洪喜彬

【摘要】向量進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)教材已有數(shù)年歷史，甚至有些省份在初中開(kāi)始就已接觸向量，利用向量的方法解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題具有極高的先進(jìn)性和優(yōu)越性.但中學(xué)所接觸的向量知識(shí)并不全面，基于題型越為復(fù)雜、難度越加提高、覆蓋面越廣的高考命題趨勢(shì)及中學(xué)生學(xué)習(xí)涉及面日漸廣泛，一套更多、更好、更完整的向量解決方法急需為人所知、為人所用.

【關(guān)鍵詞】向量積；應(yīng)用；探討

中學(xué)數(shù)學(xué)題型形式靈活、多變，結(jié)構(gòu)變化無(wú)窮，難度逐漸增加，向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透也日趨多元化.向量在中學(xué)階段的介紹與學(xué)習(xí)卻是不全面的，缺乏系統(tǒng)性和完整性，對(duì)向量積的相關(guān)知識(shí)內(nèi)容并無(wú)涉及.而引入向量積的方法可有效地實(shí)現(xiàn)空間解析幾何在實(shí)際問(wèn)題中的作用，也凸顯“數(shù)形結(jié)合”這一中心思想，并使中學(xué)生獲得嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維，同時(shí)也為解決同一類難題提供了有效的工具.總之而言，向量積作用不僅僅表現(xiàn)在學(xué)生解題能力的提高，而且表現(xiàn)在對(duì)其綜合文化素質(zhì)的提高，亦可為其以后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).因此，把向量積的方法應(yīng)用到中學(xué)數(shù)學(xué)中來(lái)并做總結(jié)與推廣是十分有必要的.

一、向量積在立體幾何中的應(yīng)用

（一）利用向量積解決二面角問(wèn)題

縱觀歷年各地高考試題，二面角問(wèn)題在立體幾何解答題中占有較大的分量.而二面角問(wèn)題又因其靈活性極強(qiáng)、計(jì)算量較大的特點(diǎn)成為學(xué)生望而生畏的一類幾何問(wèn)題.若采用中學(xué)的常規(guī)方法（一般采用向量?jī)?nèi)積法）去解決這類題型，對(duì)于中下水平的學(xué)生而言無(wú)非是一種挑戰(zhàn)，畢竟此類方法要求學(xué)生具有一定的空間想象能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力，否則解題過(guò)程將會(huì)出現(xiàn)多處漏洞，如鈍角或銳角難以區(qū)分、法向量錯(cuò)亂、計(jì)算錯(cuò)誤等等.

假若采用向量外積法，則精簡(jiǎn)了分析計(jì)算過(guò)程，省去了判斷法向量方向的步驟，在一定程度上提高了運(yùn)算的準(zhǔn)確率，也便于在短時(shí)間內(nèi)求出二面角.以下對(duì)此方法進(jìn)行詳細(xì)分析以及例題研究：

（二）利用向量積計(jì)算點(diǎn)線面間的距離問(wèn)題

求異面直線間的距離是立體幾何中較難的問(wèn)題，在中學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)里面一般采用向量的數(shù)量積方法來(lái)解決，亦可作一定輔助性進(jìn)行逐步分析，利用單純的幾何思想，建立在“點(diǎn)與線的距離”相關(guān)問(wèn)題解決基礎(chǔ)上解決.但總體而言，此類方法較為煩瑣，對(duì)解題者有較高的解題能力要求，也較容易出錯(cuò).若采用向量積的方法，可以使這個(gè)困難的問(wèn)題統(tǒng)一地處理，得到一般的解題方法.

（三）關(guān)于在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)摻入向量積的探討

從上可見(jiàn)向量積在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用極為廣泛，與以往思想方法不同，既為難題提供了有效的解決方法也為學(xué)習(xí)者提高了解題效率.實(shí)際上向量積不僅可應(yīng)用在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，還可應(yīng)用其他領(lǐng)域，尤其是物理學(xué).向量積在中學(xué)中的作用可以說(shuō)是非同尋常的，但當(dāng)前新課標(biāo)對(duì)向量積這一領(lǐng)域知識(shí)并無(wú)要求，學(xué)生自然而然對(duì)這方面的知識(shí)了解甚少，甚至潛移默化中感覺(jué)到中學(xué)向量系統(tǒng)有點(diǎn)不倫不類之感，沒(méi)有完整的向量體系.那教師在實(shí)際教學(xué)當(dāng)中是否應(yīng)該主動(dòng)滲透一些向量積的相關(guān)知識(shí)呢？以下筆者對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行詳細(xì)探討.

基于對(duì)大量資料的整理和對(duì)當(dāng)下教育現(xiàn)實(shí)的親身理解，筆者對(duì)關(guān)于將向量積摻入中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)際教學(xué)當(dāng)中的必要性與矛盾性進(jìn)行深入探討，其中包含基于客觀現(xiàn)實(shí)和學(xué)習(xí)者主觀因素的四大必要性及四大矛盾.

在中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)際教學(xué)中摻入向量積的必要性：

1.中學(xué)向量知識(shí)結(jié)構(gòu)不完整.在向量實(shí)際教學(xué)當(dāng)中，或許有不少學(xué)生疑問(wèn)：教材中的數(shù)量積亦稱為內(nèi)積，那是否有向量的外積呢？學(xué)生帶著疑問(wèn)翻閱教材卻沒(méi)有發(fā)現(xiàn)有外積的少許痕跡，教師也沒(méi)有提及關(guān)于外積的一些知識(shí).雖然中學(xué)所接觸到向量知識(shí)可以解決大量的幾何問(wèn)題，但水平較好的學(xué)生則會(huì)發(fā)現(xiàn)，中學(xué)所接觸的向量知識(shí)較為簡(jiǎn)單，應(yīng)用起來(lái)也較為單一，甚至有些幾何題與其采用向量法不如利用傳統(tǒng)的幾何分析法（如作輔助線、三垂線定理等）解決.無(wú)形中給予學(xué)生一種空洞的感覺(jué)，心中并沒(méi)有完整的向量知識(shí)體系，對(duì)于較難的題目應(yīng)用數(shù)量積法較為煩瑣，勢(shì)必需要另外一種便捷、高效率的方法.于是，向量積在中學(xué)中的引入可以使得整個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)更加完整，可以豐富學(xué)生的閱讀面以及提高其問(wèn)題解決能力.

2.中學(xué)生具備同化向量積的知識(shí)結(jié)構(gòu).向量知識(shí)一般是被編排在中學(xué)學(xué)習(xí)的中間階段，起到承上啟下的作用.若在這里或者是再往后的學(xué)習(xí)資料中摻入一定向量外積的知識(shí)，學(xué)生完全具備接受新知識(shí)的能力，畢竟中學(xué)涉及的向量知識(shí)較為基礎(chǔ)，而且經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)立體幾何之后，學(xué)生對(duì)待幾何問(wèn)題較為敏感并具有較強(qiáng)的空間想象能力、分析能力，對(duì)待向量問(wèn)題也不失信心.

3.新課程數(shù)學(xué)思想方法的體現(xiàn).向量積對(duì)于解決立體幾何相關(guān)問(wèn)題特顯其魅力所在，而立體幾何的核心思想是：幾何直觀和公理化思想——既強(qiáng)調(diào)圖形整體的直觀，注重合情推理，要求適當(dāng)透過(guò)公理化思想，通過(guò)演繹推理來(lái)實(shí)現(xiàn).“立體幾何中平行、垂直位置關(guān)系”及“空間向量處理幾何問(wèn)題的具體操作”這兩條核心鏈在新課標(biāo)高考中的考查地位始終沒(méi)有動(dòng)搖，而這兩條核心鏈正是向量積在中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用的熱門(mén)知識(shí)領(lǐng)域，向量積的引入更讓學(xué)生感受“數(shù)形結(jié)合”的無(wú)窮魅力.目前中學(xué)生普遍存在缺乏幾何證明、邏輯演繹推理等能力，教師在授課過(guò)程中應(yīng)該用全新的眼光審視教材，因材施教，可適當(dāng)引入向量積的相關(guān)知識(shí)，使學(xué)生學(xué)會(huì)透過(guò)本質(zhì)看問(wèn)題.

【參考文獻(xiàn)】

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