程艷

【摘要】作者就獨立院校數(shù)學的教學改革進行了探索，根據(jù)平時的教學經(jīng)驗，介紹了開展數(shù)學建模競賽的意義，并基于數(shù)學建模的思想，在數(shù)學教學中引入建模內(nèi)容，探索應用數(shù)學知識解決實際問題的途徑，以培養(yǎng)學生的實踐能力和創(chuàng)新意識，促進數(shù)學教學改革。

【關鍵詞】數(shù)學建模；教學改革；獨立院校

一、引言

何為數(shù)學建模？當研究一個實際問題時，人們就要在深入調(diào)查研究，了解對象信息，做出簡化假設，在分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎上，用數(shù)學符號、數(shù)學式子、程序、圖形等作表述來建立數(shù)學模型。數(shù)學建模就是根據(jù)實際問題來建立數(shù)學模型，對數(shù)學模型進行求解，然后根據(jù)結(jié)果去解決實際問題。

1989年，我國大學生首次參加美國的數(shù)學建模競賽。1992年，中國工業(yè)與應用數(shù)學學會數(shù)學模型專業(yè)委員會在八大城市組織舉辦了大學生數(shù)學建模競賽；從1994年起，由我國教育部高教司和中國工業(yè)與應用數(shù)學學會共同主辦我國自己的全國大學生數(shù)學建模競賽（CUMCM），每年一次，并成為教育部規(guī)定的面向全國所有高校的四大學科競賽之一，目的在于激勵學生學習數(shù)學的積極性，提高學生建立數(shù)學模型和運用計算機技術解決實際問題的綜合能力，鼓勵學生踴躍參加課外科技活動，開闊知識面，培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識解決實際問題的能力，培養(yǎng)創(chuàng)造精神及合作意識，推動數(shù)學教學體系、教學內(nèi)容和方法的改革。

隨著我國高等院校招生規(guī)模的不斷擴大，在數(shù)學教學過程中，我們發(fā)現(xiàn)學生的數(shù)學基礎差別越來越大。尤其是獨立學院，一般在三本批次招生，高考分數(shù)較低，學生基礎相對薄弱。特別是數(shù)學學科，學生的學習興趣、學習方法都處在比較低的層次。因此，針對獨立學院數(shù)學教學的現(xiàn)狀，轉(zhuǎn)變現(xiàn)有的教學理念就變得非常重要。但由于數(shù)學理論體系具有自身的學科特點，理論性、系統(tǒng)性都非常強，我們不可能大刀闊斧地對數(shù)學進行教學改革。但是，我們可以從小處著手，將理論與實際結(jié)合，提高學生的學習興趣，讓其認識到數(shù)學的重要性和應用性。數(shù)學建模競賽就是一個很好的切入點，不僅可以引起學生學習的動力，而且可以讓知識更加生活化，更容易被接受、領會。

二、學生參加數(shù)學建模競賽的意義

（一）數(shù)學建模競賽對學生創(chuàng)新精神的培養(yǎng)

數(shù)學建模競賽的題目都是來源于工程技術和管理科學等方面經(jīng)過簡化加工的實際問題，有較強的靈活性，沒有標準的模式，即使是對同一問題進行處理，其采用的方法和思路也是多種多樣的，因此需要參賽者發(fā)揮創(chuàng)造能力。

（二）數(shù)學建模競賽對學生用數(shù)學建模方法和計算機技術解決實際問題能力的培養(yǎng)

不同數(shù)學建模的求解一般涉及不同的數(shù)學分支的專門知識，而且許多求解過程及運算都比較復雜，甚至在求解過程中需要了解其運行的趨勢。計算機在數(shù)學建模中扮演著重要的角色，在建立模型之前，復雜的實際問題往往需要通過計算或圖形來分析。確定數(shù)學模型后，還要利用計算機進行編程來完成大量復雜的計算和圖形處理。數(shù)學建模主要應用的軟件有MathemaTIca，LINGO，LINDO，MATLAB，SPSS。使用它們可以解決幾乎所有關于數(shù)學的問題，如求導、積分、最值問題、線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、最短路和最小費用等問題，還可以很輕易地畫出二維、三維圖形。應用計算機解決數(shù)學建模問題是建模非常重要的環(huán)節(jié)。因此，數(shù)學建模競賽對提高學生使用計算機編程的能力是不言而喻的。

（三）數(shù)學建模競賽對學生團結(jié)合作精神的培養(yǎng)

數(shù)學建模題目涉及的領域比較廣，具有很強的靈活性，但是它又不同于數(shù)學應用題，呈現(xiàn)出理工結(jié)合、數(shù)學交叉的特點，需要參賽者具有一定的綜合運用知識的能力。這就需要具有不同知識結(jié)構的人在一起互相交流思想，團結(jié)合作，共同解決問題。建模的過程中必須相互配合，合理分工，發(fā)揮各人所長：誰負責文獻的檢索與信息數(shù)據(jù)的采集、篩選，誰負責建模、運算，誰負責編寫程序，誰組織書寫論文，等等。這種能力、素質(zhì)的培養(yǎng)為他們的工作打下了良好的基礎。

（四）數(shù)學建模競賽對學生撰寫論文能力的培養(yǎng)

數(shù)學建模的最終成果都要求學生用論文的形式精確地陳述研究的方法、步驟、自己的觀點、結(jié)果和模型的檢驗。數(shù)學建模論文的評閱沒有標準答案，若干個評委根據(jù)參賽者所使用的方法，論述的合理性、邏輯性等評出不同等級的獎項。因而為了充分反映模型的價值所在，我們需要鍛煉語言的邏輯性、準確性、簡潔性、針對性。這項活動的開展，為大學生撰寫論文創(chuàng)造了機會，促進了大學生寫作能力和語言表達能力的提高。

三、數(shù)學建模競賽對高校教學改革的意義

數(shù)學建模競賽的開展與高校數(shù)學教學改革相輔相成，主要體現(xiàn)在以下幾個方面。

第一，推動高校數(shù)學教學內(nèi)容的改革。通過數(shù)學建模活動，將數(shù)學建模的思維融入數(shù)學課程中，打破了原有課程只重視理論、忽視應用的教學內(nèi)容安排。

第二，推動高校數(shù)學教學方法的改革。數(shù)學建模題目具有很強的靈活性，答案不唯一。在數(shù)學建?；顒又?，需要運用討論式的教學方法，讓學生參與到教學環(huán)節(jié)中，發(fā)揮學生的主體作用。

第三，推動高校數(shù)學教學手段的改革。隨著數(shù)學建模競賽和教學的影響日益擴大，越來越多的教師在原有的教學內(nèi)容中引入了計算機和數(shù)學軟件的應用，豐富了原來數(shù)學教學的形式和方法，在一定程度上改變了單純“注入式”的教學方法，對加快高校人才培養(yǎng)模式的改革起到了推動作用。

三、學生數(shù)學建模思維的培養(yǎng)

筆者認為，在大學傳統(tǒng)數(shù)學課程教學中，教師應注重將課本知識的講授與數(shù)學建模思想結(jié)合。

（一）案例一：零點定理的數(shù)學模型

方桌問題：適當變換方桌的方位，能否將方桌放穩(wěn)？

1.模型假設：

（1）方桌是規(guī)則（四條腿一樣長，桌腳與地面接觸處可視為一點，四角連線呈正方形）；

（2）地面是連續(xù)曲面（沒有臺階）；

（3）“放穩(wěn)”僅指四腳同時著地；

（4）桌腿足夠長，并且相對桌腳的間距和桌腿的長度而言，地面是平坦的，使桌子在任何位置至少有三只腳著地。

圖1

2.模型建立。首先，用變量 表示桌子的位置。桌角連線呈正方形，以中心為對稱點，正方形繞中心的旋轉(zhuǎn)角度這一變量表示桌子的位置。如圖1中桌角連線為正方形 ，對角線 與 軸重合，桌子繞 點旋轉(zhuǎn) 后，正方形 轉(zhuǎn)至 。

其次，把桌腳著地甩數(shù)學符號表示。設 、 兩腳與地面距離之和為 ， 、 兩腳與地面距離之和為 ，且 。由假設（4），桌子在任何位置至少有三只腳著地，所以對 ， 和 中至少有一個為零。當 時，不妨設 和 。這樣，改變桌子的位置使四只腳同時著地，就歸結(jié)為證明下列數(shù)學模型：

已知： ， 是連續(xù)函數(shù)，對 ，

，且 ， .求證： ，使 。

3.模型求解。將桌子旋轉(zhuǎn) ，對角線 與 互換，令 ，則 ， .由零點定理知， ，使 ，此時 ，即方桌放平穩(wěn)。

教師在講授上述定理時，可以利用上面的模型講解，讓學生體會數(shù)學建模思想。這樣，一個日常生活中直觀的實際問題通過零點定理就得到了很好的解決，并且學生也深刻體會到數(shù)學無處不在。

（二）案例二：概率模型

若打算開一家賭場，對于每一種賭法，你應如何調(diào)配賭局中的賠率，才能保證永遠不倒莊，且永遠有賭徒來賭博？

在此只討論某一種賭法，如同時擲三枚骰子，其他賭法類似。設每一賭局中共有 種結(jié)局，事先不知道會發(fā)生哪一種，設第 種結(jié)局出現(xiàn)的概率 為，每種結(jié)局對應的賠率為 .假設投注 元，若輸了則損失 元，若贏了則獲得純利潤 .根據(jù)上述規(guī)定，每次賭局的期望值必須滿足：

（1）

這是因為若平均收益為正數(shù)，則表示賭博一段時間后，賭客一定會贏錢，這樣賭場必然倒莊；若平均收益為負數(shù)，則表示賭博一段時間后，賭客一定會輸錢，這樣賭客漸漸囊中羞澀，自然也就不來了，而賭場則隨之關門。將（1）式變形得：

（2）

如賭大小，三個骰子丟出3-10點為小，丟出11-18點為大。因為大小出現(xiàn)概率都為0.5，因此根據(jù)式（2），賭大小的賠率為1。若賭的是“豹子”（出現(xiàn)三個六點），因為概率為1/216，則賠率為1賠215。

教師在講解有關知識時，一定要體現(xiàn)數(shù)學模型的思想，使數(shù)學來自具體問題，又回歸到具體問題，增強學生的應用意識。

在獨立院校數(shù)學教學改革的逐步探索中，我們應該以數(shù)學建模為切入點推動數(shù)學教學改革，探索適合獨立學院的數(shù)學教學模式，讓數(shù)學教學更好地為獨立院校的培養(yǎng)目標服務，促使學生更好地應用數(shù)學，綜合能力得到更好的提高，為培養(yǎng)符合社會發(fā)展需要的高素質(zhì)的應用型人才做出貢獻。

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