李杰 李爽 舒廣文

摘 要：“中心極限定理”在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程的教學(xué)內(nèi)容中具有承上啟下的重要意義。該定理內(nèi)容抽象，形式復(fù)雜，教學(xué)效果很難令人滿意。以問題為導(dǎo)向的教學(xué)（problem-based learning，PBL）是一種以學(xué)生為中心的教學(xué)模式。目前，PBL模式在我國高等教育的課程教學(xué)中已有了較廣泛的應(yīng)用，取得了較理想的教學(xué)效果。為嘗試將這種新的教學(xué)模式運用于“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程的教學(xué)中，作者以“中心極限定理”章節(jié)為例，設(shè)計了基于PBL模式的教學(xué)過程。

關(guān)鍵詞：PBL模式；教學(xué)設(shè)計；中心極限定理

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：2096-000X（2018）05-0106-03

Abstract： The "Central Limit Theorem" is of great significance in the teaching content of the course "Probability and Mathematical Statistics". The content of this theorem is highly abstract， and the form of this theorem is very complex. Therefore， the teaching effect is difficult to be satisfactory. Problem-based learning （PBL） is a student centered teaching model. At present， the PBL model has been widely used in the course teaching of higher education in China， and has achieved an ideal teaching effect. In order to apply this new teaching mode to the teaching of "Probability and Mathematical Statistics"， we have designed a teaching process based on PBL mode， taking "Central Limit Theorem" as an example.

Keywords： PBL model； teaching design； Central Limit Theorem

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”是研究與隨機現(xiàn)象相關(guān)的數(shù)量規(guī)律的學(xué)科，也是高等學(xué)校理工科專業(yè)的通識必修課之一。“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”的潛在應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，幾乎遍及學(xué)術(shù)研究和日常生活的方方面面。通過本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以培養(yǎng)運用概率論的思想觀察、處理隨機事件的能力，培養(yǎng)運用統(tǒng)計學(xué)方法從數(shù)據(jù)資料中發(fā)現(xiàn)潛在規(guī)律的能力。由此可見，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程的學(xué)習(xí)效果對于理工科學(xué)生的專業(yè)能力培養(yǎng)具有重要意義?！爸行臉O限定理”在本課程的全部教學(xué)內(nèi)容中具有承上啟下的重要意義。該定理內(nèi)容抽象，形式復(fù)雜，既是本課程教學(xué)的重點，也是難點。在實際教學(xué)過程中，相當(dāng)部分學(xué)生不能理解定理的內(nèi)容，只能通過生搬硬套定理的數(shù)學(xué)形式來解答習(xí)題。如何提高“中心極限定理”章節(jié)的教學(xué)效果，是每一個參與該課程教學(xué)的教師都應(yīng)該積極思考的問題。

以問題為導(dǎo)向的教學(xué)（problem-based learning，PBL），簡稱PBL，是一種以學(xué)生為中心的教學(xué)模式[1，2]?；赑BL模式的教學(xué)主要包括以下幾個環(huán)節(jié)。首先，教師根據(jù)所要講授的教學(xué)內(nèi)容，給學(xué)生提出一個需要解決的問題，這個問題可以被稱為驅(qū)動問題。驅(qū)動問題的答案與教師的教學(xué)目標(biāo)緊密相關(guān)。接下來，學(xué)生對驅(qū)動問題展開探究，嘗試在教師的指導(dǎo)下自主解決這個問題。最后，學(xué)生通過自主探索，解決問題，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，掌握教學(xué)內(nèi)容。同時，在解決問題的過程中，學(xué)生也鍛煉了分析問題和解決問題的能力[3，4]。目前，PBL模式在我國高等教育的課程教學(xué)中已有了較廣泛的應(yīng)用[5]。為嘗試將這種新的教學(xué)模式運用于“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程的教學(xué)中，筆者以“中心極限定理”章節(jié)為例，設(shè)計了基于PBL模式的教學(xué)過程。本次教學(xué)設(shè)計所使用的教材是目前被各個高校廣泛采用的浙大編高教版“十一五”國家級規(guī)劃教材[6]。

一、“中心極限定理”的主要教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)的主要教學(xué)內(nèi)容為中心極限定理的兩種形式——獨立同分布的中心極限定理和棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理。其中，獨立同分布的中心極限定理是中心極限定理的基本形式。棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理是將其基本形式運用于服從兩點分布的總體時的特殊情形。

本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的重點，是中心極限定理所傳達(dá)的統(tǒng)計規(guī)律。值得注意的是，定理的內(nèi)容是基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)形式只是表達(dá)定理內(nèi)容的載體。學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)教學(xué)內(nèi)容時，應(yīng)該先理解定理內(nèi)容，在理解定理內(nèi)容的基礎(chǔ)上推導(dǎo)定理的數(shù)學(xué)形式。由于不少學(xué)生在長期以來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，養(yǎng)成了“背公式”的學(xué)習(xí)習(xí)慣，以為只要記住了定量的數(shù)學(xué)形式，在解題時加以套用就可以了。但是，由于中心極限定理的數(shù)學(xué)形式復(fù)雜，如果只是簡單地記憶公式，則往往不能準(zhǔn)確掌握公式中每一項的含義。這樣，就難以收到良好的學(xué)習(xí)效果。針對這一問題，結(jié)合PBL模式的基本教學(xué)環(huán)節(jié)，教師對本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)過程進(jìn)行了如下設(shè)計。

二、基于PBL模式的“中心極限定理”教學(xué)設(shè)計

（一）理解樣本均數(shù)與總體均數(shù)的不同屬性

獨立同分布的中心極限定理主要敘述的是當(dāng)抽樣次數(shù)足夠多時，樣本均數(shù)的分布規(guī)律。只有隨機變量，才存在分布的問題。因此，要理解這個定理，就需要理解樣本均數(shù)的隨機變量屬性。因此，教師一開始就提出驅(qū)動問題——什么是總體？什么是樣本？總體均數(shù)是常數(shù)還是隨機變量？樣本均數(shù)是常數(shù)還是隨機變量？為什么？總體均數(shù)和樣本均數(shù)雖然同為“均數(shù)”，但這兩個均數(shù)的屬性是不同的?？傮w均數(shù)的取值與抽樣的具體情況無關(guān)，因此，總體均數(shù)是常數(shù)。而樣本均數(shù)會隨著抽樣具體情況的不同而不同。因此，樣本均數(shù)是隨機變量。教師希望學(xué)生通過思考驅(qū)動問題，深刻理解樣本均數(shù)的隨機變量屬性。

（二）計算與理解樣本均數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差

既然樣本均數(shù)是隨機變量，那么，這個隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差又應(yīng)該是多少呢？教師提出深一層的驅(qū)動問題——從均數(shù)為μ，方差為σ2的總體中隨機抽取n個相互獨立的樣本。則這n個樣本的樣本均數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差分別是多少？此處，要向?qū)W生強調(diào)樣本和總體是服從相同分布的。因此，樣本的數(shù)字特征就是總體的數(shù)字特征。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生就可以根據(jù)數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)，計算出結(jié)果——樣本均數(shù)的數(shù)學(xué)期望與總體均數(shù)相同，方差為總體均數(shù)的1/n。盡管計算過程非常簡單，但相當(dāng)部分學(xué)生不能準(zhǔn)確地理解這一結(jié)論。主要問題在于，求數(shù)學(xué)期望具有求均數(shù)的意味，而在這個問題中，求均數(shù)的對象恰好又是“樣本的均數(shù)”。從問題的表述形式上來看，題目求的是“均數(shù)的均數(shù)”，理解起來確實可能存在困難。但是，如果學(xué)生能深刻理解樣本均數(shù)的隨機變量屬性，就不難破解“均數(shù)的均數(shù)”這一“障眼法”。其中的第一個“均數(shù)”是一個隨機變量，第二個“均數(shù)”是隨機變量的數(shù)字特征。

（三）理解獨立同分布中心極限定理的核心內(nèi)容——樣本均數(shù)的分布

在求出樣本均數(shù)的數(shù)字特征的基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步提出驅(qū)動問題——樣本均數(shù)應(yīng)該服從的分布是什么？學(xué)生通過閱讀教材，不難給出這個問題的答案——當(dāng)抽樣次數(shù)足夠多時，樣本均數(shù)服從的分布是正態(tài)分布。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生不難分析得出教材上獨立同分布的中心極限定理的原始數(shù)學(xué)形式中各項的準(zhǔn)確含義。為了檢驗學(xué)生是否準(zhǔn)確理解了中心極限定理的內(nèi)容，教師繼續(xù)提出驅(qū)動問題--如何只用文字，不用符號來表述中心極限定理？通過解答這一問題，學(xué)生可以獲得對中心極限定理的更深層次的理解。解決這一問題的難點，在于如何用文字解釋樣本均數(shù)服從正態(tài)分布這一較為抽象的內(nèi)容。通過積極思考和反復(fù)地討論，多數(shù)的學(xué)生都將能夠最終寫出一個比較令人滿意的文字表述。不妨可以用以下文字來敘述中心極限定理的內(nèi)容。從均數(shù)為μ，方差為σ2的總體（原總體）中隨機抽取n個相互獨立的樣本。抽樣一次，可得一個樣本均數(shù)。當(dāng)抽樣次數(shù)足夠多時，大量的樣本均數(shù)可以構(gòu)成一個新的總體（樣本均數(shù)的總體）。無論原總體服從什么樣的分布，樣本均數(shù)的總體一定服從正態(tài)分布。且新總體的總體均數(shù)與原總體相同，方差縮減為原總體的1/n。通過以上三個階段的PBL模式下的教學(xué)，學(xué)生獲得了對教材上獨立同分布的中心極限定理的認(rèn)識。教師首先把定理的內(nèi)容分解為三個層次——樣本均數(shù)的隨機變量屬性、樣本均數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差以及樣本均數(shù)的分布。針對每一個層次，教師有針對性地提出了驅(qū)動問題。學(xué)生在驅(qū)動問題的啟發(fā)下自主思考問題，習(xí)得預(yù)定的教學(xué)內(nèi)容。在PBL模式下，學(xué)生在整個學(xué)習(xí)過程中占主導(dǎo)地位，這有利于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動性，取得理想的教學(xué)效果。

（四）布置隨堂練習(xí)題，鞏固中心極限定理的基本形式

教師布置隨堂練習(xí)題如下：用機器對某種新藥口服液裝瓶，由于裝瓶有誤差，所以每瓶新藥口服液的凈重為一隨機變量，其期望值為100克，標(biāo)準(zhǔn)差為10克。現(xiàn)一箱中裝有口服液200瓶，試求一箱口服液的凈重超過20500克的概率。剛剛接觸“中心極限定理”知識的學(xué)生可能對這道習(xí)題一籌莫展。教師應(yīng)首先與學(xué)生一起讀題，幫助學(xué)生理解題意。就題目中的信息，教師可向?qū)W生提出以下驅(qū)動問題。題目中涉及的總體是什么？總體所服從的分布是否已知？總體參數(shù)是什么？哪些已知，哪些未知？樣本是什么？樣本容量是多大？題目關(guān)心的是樣本均數(shù)的分布還是樣本總數(shù)的分布？通過仔細(xì)閱讀習(xí)題內(nèi)容，學(xué)生容易得到這些問題的答案?？傮w是這臺機器裝配的所有的新藥口服液的重量。但是，總體所服從的分布是未知的。與總體相關(guān)的參數(shù)有兩個，即總體的均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。這兩個量都是已知的，均數(shù)為100克，標(biāo)準(zhǔn)差為10克?？蓪ⅰ耙幌淇诜骸笨闯墒莵碜钥傮w的樣本。即從這個總體中，隨機抽取了一組樣本容量為200的樣本。題目關(guān)心的應(yīng)該是樣本總數(shù)的分布，如果知道了樣本總數(shù)的分布，就容易求出題目要求的概率。學(xué)生通過回答這些問題，可以有效地加深對知識的理解與掌握。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)注意觀察學(xué)生對問題的反應(yīng)。如果學(xué)生回答問題有困難，教師應(yīng)對定理的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行強化講解。學(xué)生在上述驅(qū)動問題的引導(dǎo)下，可以通過“中心極限定理”，得出口服液總重量應(yīng)服從的分布——均數(shù)為200×100=20000，方差為200×10×10=20000的正態(tài)分布。最后，利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)可以求出最終結(jié)果。通過解答這道課堂練習(xí)，學(xué)生可鞏固對中心極限定理基本形式的認(rèn)識。借用該題中的實例，學(xué)生可以更好地理解定理中的樣本均數(shù)、總體均數(shù)、以及樣本均數(shù)的分布等項的含義。

（五）推導(dǎo)并理解中心極限定理的拉普拉斯形式

在理解獨立同分布的中心極限定理內(nèi)容的基礎(chǔ)上，教師繼續(xù)向?qū)W生提出驅(qū)動問題——從服從兩點分布B（1，p）的總體中隨機抽取n個相互獨立的樣本，則樣本均數(shù)的分布是什么？如何解釋樣本均數(shù)的分布？對于第一個問題，學(xué)生容易得到答案——樣本的均數(shù)服從均數(shù)為p，方差為p（1-p）/n的正態(tài)分布。要理解這個分布，首先要理解的是來自二項分布總體的樣本均數(shù)的實際意義。通過思考和交流，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，樣本均數(shù)是一個比例，這個比例是“樣本率”，即頻率。進(jìn)一步地不難發(fā)現(xiàn)，總體均數(shù)也是一個比例，只不過這個比例是“總體率”，是概率。因此，在針對兩點分布的總體這一特殊的情形下，樣本均數(shù)的分布規(guī)律可解釋為頻率在概率附近波動，樣本容量越大，波動程度越小。這也就是在概率論中用大量重復(fù)實驗中的頻率代替概率的理論基礎(chǔ)。在獲得了這些認(rèn)識以后，學(xué)生就可以自然而然地理解教材中棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理的數(shù)學(xué)形式以及其中每一項的含義。

（六）布置隨堂練習(xí)題，鞏固中心極限定理的拉普拉斯形式

教師布置隨堂練習(xí)題如下：根據(jù)孟德爾遺傳理論，紅、黃兩種番茄雜交第二代紅果植株和黃果植株的比例為3：1，現(xiàn)種植雜交種400株，試求其中的黃果植株在84和117之間的概率。就題目中的信息，教師仍然向?qū)W生提出以下驅(qū)動問題。題目中涉及的總體是什么？總體所服從的分布是否已知？總體參數(shù)是什么？哪些已知，哪些未知？樣本是什么？樣本容量是多大？題目關(guān)心的是樣本均數(shù)還是總數(shù)的分布？在本題中，多數(shù)學(xué)生不能直接從題目給予的信息中讀出總體的相關(guān)信息。但是，容易知道本題中涉及的樣本為400株雜交種植株，它們要么是紅果植株，要么是黃果植株。因此，樣本服從的分布應(yīng)為兩點分布。如果設(shè)計數(shù)隨機變量Xi的取值由下式給出：

Xi=0 第i個植株非黃果植株1 第i個植株為黃果植株

則黃果植株的總數(shù)X=X1+X2+…+X400。

所以，本題最終要求解的概率與樣本總數(shù)的分布有關(guān)。

到此，學(xué)生對于本題中所涉及的樣本，已經(jīng)獲得了較為全面的認(rèn)識。然而，總體是什么？總體服從的分布是什么？總體相關(guān)的參數(shù)是什么？學(xué)生尚不能準(zhǔn)確地把握。這時，教師應(yīng)提醒學(xué)生——樣本是來自總體的樣本，故總體和樣本應(yīng)服從相同的分布。樣本的分布為p=1/4的兩點分布，故總體也應(yīng)服從p=1/4的兩點分布。由兩點分布的性質(zhì)，其數(shù)學(xué)期望為1/4，方差為3/16。由中心極限定理，400個來自兩點分布總體的樣本的和的分布均數(shù)為400×1/4=100，方差為400×3/16=75的正態(tài)分布。最后，利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)可求出最終結(jié)果。進(jìn)一步地，教師繼續(xù)向?qū)W生提出如下驅(qū)動問題。在本例中，總體均數(shù)、樣本均數(shù)以及樣本均數(shù)的分布分別有何意義。學(xué)生通過思考可以知道，總體均數(shù)是黃果植株出現(xiàn)的概率（總體率），而樣本均數(shù)是黃果植株在本次抽樣中出現(xiàn)的頻率（樣本率）。由中心極限定理，頻率應(yīng)在概率附近波動，且樣本容量越大，波動程度越小。本題比前一題相對要難一些。主要難在本題中的總體參數(shù)不是直接告訴學(xué)生的，而是需要學(xué)生通過分析樣本的特征來進(jìn)行求解的。通過解答這道練習(xí)題，學(xué)生可鞏固對中心極限定理拉普拉斯形式的認(rèn)識。

三、關(guān)于“中心極限定理”章節(jié)教學(xué)方法的探討

（一）注重對中心極限定理內(nèi)容的理解

數(shù)學(xué)是一種抽象的語言。書寫數(shù)學(xué)公式的最終目的是將數(shù)學(xué)規(guī)律的具體內(nèi)容以一種簡單的形式呈現(xiàn)出來。對于較簡單的數(shù)學(xué)公式，學(xué)生一般容易理解。但是，中心極限定理的數(shù)學(xué)形式比較復(fù)雜，初學(xué)者一般難以直接從數(shù)學(xué)公式的形式來把握定理的內(nèi)容。因此，在講授這一部分內(nèi)容時，教師應(yīng)首先將數(shù)學(xué)形式背后要傳達(dá)的信息逐步地傳授給學(xué)生。在學(xué)生基本了解了這個定理的內(nèi)容之后，再向?qū)W生介紹定理的數(shù)學(xué)形式。這樣，就可以有效避免學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的死記硬背和生搬硬套，從而提高教學(xué)效果。

（二）注重學(xué)與練的有機結(jié)合

及時練習(xí)對于本部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)具有重要意義。因此，教師應(yīng)拿出一部分課堂時間，讓學(xué)生當(dāng)堂操練所學(xué)的內(nèi)容。對布置給學(xué)生的練習(xí)題，教師要認(rèn)真地給學(xué)生解釋題意，分析題目中給出的數(shù)量與中心極限定理內(nèi)容的對應(yīng)關(guān)系，輔導(dǎo)學(xué)生完成習(xí)題。將自主練習(xí)穿插在課堂教學(xué)中，既有利于調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，也有利于學(xué)生在教師的指導(dǎo)下實現(xiàn)知識內(nèi)化。

（三）注重學(xué)習(xí)過程中的師生互動

著名教育學(xué)專家鐘啟泉先生強調(diào)：“在課堂教學(xué)中，教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生之間就教材文本和生活體驗為媒介展開相互溝通，學(xué)生唯有通過這種溝通，才能習(xí)得種種知識”[7]。由此可見，課堂教學(xué)中的師生以及生生交流對于教學(xué)效果的提高具有舉足輕重的作用。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)針對教學(xué)內(nèi)容的重難點，反復(fù)提出問題，要求學(xué)生回答。師生互動形式不拘，既可以是教師指定學(xué)生回答，也可以是學(xué)生一起回答。這樣既有利于教師掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，也有利于學(xué)生實現(xiàn)知識的內(nèi)化。

（四）注重現(xiàn)代教育技術(shù)與傳統(tǒng)板書教學(xué)的有機結(jié)合

在課堂教學(xué)中使用多媒體工具是當(dāng)代教育發(fā)展的大趨勢。多媒體工具的優(yōu)越性是將動態(tài)和直觀的過程形象地展示給學(xué)生。通過多媒體工具，學(xué)生容易在較短時間內(nèi)對較復(fù)雜的過程產(chǎn)生直觀的印象。但是，長時間觀看多媒體也容易給學(xué)生學(xué)習(xí)造成負(fù)面影響。還值得注意的是，多媒體的播放速度往往快于大多數(shù)學(xué)生接受信息的速度。因此，多媒體工具往往不適合用于推導(dǎo)成分比較重的教學(xué)。在教學(xué)實踐中，如果用多媒體工具直接放映“中心極限定理”的數(shù)學(xué)表達(dá)式這一方式來進(jìn)行教學(xué)，多數(shù)學(xué)生可能難以獲得對定理內(nèi)容的基本認(rèn)識。在“中心極限定理”章節(jié)中，可以用多媒體技術(shù)來呈現(xiàn)“原總體”和“樣本均數(shù)組成的總體”兩個總體之間的相互關(guān)系。與中心極限定理相關(guān)的推導(dǎo)計算則最好采用傳統(tǒng)的板書形式進(jìn)行教學(xué)。

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