龐彥福 許彬

【摘 要】運(yùn)算錯誤是大多數(shù)學(xué)生容易犯的錯誤。在學(xué)與教的過程中，教師應(yīng)不僅要求學(xué)生訂正錯誤，進(jìn)行糾錯，更應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生研究錯誤，弄明白運(yùn)算錯誤的背后是什么。引導(dǎo)學(xué)生從“糾”錯到“究”錯，不斷實(shí)驗(yàn)和反思；在“錯誤”中“體悟”，以彰顯思維的品質(zhì)；在“繁則思簡”的過程中，凸顯思維的深度，以達(dá)到在錯誤中進(jìn)行學(xué)習(xí)和進(jìn)步的目的。

【關(guān)鍵詞】運(yùn)算錯誤；運(yùn)算能力；初中數(shù)學(xué)

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2018）11-0033-03

【作者簡介】1.龐彥福，江南大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)（江蘇無錫，214062）教師，正高級教師，江蘇省特級教師，無錫市初中數(shù)學(xué)名師工作室主持人；2.許彬，江蘇省蘇州中學(xué)園區(qū)校（江蘇蘇州，215000）教師，高級教師。

2017年江蘇省“教海探航”征文競賽頒獎儀式暨全國名師課堂教學(xué)觀摩研討活動中，筆者分享了關(guān)于學(xué)生運(yùn)算錯誤的相關(guān)思考，并執(zhí)教了一節(jié)關(guān)于“有理數(shù)運(yùn)算”的復(fù)習(xí)課。之所以選擇與運(yùn)算相關(guān)的復(fù)習(xí)課，原因一是初中生運(yùn)算能力有待提高的現(xiàn)狀，二是復(fù)習(xí)不僅是總結(jié)、歸納、提升的過程，也是反思、“究”錯、改錯的過程，它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)，需要我們加以研究。

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為：錯誤是學(xué)習(xí)的必然產(chǎn)物，學(xué)生的知識背景、思維方式、情感體驗(yàn)、表達(dá)形式往往和成年人不同，他們在學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)各種各樣的錯誤是十分正常的。錯誤并不可怕，反思、改錯是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要環(huán)節(jié)。通過對錯誤的訂正、反思及研究，教師更好地促進(jìn)學(xué)生對學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的問題進(jìn)行思考，從錯誤中進(jìn)行學(xué)習(xí)。

運(yùn)算能力是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要能力。它主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力，一般包括學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的運(yùn)算正確率、運(yùn)算速度以及運(yùn)算方法的合理性，它是數(shù)學(xué)各項(xiàng)能力的基礎(chǔ)。多年的教學(xué)實(shí)踐與經(jīng)歷告訴我們，初中學(xué)生在運(yùn)算時主要存在運(yùn)算習(xí)慣不好、運(yùn)算順序不清、運(yùn)算律不熟等問題，從而出現(xiàn)運(yùn)算錯誤。那么，教師如何幫助學(xué)生視“錯誤”為“拐點(diǎn)”去提升運(yùn)算能力呢？筆者以為有如下策略。

一、學(xué)會從“糾”錯到“究”錯

通常情況下，學(xué)生出現(xiàn)運(yùn)算錯誤時，教師會讓他們訂正，或者是反復(fù)訓(xùn)練。這是因?yàn)檫\(yùn)算能力需要經(jīng)過多次反復(fù)訓(xùn)練，螺旋上升，逐步形成。在這一過程中，安排一定數(shù)量的練習(xí)，完成一定數(shù)量的習(xí)題是必不可少的。當(dāng)然，教師在訓(xùn)練時要把握好“度”，區(qū)分清楚什么是“必要的重復(fù)”，什么是“機(jī)械訓(xùn)練”，什么是“多做題目”，什么是“題海戰(zhàn)術(shù)”。如果題量過少，訓(xùn)練不足，難以形成技能，更難以形成能力；而題量過多，搞成題海戰(zhàn)術(shù)，反而適得其反，會使學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)情緒。

陜西師范大學(xué)羅增儒教授曾說：“沒有理解的練習(xí)是傻練，越練越傻；沒有練習(xí)的理解是空想，越想越空?！钡拇_，只有練習(xí)、訂正和糾錯是不夠的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要從本質(zhì)上理解數(shù)學(xué)的規(guī)范與原理，需要研究錯誤，弄明白錯誤的原因到底是什么。否則，不僅不能“熟能生巧”，很可能會出現(xiàn)“熟能生厭”“熟能生笨”，以致出現(xiàn)“熟能生亂”的情況，還會出現(xiàn)“越練越傻”“越想越空”的結(jié)果。

例如有這樣一道題：如圖1，根據(jù)圖中提供的信息，△ABC的面積是多少？

絕大多數(shù)學(xué)生很快得出答案是30（平方單位）。當(dāng)教師問是怎樣思考的時候，很多學(xué)生認(rèn)為這是簡單的送分題，根據(jù)三角形面積公式直接求就可以了。教師繼續(xù)追問時，有學(xué)生不耐煩地說：就是■×10×6=30（平方單位）。教師話鋒一轉(zhuǎn)，問道：有哪家的兒子比自己的父親大2歲的？學(xué)生一下子愣住了，沒有緩過神來。直到一位學(xué)生在黑板上畫出斜邊的中線CE時（如圖2），學(xué)生才恍然大悟：直角三角形的直角邊怎么可能大于斜邊呢，這道題目本身是不正確的。

學(xué)生對于不理解的錯誤可能會接受“糾錯”，即完成教師交給的“訂正”任務(wù)，卻不能保證下次不會再犯類似的錯誤。研究錯誤，弄清楚產(chǎn)生錯誤的原因，才可能從根本上糾正錯誤，才是真正的學(xué)習(xí)。

二、學(xué)會從“誤”中“悟”

飛速發(fā)展的社會，難免使教育沾染浮躁的氣息，在數(shù)學(xué)學(xué)與教的過程中“輕基礎(chǔ)重解題”的做法就是表現(xiàn)之一。這種做法的后果是學(xué)生不會思考了，更容易出錯了。例如“1元=1分”明明是不成立的，但學(xué)生面對所謂“完整”的計(jì)算過程卻發(fā)現(xiàn)不了問題在哪兒。再如，計(jì)算類似“”的式子時，學(xué)生往往是“只知其然，而不知其所以然”。

從“知道、領(lǐng)會、應(yīng)用”到“分析、綜合和評價”，既是布盧姆認(rèn)知目標(biāo)的發(fā)展過程，也是體現(xiàn)學(xué)習(xí)者思維品質(zhì)的遞進(jìn)過程。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，教師應(yīng)該要引導(dǎo)學(xué)生常思常悟，這樣，他們才會不斷地追根求源，才會舉一反三，觸類旁通。

無論是數(shù)與式的運(yùn)算，還是解方程與解不等式的運(yùn)算，教師要引導(dǎo)學(xué)生在反復(fù)操練、相互交流的過程中，逐步形成運(yùn)算技能，讓學(xué)生多想想“怎樣算”“怎樣算才好”“為什么要這樣算”，引導(dǎo)學(xué)生思考如何從“法則”到“算理”，使運(yùn)算從操作層面提升到思維層面。學(xué)生會想了，領(lǐng)悟了，才會養(yǎng)成“先思后做”的習(xí)慣，有了好的習(xí)慣，才會在運(yùn)算之前先看“是什么運(yùn)算”，再看“什么數(shù)參與運(yùn)算”，進(jìn)而明白“怎樣運(yùn)算才是合理的”。

我們都明白“凡事從簡單做起”的道理。我國古代著名哲學(xué)家、思想家老子有句名言：“天下難事，必做于易；天下大事，必做于細(xì)?！币胱尦踔袑W(xué)生的運(yùn)算過“關(guān)”越“坎”就應(yīng)該立足學(xué)生實(shí)際，以生為本，留給學(xué)生足夠的時間，讓學(xué)生反思錯誤，對錯誤有所思、有所悟。引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度思考并發(fā)現(xiàn)生活中的現(xiàn)象和問題，用數(shù)學(xué)的方法思考和解決生活中的現(xiàn)象和實(shí)際問題；學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光進(jìn)行觀察（看），用數(shù)學(xué)的頭腦進(jìn)行思考（想），用數(shù)學(xué)的語言進(jìn)行表達(dá)（說）；學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)該學(xué)習(xí)它的理性精神和追求，學(xué)會在辨析、碰撞中求取真理。

三、學(xué)會從“繁”到“簡”

生活中人們常說“窮則思變”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，繁也要思變。初中階段的教育主要任務(wù)是打基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)更應(yīng)如此，數(shù)學(xué)訓(xùn)練是要有一定的數(shù)量，更要有合理的質(zhì)量。

當(dāng)然繁與簡是相對的，必要的繁是為了簡，是提升思維的。曾聽過一位教師講解這樣一道題目：等腰△ABC的腰長為10cm，△ABC的面積為48cm2，求底邊長。

由于該班學(xué)生整體認(rèn)知水平比較一致，學(xué)生基本上都知道作腰上的高，而且分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況（如圖3和圖4），接著求出答案。在具體的運(yùn)算中，由于運(yùn)算量大，不少學(xué)生出現(xiàn)了錯誤。執(zhí)教教師對錯誤的處理很值得點(diǎn)贊。教師讓學(xué)生把算錯的過程寫在一張紙上，另取一張紙寫上新的運(yùn)算過程。過程如下：

類似地，可以算得圖4中BC=16cm。所以符合條件的底邊BC是12cm或16cm兩種情況。

我們看到，以上過程中教師引導(dǎo)學(xué)生不要輕易先算出每個平方數(shù)的結(jié)果，而是先思后算，邊思邊算，邊算邊思。當(dāng)學(xué)生寫出完整的運(yùn)算過程后，教師讓學(xué)生反過來回味運(yùn)算的每一步，對比兩次運(yùn)算的過程，學(xué)生就能體會到運(yùn)算過程中的繁與簡，體悟到運(yùn)算過程中的理性思維，欣賞算法、算理、法則的美妙及魅力，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

總之，教師要想學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，就應(yīng)該先讓學(xué)生具備良好的運(yùn)算能力。教師和學(xué)生一起正確對待錯誤、反思錯誤、研究錯誤，錯誤則會變成有用的資源，變成拐點(diǎn)，成為進(jìn)步的起點(diǎn)和階梯。

【參考文獻(xiàn)】

[1]教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3]李士锜.熟能生厭嗎——三談熟能生巧問題[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2000（01）.

[4]龐彥福.推理螺旋上升 彰顯深度學(xué)習(xí)——以“勾股定理”證明為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：中旬，2017（05）.