王江里

摘 要：學(xué)生在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)時掌握各種重要解題思想，能夠事半功倍地完成學(xué)習(xí)，解決難題，提高學(xué)習(xí)成績，同時形成良好的數(shù)學(xué)思維。因此，對當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，引導(dǎo)學(xué)生正確掌握重要解題思想十分有必要。從分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、特殊到一般思想以及轉(zhuǎn)換與化歸思想等方面，對高中數(shù)學(xué)幾個重要解題思想進(jìn)行簡單分析。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);重要解題思想;應(yīng)用

長期以來，數(shù)學(xué)都是高中教育的難點(diǎn)課程，而其實(shí)際教學(xué)效果往往和預(yù)期存在較大偏差。歸根結(jié)底，這是因?yàn)楹芏鄬W(xué)生都沒有正確掌握解題思想，只是通過反復(fù)練習(xí)記住題型與對應(yīng)解題流程，并沒有真正理解解題方法及依據(jù)。因此，高中數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行教學(xué)時，一定要培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用解題思想解決問題的能力。

一、分類討論思想

分類討論是最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)思想，也是學(xué)生解決數(shù)學(xué)難題的重要思想。尤其是對那些涉及分類討論的題目，如果學(xué)生沒有充分運(yùn)用分類討論思想對問題進(jìn)行分析，那么在解答時往往會出現(xiàn)漏解、討論不完整的問題，無法完全正確地解決難題。與此同時，學(xué)生面對題目中包含的多種情況時，如果不能正確運(yùn)用分類討論思想，那么往往會覺得情況極為復(fù)雜，無法進(jìn)行有效討論，面臨無從下手的困境。在實(shí)際教學(xué)中，教師一定要引導(dǎo)學(xué)生對問題情況進(jìn)行科學(xué)分類，并根據(jù)分類情況一步一步完成問題解答。教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生明白為什么需要進(jìn)行分類以及如何分類，確保學(xué)生在解題時能夠逐漸形成周密嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維，綜合考慮問題，有效解決情況復(fù)雜的數(shù)學(xué)難題。例如在教學(xué)“平面向量的數(shù)量積”時，教師給出了一道例題“在△ABC中，設(shè)■=（1，k），且△ABC為直角三角形，求k的值。”部分學(xué)生解題時粗心大意地將∠A認(rèn)為是直角并完成了求解。教師糾正道：“題目中并沒有說明哪個角是直角，因此解題時需要進(jìn)行分類討論，分別討論∠A，∠B和∠C為直角的情況并進(jìn)行解題?！比绱艘粊恚瑢W(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時會先對問題情況進(jìn)行分類，然后再進(jìn)行解答。

二、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是貫穿整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程的重要解題思想，是幫助學(xué)生解決各種難題的有效方法。學(xué)生既能通過圖形直觀觀察來了解方程式、函數(shù)等知識的特性與特點(diǎn)，從而更加簡單地解題;同時學(xué)生也可以利用代數(shù)準(zhǔn)確性和計(jì)算性，有效解決圖形題目，尤其是一些幾何題目。鑒于數(shù)形結(jié)合思想的重要程度，教師在實(shí)際教學(xué)中有必要加強(qiáng)對學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)，確保學(xué)生能夠根據(jù)題目靈活運(yùn)用該思想解決問題。例如，在教學(xué)“對數(shù)函數(shù)”時，教師在黑板上寫下了方程式sinx=lgx，并讓學(xué)生計(jì)算該方程式的根的個數(shù)。學(xué)生看到這個方程后紛紛拿出筆開始計(jì)算，但是計(jì)算了一會兒就發(fā)現(xiàn)無從下筆。此時教師引導(dǎo)學(xué)生將該方程轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)y=sinx以及對數(shù)函數(shù)y=lgx，并對學(xué)生說：“在坐標(biāo)系上畫出這兩個函數(shù)方程的圖象，并對二者圖象的交點(diǎn)個數(shù)進(jìn)行求解，即可找到本題目中方程解的個數(shù)。需要注意的是，一定要準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，并且要考慮正弦函數(shù)為周期函數(shù)，最大值為1?！痹诮處煹闹笇?dǎo)下，學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合思想解出方程sinx=lgx有3個根。

三、特殊到一般思想

特殊到一般思想指從特殊情況入手進(jìn)行分析，并基于此推測一般情況。特殊到一般思想同樣是高中生應(yīng)當(dāng)具備的重要解題思想，尤其是在一些考慮特殊情況極為簡單的題目中，更要充分應(yīng)用該思想解決難題。例如，在教學(xué)“指數(shù)函數(shù)”相關(guān)內(nèi)容時，教師給學(xué)生出了一道例題：“已知a，k均是正實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x2-2x+a對任意的x∈[0，k]，均有f（x）∈[-a，a]。如果任意a對應(yīng)的k的最大值為g（a），試求函數(shù)g（a）的值域？”如果要直接計(jì)算此題，那么難度非常大。此時教師可以引導(dǎo)學(xué)生對題目進(jìn)行特殊化思考，假設(shè)a=1，則f（x）=x2-2x+1，那么根據(jù)函數(shù)圖象可知對x∈[0，k]，均有f（x）∈[-1，1]，那么t的最大值則為g（1）。這樣一來，題目中就只有未知數(shù)x，學(xué)生能夠準(zhǔn)確理解題意，清晰思路并完成解題，再將此特殊情況推廣到一般情況中順利解出題目。

四、轉(zhuǎn)換與化歸思想

轉(zhuǎn)換與化歸思想簡單來說就通過換元、代入、消元等手段，將陌生、困難的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、簡單的問題，或者將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為多個簡單問題，從而順利解出答案。在應(yīng)用轉(zhuǎn)換與化歸思想時，通常需要進(jìn)行正反轉(zhuǎn)化、數(shù)形轉(zhuǎn)化、相等和不相等轉(zhuǎn)化等。例如在教學(xué)“集合的基本運(yùn)算”時，教師在黑板上寫下例題：“集合M={（x，y）|x2+y2=1，x，y∈R}，N={（x，y）|x2-y=0，x，y∈R}，試求集合M∩N中元素的個數(shù)？”學(xué)生看到這道題后大多都覺得十分難計(jì)算，甚至無從下手。這時教師就對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)：“將這兩個集合轉(zhuǎn)換成文字描述，也就是試求圓與拋物線的交點(diǎn)個數(shù)，因此只需要在坐標(biāo)系上畫出對應(yīng)方程的圖象，并得到相應(yīng)的交點(diǎn)個數(shù)即可?！?/p>

綜上可知，靈活運(yùn)用解題思想能夠令解題過程更加簡單、準(zhǔn)確與快速，令解題變得事半功倍。因此在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不但要傳授學(xué)生數(shù)學(xué)知識，更要引導(dǎo)學(xué)生理解、掌握和靈活運(yùn)用各種重要解題思想，改善教學(xué)效果，培養(yǎng)出具有優(yōu)秀數(shù)學(xué)思維的高中生。

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編輯 段麗君