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        培養(yǎng)抽象概括能力發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

        2019-01-17 02:06:43覃毅
        廣西教育·B版 2019年9期
        關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

        覃毅

        【摘 要】本文從概念教學(xué)、習(xí)題教學(xué)與探究教學(xué)三個(gè)方面論述在高中數(shù)學(xué)課堂中培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力的具體措施,以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

        【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 抽象概括 核心素養(yǎng)

        【中圖分類號(hào)】G? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

        【文章編號(hào)】0450-9889(2019)09B-0065-03

        數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科,數(shù)學(xué)抽象是高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一。數(shù)學(xué)抽象指的是舍去事物的一切物理屬性,得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過程,它是重要的教學(xué)目標(biāo)之一。這就決定了抽象概括能力的重要性。因此在數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)中,教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力,使他們學(xué)會(huì)抓住問題的本質(zhì),由表及里地進(jìn)行分析和綜合,從而找到問題的關(guān)鍵點(diǎn)與突破點(diǎn),正確求解問題,深化其數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

        一、結(jié)合概念,經(jīng)歷其形成過程

        數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵和特征形式的高度概括和總結(jié)。因此,數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程實(shí)際上是對(duì)知識(shí)的抽象與概括過程。教師應(yīng)當(dāng)注重結(jié)合概念教學(xué)來培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力,引導(dǎo)他們經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過程,從而幫助他們形成抽象思維。

        (一)基于產(chǎn)生背景,提煉本質(zhì)屬性。在進(jìn)行概念學(xué)習(xí)時(shí),教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生從思維上對(duì)概念的本質(zhì)屬性進(jìn)行抽象與概括,善于根據(jù)概念的產(chǎn)生背景,引導(dǎo)他們提煉數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性,從而幫助他們正確地理解和掌握數(shù)學(xué)概念,打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

        比如,對(duì)“冪函數(shù)”進(jìn)行教學(xué)時(shí),為了讓學(xué)生清晰準(zhǔn)確地掌握冪函數(shù)的概念,筆者首先從學(xué)生熟悉的背景出發(fā),為抽象出冪函數(shù)的概念做準(zhǔn)備。例如,“正方形的邊長(zhǎng)為 x,面積為 y,那么面積 y 關(guān)于 x 的函數(shù)可以表達(dá)為什么?”學(xué)生迅速回答道:“y=x2?!本瓦@樣筆者依次引出了函數(shù) y=x2,y=x3,,。隨后筆者追問道:“上述函數(shù)有什么共同特征呢?”接下來筆者給學(xué)生留出充足的時(shí)間與空間,讓他們進(jìn)行思考與分析。經(jīng)過一段時(shí)間的交流與討論,學(xué)生發(fā)現(xiàn),上述函數(shù)可以依次表達(dá)為:y=x2,y=x3,,y=x-1,都是形如 y=xa 的函數(shù),其中 x 是自變量,a 是常數(shù)。由此筆者引出了冪函數(shù)的概念:“像這樣形如 y=xa(a 為常數(shù))的函數(shù),叫做冪函數(shù)?!本瓦@樣學(xué)生體會(huì)到冪函數(shù)來自生活,同時(shí)也準(zhǔn)確地把握了冪函數(shù)的本質(zhì)特征,高效地達(dá)成了教學(xué)目標(biāo)。又比如筆者對(duì)“向量”進(jìn)行教學(xué)時(shí),為了讓學(xué)生了解向量的概念與本質(zhì),筆者向他們提問道:“在數(shù)學(xué)或者其他學(xué)科中,你接觸過哪些類型的量?這些量本質(zhì)上有何區(qū)別?”隨后學(xué)生對(duì)這一問題展開激烈的討論。他們分別說出很多物理學(xué)科中的量,包括質(zhì)量、密度、彈力、速度、位移等。對(duì)于質(zhì)量、密度這類量,在規(guī)定的單位下,都可以用一個(gè)實(shí)數(shù)表示它們的大小。但是對(duì)于如速度、彈力、位移等,它們不僅有大小,而且有作用方向。緊接著筆者追問道:“像速度這樣既有大小,又有方向的量應(yīng)該怎樣表示呢?”由此引出了這節(jié)課的新內(nèi)容。在學(xué)生思考了片刻之后,筆者向他們介紹了向量的概念,這樣他們便對(duì)向量的概念形成過程有深刻的理解與記憶。

        (二)嘗試將語言轉(zhuǎn)化,辨別一般與特殊。語言和思維之間存在有機(jī)的、辯證的聯(lián)系,思維的過程和結(jié)果需要通過語言表現(xiàn)出來。因此,為了培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力,教師可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試用自己的語言對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行描述,從而幫助他們形成從一般到特殊的思維,建立抽象概括能力形成的基礎(chǔ)。

        比如,對(duì)“等差數(shù)列”進(jìn)行教學(xué)時(shí),筆者首先創(chuàng)設(shè)問題情境,引入了課題:“中影國(guó)際電影院 3 號(hào)廳設(shè)置了 20 排座位,這家電影院從第一排起各排的座位數(shù)組成如下數(shù)列:38,40,42,44,46,48,…;在全國(guó)統(tǒng)一鞋號(hào)中,成年人的鞋子的尺碼(單位:cm)由大到小可排列為:25,24.5,24,23.5,23,22.5,22,21.5;一個(gè)堆放鉛筆的 V 架……”三個(gè)案例分別得到三組數(shù)列。于是筆者向?qū)W生提問道:“同學(xué)們仔細(xì)觀察這三組數(shù)列,可以發(fā)現(xiàn)有什么變化規(guī)律呢?”學(xué)生很快便發(fā)現(xiàn),在這三組數(shù)列中,從第 2 項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差值都是同一個(gè)常數(shù)。隨后筆者講道:“符合這一規(guī)律的數(shù)列就是等差數(shù)列,大家已經(jīng)發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的本質(zhì)特征,現(xiàn)在就請(qǐng)同學(xué)們嘗試用自己的語言描述一下等差數(shù)列的概念。”最后學(xué)生成功地用數(shù)學(xué)語言抽象出等差數(shù)列的概念:“如果一個(gè)數(shù)列從它的第 2 項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù),則這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,用數(shù)學(xué)表達(dá)式可以表示為:an-an-1=d(n∈N,且 n>1)?!边_(dá)到了教學(xué)目的。

        二、通過習(xí)題,啟迪創(chuàng)新意識(shí)

        數(shù)學(xué)習(xí)題練習(xí)是訓(xùn)練學(xué)生思維能力的有效途徑之一,教師要善于通過習(xí)題訓(xùn)練,幫助學(xué)生鞏固課堂所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí),培養(yǎng)他們思維的抽象性、邏輯性,拓寬其思維深度,啟迪其創(chuàng)新意識(shí),從而使教學(xué)取得事半功倍的效果。

        (一)變式,完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)知識(shí)之間具有十分緊密的聯(lián)系,任何知識(shí)都不是孤立的,都是在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上的延伸與發(fā)展,因此教師應(yīng)當(dāng)注重引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系。為此可以通過變式訓(xùn)練,改變題目的已知條件,促進(jìn)學(xué)生將知識(shí)進(jìn)行遷移與融合,建構(gòu)完整的知識(shí)結(jié)構(gòu),提高思維的概括性。

        比如,對(duì)“三角函數(shù)”進(jìn)行教學(xué)時(shí),筆者組織學(xué)生進(jìn)行變式練習(xí)。筆者首先向?qū)W生提問道:“將函數(shù) y=sin2x 的圖象向左平移? 個(gè) 單位,再向上平移 1 個(gè)單位,所得圖象的函數(shù)解析式是什么?”對(duì)于 y=sin2x 來說,首先向左平移? 個(gè)單位,函數(shù)變?yōu)?y=sin(2x+)=cos2x,再向上平移 1 個(gè)單位,函數(shù)變?yōu)?y=cos2x+1=2cos2x。隨后筆者對(duì)這一問題進(jìn)行變式:“為了得到函數(shù) y=cos(2x+)的圖象,需要將函數(shù) y=sin2x 進(jìn)行怎樣的平移變換?”學(xué)生利用三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行分析可知,y=cos(2x+)=cos2(x+),而 y=sin2x=cos(-2x)=cos2(x-),所以得到函數(shù) y=cos(2x+),需要將函數(shù) y=sin2x 向左平移? 個(gè)單位。三角函數(shù)的平移變換是高考的重點(diǎn)之一,筆者通過組織變式練習(xí)活動(dòng),幫助學(xué)生梳理了這類問題的解決思路:將函數(shù)的解析式化為 y=Asin(ωx+ψ)的形式,然后將平移前后的函數(shù)化為同名三角函數(shù),最后再結(jié)合 x 的系數(shù)確定平移的單位與方向。在這一活動(dòng)中,筆者通過變式練習(xí),引導(dǎo)學(xué)生掌握三角函數(shù)圖象變換類問題的求解策略,完善了他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu),同時(shí)有效強(qiáng)化了他們的抽象概括能力。

        (二)推理,發(fā)展邏輯思維。推理是一個(gè)具有較高層次的思維方式,培養(yǎng)學(xué)生的推理能力,可以幫助他們快速找到問題的規(guī)律,提高其抽象概括能力。因此教師要注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)推理活動(dòng),在習(xí)題訓(xùn)練中培養(yǎng)他們思維的邏輯性。

        比如學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí),筆者讓學(xué)生對(duì)如下問題進(jìn)行求解:

        在數(shù)列{An} 中,A1=1,,試猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式,并證明你的猜想。

        學(xué)生根據(jù)遞推公式,可以依次求得 A1=1, 由此可以猜想 。在證明這一猜想時(shí),由? 可以得到 ,即 ,所以數(shù)列? 是公差為 ,首項(xiàng)為 1 的等差數(shù)列,,即 。就這樣學(xué)生在進(jìn)行猜想與推理的活動(dòng)中,更加深入地理解了等差數(shù)列的本質(zhì)特征以及此類問題的求解規(guī)律,有效提高了自身的數(shù)學(xué)推理能力與思維的邏輯性。

        三、自主探究,解決實(shí)際問題

        “自主、合作、探究”是新課標(biāo)所倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)方式,教師可以通過組織探究性學(xué)習(xí)活動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生在自主探究過程中,用課堂上所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)分析求解實(shí)際問題,提高他們的數(shù)學(xué)抽象與概括能力。

        (一)實(shí)驗(yàn),制定方案,得出結(jié)論。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象能力的關(guān)鍵是找到問題的共性,將問題由具體到抽象,再由抽象到具體。因而筆者認(rèn)為,教師可以有意識(shí)地組織學(xué)生開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng),引導(dǎo)他們分析問題、制定方案,最后得出結(jié)論,使他們?cè)趯?shí)驗(yàn)活動(dòng)中深化自身的抽象概括能力。

        比如,對(duì)“古典概型”進(jìn)行教學(xué)時(shí),筆者向?qū)W生提問道:“甲、乙兩人玩‘石頭、剪刀、布游戲,請(qǐng)問甲贏的概率有多大?乙贏的概率又有多大呢?”隨后學(xué)生根據(jù)這一問題展開了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)。具體思路為:列舉甲乙兩人玩‘石頭、剪刀、布游戲可能出現(xiàn)的所有結(jié)果,根據(jù)古典概率型公式 P(A)=事件 A 包含的基本事件數(shù)/試驗(yàn)的基本事件總數(shù),求得概率。學(xué)生成功地將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型,畫出如下表格(表 1),得出正確的結(jié)論:甲贏的概率為 ,乙贏的概率為 。

        在這一活動(dòng)中,筆者通過組織學(xué)生對(duì)實(shí)際生活問題展開自主探究,幫助他們積累了從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),使他們學(xué)會(huì)從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu),有效提高他們的數(shù)學(xué)抽象能力。

        (二)匯報(bào),分析歸納,多元反思。反思是學(xué)生認(rèn)識(shí)過程中強(qiáng)化自我意識(shí)、進(jìn)行自我監(jiān)控、自我調(diào)節(jié)的重要形式。教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思活動(dòng),有助于促進(jìn)他們逐漸養(yǎng)成一般性思考問題的習(xí)慣。因此教師可以通過組織學(xué)生進(jìn)行小組匯報(bào),引導(dǎo)他們進(jìn)行分析、歸納與多元反思的思維活動(dòng),使其學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)抽象的思維方法求解問題。

        比如,對(duì)“函數(shù)與方程”進(jìn)行教學(xué)時(shí),筆者引導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的判定的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行梳理與總結(jié),然后以小組匯報(bào)的形式進(jìn)行展示。在這一過程中,學(xué)生對(duì)這一知識(shí)進(jìn)行概括,例如,函數(shù) y=f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定方法有:(1)代數(shù)法,函數(shù) y=f(x)的零點(diǎn)等價(jià)于 f(x)=0 的根;(2)幾何法,對(duì)于不能用求根公式的方程,將它與函數(shù) y=f(x)的圖象聯(lián)系起來,并用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)。又例如,學(xué)生還總結(jié)了二分法求方程近似解的步驟:第一步,確定區(qū)間[a,b],驗(yàn)證 f(a)-f(b)<0,給定精確度 ε。第二步,求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn) c。第三步,計(jì)算 f(c),若 f(c)=0,則 c 就是函數(shù)的零點(diǎn);若 f(a)-f(c)<0,則令 b=c;若 f(c)-f(b)<0,則令 a=c。第四步,判斷是否達(dá)到精確度 ε,否則重復(fù)第二至四步。筆者有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思與總結(jié),幫助他們進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí),有效提高他們的抽象概括能力。

        綜上所述,教師通過采用上述“結(jié)合概念”“通過習(xí)題”“自主探究”幾種策略,能夠有效地在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力,提高其思維的抽象性與敏捷性,深化其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)??傊瑪?shù)學(xué)抽象能力是一種綜合能力,需要一個(gè)長(zhǎng)期的培養(yǎng)過程。教師要不斷探索與實(shí)踐,采用多種方法與途徑,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力和素質(zhì)。

        【參考文獻(xiàn)】

        [1]康文彥,劉 輝.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的幾種途徑[J].教育探索,2017(05)

        [2]楚秉晶.在概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué),2017(11)

        [3]張永明.高中生數(shù)學(xué)抽象概括能力培養(yǎng)的途徑與策略[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2015(05)

        [4]陳中峰.試論“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)形成和發(fā)展的基本途徑[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué),2017(06)

        (責(zé)編 盧建龍)

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