覃毅

【摘 要】本文從概念教學(xué)、習(xí)題教學(xué)與探究教學(xué)三個(gè)方面論述在高中數(shù)學(xué)課堂中培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力的具體措施，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 抽象概括 核心素養(yǎng)

【中圖分類號(hào)】G? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2019）09B-0065-03

數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，數(shù)學(xué)抽象是高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一。數(shù)學(xué)抽象指的是舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過程，它是重要的教學(xué)目標(biāo)之一。這就決定了抽象概括能力的重要性。因此在數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)中，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，使他們學(xué)會(huì)抓住問題的本質(zhì)，由表及里地進(jìn)行分析和綜合，從而找到問題的關(guān)鍵點(diǎn)與突破點(diǎn)，正確求解問題，深化其數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、結(jié)合概念，經(jīng)歷其形成過程

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵和特征形式的高度概括和總結(jié)。因此，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程實(shí)際上是對(duì)知識(shí)的抽象與概括過程。教師應(yīng)當(dāng)注重結(jié)合概念教學(xué)來培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，引導(dǎo)他們經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過程，從而幫助他們形成抽象思維。

（一）基于產(chǎn)生背景，提煉本質(zhì)屬性。在進(jìn)行概念學(xué)習(xí)時(shí)，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生從思維上對(duì)概念的本質(zhì)屬性進(jìn)行抽象與概括，善于根據(jù)概念的產(chǎn)生背景，引導(dǎo)他們提煉數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，從而幫助他們正確地理解和掌握數(shù)學(xué)概念，打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

比如，對(duì)“冪函數(shù)”進(jìn)行教學(xué)時(shí)，為了讓學(xué)生清晰準(zhǔn)確地掌握冪函數(shù)的概念，筆者首先從學(xué)生熟悉的背景出發(fā)，為抽象出冪函數(shù)的概念做準(zhǔn)備。例如，“正方形的邊長(zhǎng)為 x，面積為 y，那么面積 y 關(guān)于 x 的函數(shù)可以表達(dá)為什么？”學(xué)生迅速回答道：“y=x2?！本瓦@樣筆者依次引出了函數(shù) y=x2，y=x3，，。隨后筆者追問道：“上述函數(shù)有什么共同特征呢？”接下來筆者給學(xué)生留出充足的時(shí)間與空間，讓他們進(jìn)行思考與分析。經(jīng)過一段時(shí)間的交流與討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，上述函數(shù)可以依次表達(dá)為：y=x2，y=x3，，y=x-1，都是形如 y=xa 的函數(shù)，其中 x 是自變量，a 是常數(shù)。由此筆者引出了冪函數(shù)的概念：“像這樣形如 y=xa（a 為常數(shù)）的函數(shù)，叫做冪函數(shù)?！本瓦@樣學(xué)生體會(huì)到冪函數(shù)來自生活，同時(shí)也準(zhǔn)確地把握了冪函數(shù)的本質(zhì)特征，高效地達(dá)成了教學(xué)目標(biāo)。又比如筆者對(duì)“向量”進(jìn)行教學(xué)時(shí)，為了讓學(xué)生了解向量的概念與本質(zhì)，筆者向他們提問道：“在數(shù)學(xué)或者其他學(xué)科中，你接觸過哪些類型的量？這些量本質(zhì)上有何區(qū)別？”隨后學(xué)生對(duì)這一問題展開激烈的討論。他們分別說出很多物理學(xué)科中的量，包括質(zhì)量、密度、彈力、速度、位移等。對(duì)于質(zhì)量、密度這類量，在規(guī)定的單位下，都可以用一個(gè)實(shí)數(shù)表示它們的大小。但是對(duì)于如速度、彈力、位移等，它們不僅有大小，而且有作用方向。緊接著筆者追問道：“像速度這樣既有大小，又有方向的量應(yīng)該怎樣表示呢？”由此引出了這節(jié)課的新內(nèi)容。在學(xué)生思考了片刻之后，筆者向他們介紹了向量的概念，這樣他們便對(duì)向量的概念形成過程有深刻的理解與記憶。

（二）嘗試將語言轉(zhuǎn)化，辨別一般與特殊。語言和思維之間存在有機(jī)的、辯證的聯(lián)系，思維的過程和結(jié)果需要通過語言表現(xiàn)出來。因此，為了培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，教師可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試用自己的語言對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行描述，從而幫助他們形成從一般到特殊的思維，建立抽象概括能力形成的基礎(chǔ)。

比如，對(duì)“等差數(shù)列”進(jìn)行教學(xué)時(shí)，筆者首先創(chuàng)設(shè)問題情境，引入了課題：“中影國(guó)際電影院 3 號(hào)廳設(shè)置了 20 排座位，這家電影院從第一排起各排的座位數(shù)組成如下數(shù)列：38，40，42，44，46，48，…;在全國(guó)統(tǒng)一鞋號(hào)中，成年人的鞋子的尺碼（單位：cm）由大到小可排列為：25，24.5，24，23.5，23，22.5，22，21.5;一個(gè)堆放鉛筆的 V 架……”三個(gè)案例分別得到三組數(shù)列。于是筆者向?qū)W生提問道：“同學(xué)們仔細(xì)觀察這三組數(shù)列，可以發(fā)現(xiàn)有什么變化規(guī)律呢？”學(xué)生很快便發(fā)現(xiàn)，在這三組數(shù)列中，從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差值都是同一個(gè)常數(shù)。隨后筆者講道：“符合這一規(guī)律的數(shù)列就是等差數(shù)列，大家已經(jīng)發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的本質(zhì)特征，現(xiàn)在就請(qǐng)同學(xué)們嘗試用自己的語言描述一下等差數(shù)列的概念。”最后學(xué)生成功地用數(shù)學(xué)語言抽象出等差數(shù)列的概念：“如果一個(gè)數(shù)列從它的第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，用數(shù)學(xué)表達(dá)式可以表示為：an-an-1=d（n∈N，且 n>1）?！边_(dá)到了教學(xué)目的。

二、通過習(xí)題，啟迪創(chuàng)新意識(shí)

數(shù)學(xué)習(xí)題練習(xí)是訓(xùn)練學(xué)生思維能力的有效途徑之一，教師要善于通過習(xí)題訓(xùn)練，幫助學(xué)生鞏固課堂所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)他們思維的抽象性、邏輯性，拓寬其思維深度，啟迪其創(chuàng)新意識(shí)，從而使教學(xué)取得事半功倍的效果。

（一）變式，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)知識(shí)之間具有十分緊密的聯(lián)系，任何知識(shí)都不是孤立的，都是在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上的延伸與發(fā)展，因此教師應(yīng)當(dāng)注重引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系。為此可以通過變式訓(xùn)練，改變題目的已知條件，促進(jìn)學(xué)生將知識(shí)進(jìn)行遷移與融合，建構(gòu)完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高思維的概括性。

比如，對(duì)“三角函數(shù)”進(jìn)行教學(xué)時(shí)，筆者組織學(xué)生進(jìn)行變式練習(xí)。筆者首先向?qū)W生提問道：“將函數(shù) y=sin2x 的圖象向左平移? 個(gè) 單位，再向上平移 1 個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)解析式是什么？”對(duì)于 y=sin2x 來說，首先向左平移? 個(gè)單位，函數(shù)變?yōu)?y=sin（2x+）=cos2x，再向上平移 1 個(gè)單位，函數(shù)變?yōu)?y=cos2x+1=2cos2x。隨后筆者對(duì)這一問題進(jìn)行變式：“為了得到函數(shù) y=cos（2x+）的圖象，需要將函數(shù) y=sin2x 進(jìn)行怎樣的平移變換？”學(xué)生利用三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行分析可知，y=cos（2x+）=cos2（x+），而 y=sin2x=cos（-2x）=cos2（x-），所以得到函數(shù) y=cos（2x+），需要將函數(shù) y=sin2x 向左平移? 個(gè)單位。三角函數(shù)的平移變換是高考的重點(diǎn)之一，筆者通過組織變式練習(xí)活動(dòng)，幫助學(xué)生梳理了這類問題的解決思路：將函數(shù)的解析式化為 y=Asin（ωx+ψ）的形式，然后將平移前后的函數(shù)化為同名三角函數(shù)，最后再結(jié)合 x 的系數(shù)確定平移的單位與方向。在這一活動(dòng)中，筆者通過變式練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生掌握三角函數(shù)圖象變換類問題的求解策略，完善了他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，同時(shí)有效強(qiáng)化了他們的抽象概括能力。

（二）推理，發(fā)展邏輯思維。推理是一個(gè)具有較高層次的思維方式，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，可以幫助他們快速找到問題的規(guī)律，提高其抽象概括能力。因此教師要注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)推理活動(dòng)，在習(xí)題訓(xùn)練中培養(yǎng)他們思維的邏輯性。

比如學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)，筆者讓學(xué)生對(duì)如下問題進(jìn)行求解：

在數(shù)列{An} 中，A1=1，，試猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明你的猜想。

學(xué)生根據(jù)遞推公式，可以依次求得 A1=1， 由此可以猜想 。在證明這一猜想時(shí)，由? 可以得到 ，即 ，所以數(shù)列? 是公差為 ，首項(xiàng)為 1 的等差數(shù)列，，即 。就這樣學(xué)生在進(jìn)行猜想與推理的活動(dòng)中，更加深入地理解了等差數(shù)列的本質(zhì)特征以及此類問題的求解規(guī)律，有效提高了自身的數(shù)學(xué)推理能力與思維的邏輯性。

三、自主探究，解決實(shí)際問題

“自主、合作、探究”是新課標(biāo)所倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)方式，教師可以通過組織探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在自主探究過程中，用課堂上所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)分析求解實(shí)際問題，提高他們的數(shù)學(xué)抽象與概括能力。

（一）實(shí)驗(yàn)，制定方案，得出結(jié)論。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象能力的關(guān)鍵是找到問題的共性，將問題由具體到抽象，再由抽象到具體。因而筆者認(rèn)為，教師可以有意識(shí)地組織學(xué)生開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，引導(dǎo)他們分析問題、制定方案，最后得出結(jié)論，使他們?cè)趯?shí)驗(yàn)活動(dòng)中深化自身的抽象概括能力。

比如，對(duì)“古典概型”進(jìn)行教學(xué)時(shí)，筆者向?qū)W生提問道：“甲、乙兩人玩‘石頭、剪刀、布游戲，請(qǐng)問甲贏的概率有多大？乙贏的概率又有多大呢？”隨后學(xué)生根據(jù)這一問題展開了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)。具體思路為：列舉甲乙兩人玩‘石頭、剪刀、布游戲可能出現(xiàn)的所有結(jié)果，根據(jù)古典概率型公式 P（A）=事件 A 包含的基本事件數(shù)/試驗(yàn)的基本事件總數(shù)，求得概率。學(xué)生成功地將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，畫出如下表格（表 1），得出正確的結(jié)論：甲贏的概率為 ，乙贏的概率為 。

在這一活動(dòng)中，筆者通過組織學(xué)生對(duì)實(shí)際生活問題展開自主探究，幫助他們積累了從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，使他們學(xué)會(huì)從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，有效提高他們的數(shù)學(xué)抽象能力。

（二）匯報(bào)，分析歸納，多元反思。反思是學(xué)生認(rèn)識(shí)過程中強(qiáng)化自我意識(shí)、進(jìn)行自我監(jiān)控、自我調(diào)節(jié)的重要形式。教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思活動(dòng)，有助于促進(jìn)他們逐漸養(yǎng)成一般性思考問題的習(xí)慣。因此教師可以通過組織學(xué)生進(jìn)行小組匯報(bào)，引導(dǎo)他們進(jìn)行分析、歸納與多元反思的思維活動(dòng)，使其學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)抽象的思維方法求解問題。

比如，對(duì)“函數(shù)與方程”進(jìn)行教學(xué)時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的判定的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行梳理與總結(jié)，然后以小組匯報(bào)的形式進(jìn)行展示。在這一過程中，學(xué)生對(duì)這一知識(shí)進(jìn)行概括，例如，函數(shù) y=f（x）零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定方法有：（1）代數(shù)法，函數(shù) y=f（x）的零點(diǎn)等價(jià)于 f（x）=0 的根;（2）幾何法，對(duì)于不能用求根公式的方程，將它與函數(shù) y=f（x）的圖象聯(lián)系起來，并用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)。又例如，學(xué)生還總結(jié)了二分法求方程近似解的步驟：第一步，確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證 f（a）-f（b）<0，給定精確度 ε。第二步，求區(qū)間（a，b）的中點(diǎn) c。第三步，計(jì)算 f（c），若 f（c）=0，則 c 就是函數(shù)的零點(diǎn);若 f（a）-f（c）<0，則令 b=c;若 f（c）-f（b）<0，則令 a=c。第四步，判斷是否達(dá)到精確度 ε，否則重復(fù)第二至四步。筆者有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思與總結(jié)，幫助他們進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)，有效提高他們的抽象概括能力。

綜上所述，教師通過采用上述“結(jié)合概念”“通過習(xí)題”“自主探究”幾種策略，能夠有效地在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，提高其思維的抽象性與敏捷性，深化其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?？傊瑪?shù)學(xué)抽象能力是一種綜合能力，需要一個(gè)長(zhǎng)期的培養(yǎng)過程。教師要不斷探索與實(shí)踐，采用多種方法與途徑，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力和素質(zhì)。

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（責(zé)編 盧建龍）