何婷

【摘要】橢圓離心率作為橢圓幾何性質(zhì)基礎(chǔ)上發(fā)展出來(lái)的拓展課程，它既可以輔助學(xué)生以公式法求解橢圓離心率問(wèn)題，還可以使用一些特別的技巧跟快捷的方法解決橢圓的離心率問(wèn)題.它可以引導(dǎo)學(xué)生從橢圓基礎(chǔ)的定義入手，去了解更深層次的幾何問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的思維活動(dòng)，提高學(xué)生的計(jì)算能力.橢圓離心率的計(jì)算也可以使學(xué)生認(rèn)識(shí)到如何將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

【關(guān)鍵詞】橢圓離心率;高中數(shù)學(xué);解題方法

高考中出現(xiàn)的橢圓相關(guān)的題目的難度適中，但是還是要求學(xué)生有一定的作圖分析能力.學(xué)生要在橢圓離心率的問(wèn)題中，學(xué)生普遍感受是入手容易，計(jì)算難.其實(shí)主要體現(xiàn)在幾個(gè)方面的問(wèn)題，首先是對(duì)題目的理解和一些條件之間的等價(jià)代換，其次是整合問(wèn)題與解題路徑的選擇，最后一個(gè)問(wèn)題就是學(xué)生處理問(wèn)題時(shí)的計(jì)算能力.這三點(diǎn)成為制約學(xué)生掌握好這部分知識(shí)的命門(mén)，所以要想熟練的求解橢圓離心率問(wèn)題，就一定要掌握一定的方法.

一、對(duì)求解橢圓離心率時(shí)學(xué)生出現(xiàn)的主要問(wèn)題

（一）求解一道數(shù)學(xué)問(wèn)題最開(kāi)始的問(wèn)題就是理解題目的本意，而要完成這個(gè)目標(biāo)的必要工具就是對(duì)題目中的相關(guān)概念的理解和掌握.橢圓離心率的問(wèn)題也是這樣，只有真正的把握概念、注意概念產(chǎn)生的背景以及變化，才能正確分析題目.而有一些學(xué)生并不重視對(duì)概念的理解及其演變，導(dǎo)致解題的時(shí)候?qū)︻}目理解不是很到位，對(duì)題設(shè)的隱含條件不會(huì)挖掘.最后題目做不對(duì).例如，為什么初中所學(xué)的方程y=1x所對(duì)應(yīng)的圖像也叫雙曲線，它和高中所學(xué)的雙曲線x2a2+y2b2=1（其中a>0，b>0）有什么區(qū)別和聯(lián)系？這樣的問(wèn)題學(xué)生就在弄不懂題目本意的時(shí)候出現(xiàn)回答錯(cuò)誤.

（二）還有些問(wèn)題體現(xiàn)在解題方法的選擇和對(duì)條件的整合，一道數(shù)學(xué)題無(wú)論其萬(wàn)般變化，但最后都是圍繞核心知識(shí)點(diǎn)展開(kāi)，當(dāng)學(xué)生的知識(shí)體系完善后，就會(huì)面對(duì)解題思路和方法的選擇上.學(xué)生經(jīng)常找不到正確的方法或者找到的方法步驟煩瑣易錯(cuò)，所以對(duì)這樣的情況，需要教師對(duì)解題方法系統(tǒng)化，讓學(xué)生快速分析條件，選擇方法，正確解題

（三）最后一個(gè)問(wèn)題也是最根本的問(wèn)題：學(xué)生的計(jì)算能力.即使學(xué)生的方法煩瑣，只要計(jì)算能力可以，也是有作對(duì)題目的可能性的.所以要學(xué)生學(xué)會(huì)解橢圓離心率問(wèn)題，更要從根本上解決學(xué)生計(jì)算能力的問(wèn)題，大部分學(xué)生計(jì)算能力提不上來(lái)主要是在公式運(yùn)用以及數(shù)字計(jì)算上的不靈活性所局限的.許多教學(xué)模式都認(rèn)為學(xué)生應(yīng)該“多想一點(diǎn)，少算一點(diǎn)”.而正是這樣的想法就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生一些最基本的計(jì)算上出現(xiàn)差錯(cuò).

二、橢圓離心率的求解思路

對(duì)橢圓離心率的求解問(wèn)題主要可以采用數(shù)形結(jié)合的思想，以“代數(shù)法”和“幾何法”的形式進(jìn)行解題.以下面例題為例進(jìn)行說(shuō)明.

例?求F1，F(xiàn)2為左右焦點(diǎn)的橢圓x2a2+y2b2=1，點(diǎn)A，B在橢圓上，使四邊形AF1F2B為正方形，求橢圓離心率e？

（一）利用“代數(shù)法”解決這個(gè)問(wèn)題，可以使問(wèn)題“點(diǎn)在橢圓上”轉(zhuǎn)變?yōu)椤包c(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程”，通過(guò)把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入橢圓方程，可以得到滿足a，b，c關(guān)系的方程，另外利用離心率是“ac”的代數(shù)特征，在引導(dǎo)學(xué)生將方程變形成關(guān)于“ca”結(jié)構(gòu)的方程，同時(shí)提示學(xué)生記住通徑長(zhǎng)度的一半，就可以知道正方形的邊長(zhǎng)便是2c，也就是通徑的一半，列出方程求e，這種方法的計(jì)算會(huì)相對(duì)簡(jiǎn)單.

數(shù)學(xué)中代數(shù)的方法解決問(wèn)題是很常見(jiàn)的，尤其是遇到一些十分復(fù)雜的未知量的時(shí)候，引入代數(shù)法，化未知為已知.這樣的方法可以大大地降低問(wèn)題的復(fù)雜程度，同時(shí)在很多問(wèn)題中沒(méi)有確切的數(shù)字只有復(fù)雜的代數(shù)關(guān)系，這樣的題目從代數(shù)法的角度入手，只要熟練的把握其中的每一個(gè)量之間的關(guān)系，就可以把握題目的思維路線，并且通過(guò)簡(jiǎn)單的未知量求解就可以算出答案，這樣的方法可以是學(xué)生通過(guò)整理?xiàng)l件所提到的關(guān)系而理清題目，不會(huì)出現(xiàn)盲目的面對(duì)題目的問(wèn)題.這樣的設(shè)置未知量的方法可以幫助學(xué)生快速理清題目，并在求解未知量的計(jì)算過(guò)程，直白簡(jiǎn)單，和解方程如出一轍.

（二）利用“幾何法”就要把握好橢圓的幾何定義，利用“點(diǎn)B是橢圓上的點(diǎn)”這一突出特征引導(dǎo)學(xué)生連接BF1，設(shè)F1F2=2c，利用正方形圖形的幾何特性得出BF1=22c，再結(jié)合橢圓的定義以及離心率的相應(yīng)公式，可以快速計(jì)算離心率的值為2-1.

在幾何法解決這樣的問(wèn)題的時(shí)候常常不需要作出橢圓的相關(guān)圖形，而只需要標(biāo)注出相關(guān)點(diǎn)的位置，并對(duì)焦距和長(zhǎng)短軸等必要的信息進(jìn)行標(biāo)注，就可以借助相應(yīng)的圖形自身關(guān)系解出題目所求.這樣的方法可以不受作圖不標(biāo)準(zhǔn)對(duì)解題的影響，從而可以提高解體的效率和方法.應(yīng)用幾何法可以提高學(xué)生對(duì)問(wèn)題的分析能力，加強(qiáng)學(xué)生系統(tǒng)性和有效性的整合題設(shè)和條件.

（三）方法小結(jié)

無(wú)論是“代數(shù)法”還是“幾何法”都需要熟練掌握，有些題設(shè)可以通過(guò)二者的有機(jī)結(jié)合，使題目更快地解答出來(lái).代數(shù)法可以幫助學(xué)生整理題設(shè)和條件，幾何法可以提高學(xué)生對(duì)橢圓離心率問(wèn)題求解問(wèn)題的分析能力.

三、總?結(jié)

解決橢圓離心率的問(wèn)題時(shí)，既要學(xué)會(huì)幾何解法的簡(jiǎn)潔和優(yōu)越，也要掌握代數(shù)法的方便和易懂.學(xué)生要學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思維方式，加強(qiáng)作圖和審題能力的培養(yǎng)，要學(xué)會(huì)適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化思維.要拓展學(xué)生的思維能力，特別是思維的嚴(yán)密性和完整性，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【參考文獻(xiàn)】

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