高書霞

【摘要】“立體幾何”是高中學生較難理解的內(nèi)容之一，究其原因，主要是學生缺乏空間想象能力和邏輯思維能力導(dǎo)致空間概念淡薄.筆者認為要培養(yǎng)學生的空間想象能力，除了用實物和模型進行教學外，更重要的還要從遵循學生的認知規(guī)律上入手.筆者就結(jié)合“直線與平面垂直”這節(jié)課談?wù)務(wù)J知規(guī)律在教學中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】認知；垂直；概念教學；思想方法

教育心理學認為，從學生的認知特點和心理特點上來看，中學生的認知規(guī)律有以下四條：1.學生的知識活動是通過主體活動構(gòu)建的，而認知活動是與感情活動、意志活動及個性心理傾向相互促進、協(xié)同發(fā)展；2.學生的認知活動總是遵循從具體到抽象、再到具體的順序，螺旋式上升；3.學生自身的認知結(jié)構(gòu)是繼續(xù)學習活動的出發(fā)點與歸宿；4.學生的認知發(fā)展是穩(wěn)定性與可變性、階段性與持續(xù)性，量變與質(zhì)變的辯證統(tǒng)一.要想讓學生學好數(shù)學，尤其是立體幾何這一部分，就應(yīng)該從學生的認知規(guī)律出發(fā)，以學生已有知識為基礎(chǔ)，以啟發(fā)學生思維為核心，引導(dǎo)學生從已知開始去探索未知的知識，進而建立知識體系.

一、創(chuàng)設(shè)貼近生活情境 直觀形象地引入概念

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

在前面我們已經(jīng)學過直線與平面的位置關(guān)系：①直線在平面上；②直線與平面平行；③直線與平面相交.我們已經(jīng)研究過直線在平面上和直線與平面平行，今天我們來學習直線與平面相交.

師：大家想想看生活中有哪些直線與平面相交的例子？

生：旗桿與地面，門柱與地面，圓錐的軸與底面，比薩斜塔……（PPT展示）

師：（適當補充）直線與平面相交有沒有哪種位置關(guān)系比較特殊？大家現(xiàn)在利用手中的筆和桌面比畫一下.

生：（學生利用手中的筆和桌面操作感知）垂直.

師：剛才的例子中旗桿與地面，門柱與地面都是垂直的，今天我們就來研究直線與平面垂直.

（二）感知實例，歸納概念

師：大家回憶一下直線與平面平行的思路，現(xiàn)在我們要研究直線與平面垂直，那么我們要研究哪些內(nèi)容？

生：（師生達成共識）定義—判定—性質(zhì)—應(yīng)用.

師：空間中兩直線垂直我們是如何研究的？（啟發(fā)學生用“降維”和“平面化”的思想來思考直線與平面垂直的問題.將研究直線與平面垂直問題轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)直線的位置關(guān)系）.

師：（引導(dǎo)學生回顧圓錐的形成過程，旋轉(zhuǎn)軸所在直線SO與底面圓所在的平面α內(nèi)經(jīng)過點O的直線都是垂直的，引導(dǎo)學生根據(jù)異面直線所成角的概念得出軸所在直線與底面內(nèi)的任意一條直線都垂直）.現(xiàn)在我們來給直線與平面垂直下個定義？

生：（學生給出定義，老師給出嚴格的定義及相關(guān)概念）如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條（所有）直線都垂直，則直線l與平面α垂直.

圖像語言（在畫圖時，把直線畫成與橫邊垂直能體現(xiàn)出“線面垂直”的直觀效果，在畫法中也體現(xiàn)了“線線垂直”）

符號語言m是平面α內(nèi)的任意一條直線l⊥ml⊥α.

（三）辨析討論，深化概念

思考：①定義中的“任意一條直線”能改為“無數(shù)條直線”嗎？由此可知定義中的關(guān)鍵詞有哪些？

生：不能，反例：

②一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與這個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直嗎？

生：垂直.

師：由此可知定義具有雙向性，線線垂直可以得到線面垂直，而線面垂直也可以得到線線垂直.

二、以問題為出發(fā)點，引導(dǎo)學生動手操作主動探究

我們學習了直線與平面垂直的定義.根據(jù)定義，要說明一條直線與平面內(nèi)的“任意一條”直線垂直.操作起來好像比較困難，能不能再少一點？一條？兩條？三條？……

結(jié)合下列實例：（1）長方體的側(cè)棱垂直于底面；

（2）跨欄圖片和支架圖片.

借助學生最熟悉的長方體模型和生活中最簡單的經(jīng)驗，感知判定直線與平面垂直時只需平面內(nèi)有限條直線（兩條相交直線），從中體驗有限與無限之間的辯證關(guān)系，從而提出猜想，為進一步的探究做準備.

播放動畫，動手實驗，引導(dǎo)學生觀察把課本豎直放在水平桌面上時書脊所在直線與桌面位置關(guān)系，觀察放開手后的現(xiàn)象以及打開書本后書脊所在直線與每頁紙面與桌面的交線之間的關(guān)系.

師：去掉幾頁這種垂直性變嗎？若要保持這種垂直性，至少要保留幾頁？

生：保留一頁肯定是不可以的，至少要保留兩頁.

由學生歸納得到：當一條直線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線我們就可以得到這條直線和這個平面是垂直的.

師：這就是我們要學習的直線與平面垂直的判定定理，你能不能用圖形來表示一下這個判定定理.

生：（學生畫中可能會出現(xiàn)兩種情況：一是與平面重直的直線經(jīng)過兩條相交直線的交點，另一種情況是不經(jīng)過交點.）

師：比較這兩種畫法，有什么區(qū)別？哪種畫法更具備一般性.

生：不經(jīng)過交點的更具有代表性，可經(jīng)過平移解決.

師：在解題時，我們更多的是利用符號語言，請同學們來提煉一下符號語言：

生：l⊥ml⊥nm∩n=Amαnαl⊥α.

師：五個條件得到一個結(jié)論，條件缺一不可.這個判定定理依舊是由線線垂直推得線面垂直.定義里是任意一條直線，判定定理是兩條相交直線，看來“線不在多，貴在相交”.

三、利用對比 加深對概念定理的理解

例 求證：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面.

師：這是一個用自然語言敘述的命題，如何表達更能有利于我們?nèi)ニ伎寄兀?/p>

生：（畫出圖像并翻譯成符號語言）.已知a∥b，a⊥α，求證：b⊥α.

師：現(xiàn)在我們要證明線面垂直，我們可以采用什么方法？請同學們動手做一下？

（接下來讓學生練習，有針對性地選兩種方法：一種是用定義證明，另一種是用判定定理證明.請兩名同學上黑板演示，再請兩名同學加以點評.）

師：歸納總結(jié)證明線面垂直有兩種方法：一種是用定義證明，另一種是用判定定理證明.

（一）類比聯(lián)想 發(fā)現(xiàn)性質(zhì)

師：如果兩條直線垂直于同一個平面，你會有什么結(jié)論？

生：這兩條直線平行.

師：你能證明這個結(jié)論嗎？也就是把例1的條件a∥b和結(jié)論a⊥b交換一下位置，即已知a⊥α，b⊥α，求證a∥b.

生：讓學生大膽嘗試，在嘗試中提高學生的思維能力.

師：要證明平行，我們常用的方法是借助“內(nèi)錯角、同位角、同旁內(nèi)角”等等，但這些方法只適合在一個平面內(nèi)，這兩條直線共面嗎？你能證明嗎？

師：看來這個問題的最大難度在于無法說明這兩條直線共面，我們不妨用反證法來嘗試證明（著重分析證明的思路，體會正難則反的思想）.

生：如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行.

師：由線面垂直推得線線平行，我們把這個命題稱為線面垂直的性質(zhì)定理.

四、以學生已有經(jīng)驗 引導(dǎo)其自主反思總結(jié)

以上就是我們本節(jié)課所學的內(nèi)容，通過這節(jié)課的學習，大家有什么收獲呢？

（一）知識內(nèi)容

1.直線與平面垂直的定義.（線線垂直→線面垂直）

2.直線與平面垂直的判定定理.（線線垂直→線面垂直）

3.直線與平面垂直的性質(zhì)定理.（線面垂直→線線平行）

（二）思想

1.（把線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系中蘊含的）轉(zhuǎn)化思想.

2.（要研究一般的線面相交，先研究特殊的線線相交中蘊含的）從特殊到一般的思想.

3.（正面證明不方便，用反證法證明蘊含的）正難則反的思想.

（三）規(guī)范化要求

1.三種語言之間的轉(zhuǎn)化.

2.證明的規(guī)范化要求.

五、回顧與反思

（一）概念和定理教學的策略思考

費賴登塔爾說過：“數(shù)學知識不是教出來的，而是研究出來的”.數(shù)學概念是數(shù)學的邏輯起點，是學生的認知基礎(chǔ)，是進行數(shù)學思維的核心，在數(shù)學學習和教學中具有重要的地位.概念和定理教學絕對不是結(jié)論的簡單告知，而應(yīng)該是加強概念的引入，引導(dǎo)學生經(jīng)歷從具體實例抽象出數(shù)學概念的過程.新課標提倡數(shù)學教學應(yīng)當注意創(chuàng)設(shè)合理生活情景，使數(shù)學學習更貼近學生，使學生易于接受，在數(shù)學課堂上的學習中，精心創(chuàng)設(shè)問題情景，使學生積極參與教學，了解知識發(fā)生發(fā)展的背景和過程，充分尊重學生的認知規(guī)律.在本節(jié)課的設(shè)計中，請學生來自己舉出生活中的情景如：旗桿與地面，門柱與地面，圓錐的軸與底面.學生不僅有充分的直觀感知活動，而且還有合理推理、提高邏輯思維的機會，學生對概念本質(zhì)的把握自然就更深刻了.繼而，通過動手操作、觀察分析、自主探究、問題辨析等活動，使學生切身感受直線與平面垂直判定定理的形成過程，學生從自己的動手活動中展開思維，也能體驗學習數(shù)學的興趣.在教師的啟發(fā)下積極思考并提出問題、解決問題，使學生的智慧能得到開發(fā)，提高數(shù)學課堂教學的有效性.

（二）注重滲透數(shù)學思想的教學

數(shù)學思想方法是現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式反映到人腦中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的對數(shù)學事實與數(shù)學理論的本質(zhì)的認識.日本數(shù)學家米山國藏曾經(jīng)指出數(shù)學思維方法的巨大價值：“學生所學到的數(shù)學知識，在進入社會后不到一兩年就忘記了，然而那些銘刻于頭腦中的數(shù)學精神和數(shù)學思維方法卻長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著作用.”可見數(shù)學思想方法的重要性.尊重學生的認知規(guī)律，重視數(shù)學思想方法的教學.例如在這節(jié)課里回顧“線面平行”的位置關(guān)系研究中曾將“線面平行”關(guān)系轉(zhuǎn)化為“線線平行”，體現(xiàn)了“平面化”和“降維”的思想，并指出“要研究直線與平面垂直，也可以轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的直線垂直的問題.”然后利用圓錐的形成過程—軸和底面是垂直的，引導(dǎo)學生感知直線與平面垂直的特征，并讓學生自己下定義.

【參考文獻】

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