刻意讓學(xué)生去計算，因為這樣的操作可能會造成“負遷移”，使學(xué)生在“入戲”部分削弱學(xué)習(xí)興趣. 而B教師雖然也是復(fù)習(xí)引入，但復(fù)習(xí)的知識點與A教師有所不同. B教師在知識的生長點處創(chuàng)設(shè)問題情境，容易激發(fā)學(xué)生繼續(xù)探究的興趣. 奧蘇貝爾的有意義學(xué)習(xí)理論認為：創(chuàng)設(shè)一定的“問題情境”，能夠使學(xué)生對知識本身產(chǎn)生興趣，進而產(chǎn)生認知需要，產(chǎn)生一種要學(xué)習(xí)的傾向，從而能夠激發(fā)學(xué)習(xí)的動力[2]. 由此可見，B教師找準了二次根式性質(zhì)的“生長點”，使得探究引入過程自然，比A教師設(shè)計的立意更高、更合理.

2. 從新知構(gòu)建看探究過程的層次性

A教師在新知構(gòu)建環(huán)節(jié)，用“四環(huán)節(jié)”完成了性質(zhì)的探究過程.

第一環(huán)節(jié)，計算結(jié)果，初步感知. 給出三組“積的算術(shù)平方根”的計算題，這三組數(shù)都比較小，而且都是完全平方數(shù). 學(xué)生較輕松地完成了計算，隨后A教師讓學(xué)生觀察每一組式子，用文字語言敘述猜想的結(jié)論. 最后A教師用符號語言歸納出“積的算術(shù)平方根等于算術(shù)平方根的積”這一結(jié)論. 第二環(huán)節(jié)，再給出另外三組“商的算術(shù)平方根”的計算題，按照第一環(huán)節(jié)的操作流程展開課堂教學(xué)，最后也用符號語言歸納出“商的算術(shù)平方根等于分子的算術(shù)平方根除以分母的算術(shù)平方根的商”這一結(jié)論. 第三環(huán)節(jié)，質(zhì)疑再驗，辨析新知. 教師質(zhì)疑：對于剛才我們得到的結(jié)論，為什么a≥0，b≥0或b>0呢？那對于負數(shù)是不是就不能用這個性質(zhì)了呢？第四環(huán)節(jié)，分析要點，歸納反思. 要求學(xué)生從中注意性質(zhì)2（即積的算術(shù)平方根等于算術(shù)平方根的積，商的算術(shù)平方根等于分子的算術(shù)平方根除以分母的算術(shù)平方根的商）的適用條件. 若遇到兩負數(shù)積的算術(shù)平方根時，應(yīng)如何處理，揭示出“符號”在性質(zhì)2中的必要性.

B教師在新知構(gòu)建環(huán)節(jié)，也用“四環(huán)節(jié)”完成性質(zhì)的探索過程.

第一環(huán)節(jié)，計算結(jié)果，初步感知. 教師給出三組有代表性的式子（包含完全平方數(shù)和非完全平方數(shù)），要求學(xué)生完成計算結(jié)果. 因為前兩組都是完全平方數(shù)，學(xué)生容易完成，發(fā)現(xiàn)第三組式子需要用到計算器，于是B教師從電腦中調(diào)出計算器演示給學(xué)生看. 第二環(huán)節(jié)，觀察形式，猜想論證. 引導(dǎo)學(xué)生猜想、歸納出結(jié)果，并用符號語言歸納出“積的算術(shù)平方根等于算術(shù)平方根的積”這一猜想. B教師提出：那這一命題是否在一般情況下都成立呢？我們還需要進一步驗證. 于是教師依據(jù)算術(shù)平方根的概念和記法把論證過程演示給學(xué)生看，這樣便把這一猜想上升為結(jié)論，成為性質(zhì). 第三環(huán)節(jié)，回顧反思，提煉方法. 教師引領(lǐng)學(xué)生回顧剛才的探索過程，總結(jié)出探索新事物的一般方法：取值→觀察→猜想→驗證，其實也是從特殊到一般的過程體驗. 第四環(huán)節(jié)，類比模仿，自主探究. B教師用事先設(shè)置好的三組“商的算術(shù)平方根”的式子，讓學(xué)生類比剛才的探索路線，自主探索，得出相應(yīng)的結(jié)論.

對比評析? 在新知的構(gòu)建過程中，兩位教師都是以問題引領(lǐng)，讓學(xué)生有充足的時間、充分的機會經(jīng)歷從特殊到一般的探究過程. 不同的是，A教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了“計算→觀察→猜想→結(jié)論”這一過程;B教師先讓學(xué)生經(jīng)歷“計算→觀察→猜想→驗證→結(jié)論”這一過程，然后利用商的算術(shù)平方根（類比積的算術(shù)平方根）深化、鞏固了完整的探究過程. 過程中兩位教師都運用信息技術(shù)手段輔助教學(xué).

縱觀性質(zhì)教學(xué)的過程，教師的教學(xué)設(shè)計不僅要有深度，還要有廣度;學(xué)生參與教學(xué)的過程，不僅要明“法”，而且要明“理”，應(yīng)在掌握“四基”的基礎(chǔ)上，提高學(xué)生的能力，使數(shù)學(xué)理性精神在學(xué)生身上得到體現(xiàn)[3]. 但也存在商榷的地方，如A教師在引導(dǎo)學(xué)生計算出“積的算術(shù)平方根”后，猜想出這一結(jié)果，并直接作為結(jié)論（性質(zhì)2）. 從性質(zhì)教學(xué)的完備性來看，缺乏必要的證明難以讓學(xué)生信服. 執(zhí)教者注重引導(dǎo)學(xué)生探索，但最后沒有回歸到理性層面上來，顯得不夠厚重. 再者，在探索出“積的算術(shù)平方根”后，又緊接著來探索“商的算術(shù)平方根”，讓學(xué)生繼續(xù)重復(fù)前面的探索過程，顯得累贅. B教師引導(dǎo)學(xué)生探究出性質(zhì)后，對性質(zhì)進行了簡短、必要的證明，這里便很好地找準了“契機”——讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的嚴密性. 但該教師在總結(jié)探索新事物的方法時，歸納的關(guān)鍵詞還不夠貼切、形象、生動，學(xué)生未必能真正理解這一過程，使得這一“遷移”落實不到學(xué)生內(nèi)心深處，凸顯不了育人的功能.

3. 從性質(zhì)運用看認知策略的導(dǎo)向性

A教師在基礎(chǔ)訓(xùn)練部分設(shè)置例1（積的算術(shù)平方根）、例2（商的算術(shù)平方根），并從例2中得出“最簡二次根式”的概念，最后運用性質(zhì)及最簡二次根式處理例3……

B教師在基礎(chǔ)訓(xùn)練部分，按照課本中的例1來設(shè)置（只不過將例1（3）改成含字母的式子）. 然后先講前三個小題，進而歸納出“最簡二次根式”的概念，再處理第（4）小題……

對比評析? 兩位教師設(shè)計的基礎(chǔ)訓(xùn)練都來自課本中的練習(xí)題，認知策略導(dǎo)向不同、跨度不同. A教師設(shè)置的例1從簡單入手，是鞏固性質(zhì)學(xué)習(xí)的有利“契機”，然后從例2的題型中歸納出“最簡二次根式”的概念，符合知識的生長過程. B教師則先通過三個小題，白描出“最簡二次根式”的概念，再用這個定義處理第（4）小題，這樣的設(shè)計不符合教材的意圖，使得“最簡二次根式”概念的得來不夠自然，有牽扯之嫌.

幾點思考

1. 理解數(shù)學(xué)

從教材呈現(xiàn)的內(nèi)容來看，本節(jié)課有三部分的內(nèi)容：一是經(jīng)歷類比、發(fā)現(xiàn)、歸納出二次根式的積和商的性質(zhì)的過程;二是要特別關(guān)注關(guān)系式中的字母的取值范圍;三是最簡二次根式的直觀標準及二次根式的化簡步驟. 那么，本節(jié)課中蘊含著哪些數(shù)學(xué)知識和思想方法？首先，該節(jié)課要讓學(xué)生看到“二次根式”的影子（形式），二次根式的本質(zhì)是數(shù)的算術(shù)平方根，這也是培養(yǎng)學(xué)生“在系統(tǒng)一致”的理念下進行學(xué)習(xí). 其次，本節(jié)課的學(xué)習(xí)是從第1課時的性質(zhì)入手，歸納、類比出性質(zhì)，體現(xiàn)了“邏輯連貫”的理念. 再者，這節(jié)課的重點是“積和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)”，它的本質(zhì)是什么？學(xué)生在第1課時中已經(jīng)初步認識了“（）2=a（a≥0）及=a”，也就是說，在第1課時我們見到根號里的數(shù)都是單獨一個數(shù)或一個完全平方式，但在第2課時碰到了根號里有兩個數(shù)（或多個數(shù)、式），此時如果先將根號里的數(shù)（式）算出最后的結(jié)果，會導(dǎo)致最終算術(shù)平方根的得出蒼白無力，凸顯不了數(shù)學(xué)的靈動美，為此將根號里設(shè)置兩個數(shù)（式），通過類比，歸納性質(zhì). 因此，它的本質(zhì)就是“積或商的算術(shù)平方根等價于形式類同的算術(shù)平方根”.

2. 理解學(xué)生

本節(jié)課伊始，課本中呈現(xiàn)出四組式子，可以看出第（2）（4）式子難以計算出最終結(jié)果，是否放棄這組式子，另辟蹊徑呢？這四組式子囊括乘、除的多種數(shù)據(jù)（完全平方數(shù)、非完全平方數(shù)）的計算，其核心是讓學(xué)生從慢教育的過程中體會積的二次根式的性質(zhì)，然后類比出商的二次根式的性質(zhì). 學(xué)生是在學(xué)完性質(zhì)1后來學(xué)習(xí)性質(zhì)2的，雖然已有一定的初步經(jīng)驗，但是還是難以用較為簡單的方法來解決這些問題. 筆者認為B教師設(shè)置得較為合理. 通過三組積的二次根式的式子（包括完全平方數(shù)、非完全平方數(shù)），猜測、歸納出積的二次根式的性質(zhì)，然后再類比出商的二次根式的性質(zhì). 同時B教師總結(jié)出研究新事物的一般步驟：取值→觀察→猜想→驗證→結(jié)論，這一過程能較好地培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的理性精神. 另外，在教學(xué)中，教師要根據(jù)初中生的認知水平，從簡單到復(fù)雜，從特殊到一般地研究探索問題. 教學(xué)中一方面需要學(xué)生動手實踐，另一方面可以借助“計算器”快速、準確地得出結(jié)果并幫助學(xué)生直觀地觀察結(jié)果，這樣的操作有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論，從而突出重點.

3. 理解教學(xué)

章建躍博士認為：理解教學(xué)，當然是對數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律的認識和教學(xué)機智的敏銳水平. 理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生是把數(shù)學(xué)教好，發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人功能的前提條件，但如果在理解教學(xué)上不到位，同樣不能達到目的[2]. B教師通過問題引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，在自主探究、合作交流中感悟、體會“上位”知識過程，積累豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗. 新課程倡導(dǎo)民主、探究、和諧的課堂，有放就有收. “放”是為了彰顯學(xué)生的主體地位，培養(yǎng)學(xué)生的動手實踐、勇于創(chuàng)新學(xué)習(xí)品質(zhì);“收”則是為了體現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用，是教師駕馭課堂的能力體現(xiàn). B教師沒有按照課本那樣設(shè)置四組小題，而是先組織學(xué)生計算“積的算術(shù)平方根”，然后學(xué)生類比探究“商的算術(shù)平方根”，這種收放自如的形式，極大地激發(fā)了學(xué)生的求知欲望，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，重過程，輕形式. A教師在設(shè)置例題時，能很好地遵從“循序漸進”原則，讓學(xué)生在不知不覺中進入下一環(huán)節(jié)，這也是A教師的教學(xué)藝術(shù)所在.

參考文獻：

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