龍鳳 高明

摘 要：數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，其培養(yǎng)是一個循序漸進的過程，將數(shù)學(xué)建模思想引入小學(xué)教學(xué)有重要的意義和作用。本文以植樹問題為例，闡述教師如何引導(dǎo)學(xué)生從實際問題中抽象出具體的數(shù)學(xué)模型，以解決相關(guān)問題，幫助學(xué)生從小培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想。

關(guān)鍵詞：建模思想；小學(xué)數(shù)學(xué)；應(yīng)用

數(shù)學(xué)建模是將現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型，以此來解決問題的過程，其本質(zhì)是運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，它構(gòu)建了數(shù)學(xué)與外部世界的“橋梁”，是應(yīng)用數(shù)學(xué)思想、方法解決實際問題的重要手段，是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的動力。

小學(xué)數(shù)學(xué)建模需要考慮小學(xué)生的年齡特征及其心理發(fā)展水平，教師應(yīng)善于利用幾何直觀，鼓勵學(xué)生用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號以及數(shù)學(xué)圖形描述問題。通常情況下，在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)建模大致可以包括四個步驟：

模型應(yīng)用模型構(gòu)建驗?zāi)Ｐ颓蠼鈫栴}抽象

下面以小學(xué)階段典型的植樹問題為例進行建模分析：

“植樹問題”是現(xiàn)實生活中常見的實際問題，主要涉及間隔數(shù)與棵數(shù)之間的關(guān)系，意在培養(yǎng)學(xué)生從問題中尋找規(guī)律的意識和能力，并在問題解決的過程中，逐步滲透數(shù)學(xué)建模的思想。

提出問題：植樹節(jié)到了，學(xué)校組織同學(xué)們要在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽），一共需要多少棵樹苗？

分析和解答：

一、 形象展示，探索規(guī)律

教師先向?qū)W生展示現(xiàn)實生活中的一張綠化圖，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖中（圖1）每兩棵樹之間，每三棵樹之間，……，樹的棵數(shù)與間隔數(shù)之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并且要求學(xué)生用線段圖的方式將樹與間隔的關(guān)系抽象出來：

觀察圖2，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每兩棵樹之間有1個間隔，三棵樹有2個間隔，四棵樹有3個間隔，五棵樹有4個間隔，……，棵數(shù)總比間隔數(shù)多1個（兩端都要栽）。

二、 歸納總結(jié)，構(gòu)建模型

進一步觀察，歸納出棵數(shù)與間隔數(shù)之間存在的等式關(guān)系：

間隔數(shù)+1=棵數(shù)；棵數(shù)-1=間隔數(shù)

通過初步建立間隔數(shù)與棵數(shù)的模型，進一步讓學(xué)生意識到可以通過求間隔數(shù)來間接求出棵數(shù)，于是將問題轉(zhuǎn)化為求間隔數(shù)。

問題轉(zhuǎn)化：

①長100米的線段，每5米一個間隔，問有多少個間隔？

②在已知一段線段的長度以及間隔長的情況下，間隔數(shù)應(yīng)用怎樣的等式關(guān)系表示？

鼓勵學(xué)生自行解決問題①：一共有100÷5=20（個）間隔

師生共同總結(jié)出問題②等式關(guān)系：間隔數(shù)=線段長度÷間隔長

歸納總結(jié)，得到最終模型：

間隔數(shù)=線段長度÷間隔長 間隔數(shù)+1=棵數(shù)；棵數(shù)-1=間隔數(shù)

三、 應(yīng)用模型，解決問題

再次轉(zhuǎn)化，回歸初始問題：老師引導(dǎo)學(xué)生將“線段”替換成“小路”，每5米一個間隔看作是每隔5米種一棵樹，于是學(xué)生很容易得出長100米的小路上一共有20個間隔。這是問題解決的關(guān)鍵一步。

根據(jù)前面師生共同建構(gòu)的模型：

間隔數(shù)=線段長度÷間隔長 間隔數(shù)+1=棵數(shù)；棵數(shù)-1=間隔數(shù)

學(xué)生可以自行求得一共栽種：20+1=21

四、 變式練習(xí)，鞏固提升

在問題的整個解決過程中，學(xué)生對植樹問題兩端都植樹的情況有了一定的建立數(shù)學(xué)模型的意識，老師可進一步對問題進行變形，鼓勵學(xué)生聯(lián)系兩端均要植樹的問題解決步驟自主建立模型解決問題。

變式1：同學(xué)們在全長為100米的路一邊植樹，每隔5米栽一棵（只植一端）。一共需要多少棵樹苗？

用線段圖的方式將樹與間隔的關(guān)系抽象出來：

通過圖3，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：一棵樹1個間隔，兩棵樹2個間隔，三棵樹3個間隔，……，棵數(shù)總等于間隔數(shù)（只植一端）。

棵數(shù)與間隔數(shù)存在數(shù)量關(guān)系：間隔數(shù)=棵數(shù)

間隔數(shù)：間隔數(shù)=線段長度÷間隔長

總結(jié)歸納，得到僅一端植樹需要樹苗數(shù)的最終模型：

間隔數(shù)=線段長度÷間隔長 間隔數(shù)=棵數(shù)

利用模型解決問題：

①求間隔數(shù)：100÷5=20（個）

②求所需樹苗數(shù)：20（個）=20（棵）

變式2：同學(xué)們在全長為100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端均不植樹）。一共需要多少棵樹苗？

用線段圖的方式將樹與間隔的關(guān)系抽象出來：

通過圖4，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：一棵樹2個間隔，兩棵樹3個間隔，三棵樹4個間隔，……，棵數(shù)總比間隔數(shù)少1個（兩端均不植）。

棵數(shù)與間隔數(shù)存在數(shù)量關(guān)系：間隔數(shù)-1=棵數(shù) 棵數(shù)+1=間隔數(shù)

間隔數(shù)：間隔數(shù)=線段長度÷間隔長

總結(jié)歸納，得到兩端均不植樹需要樹苗數(shù)的最終模型：

間隔數(shù)=線段長度÷間隔長 間隔數(shù)-1=棵數(shù) 棵數(shù)+1=間隔數(shù)

利用模型解決問題：

①求間隔數(shù)：100÷5=20（個）

②求所需樹苗數(shù)：20-1=19（棵）

變式3：同學(xué)們沿周長為100米的圓形綠化地植樹，每隔5米栽一棵。一共需要多少棵樹苗？

變式3的圓周植樹問題是在前面兩個直線植樹問題變式基礎(chǔ)上的加深加難，但老師已經(jīng)引導(dǎo)、鼓勵學(xué)生成功建立了直線植樹的一系列模型，學(xué)生對建立模型有了一定的實踐經(jīng)驗，老師可以讓學(xué)生自行動腦思考，動手實踐，建立解決變式3的圓周植樹問題的數(shù)學(xué)模型。

同樣利用點線圖抽象出圓周植樹中間隔與棵數(shù)的關(guān)系：

通過圖5，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：一棵樹1個間隔，兩棵樹2個間隔，三棵樹3個間隔，……，棵數(shù)總等于間隔數(shù)（圓周植樹）。

棵數(shù)與間隔數(shù)存在數(shù)量關(guān)系：間隔數(shù)=棵數(shù) 間隔數(shù)：間隔數(shù)=線段長度÷間隔長

總結(jié)歸納，得到圓周植樹需要樹苗數(shù)的最終模型：

間隔數(shù)=線段長度÷間隔長 間隔數(shù)=棵數(shù)

利用模型解決問題：

①求間隔數(shù)：100÷5=20（個）

②求所需樹苗數(shù)：20（個）=20（棵）

植樹模型的建立主要是需要學(xué)生觀察實際生活，在教師引導(dǎo)下學(xué)生利用點線圖抽象出樹與間隔的位置關(guān)系，得出植樹棵數(shù)與間隔之間存在的數(shù)量關(guān)系。這樣做不僅培養(yǎng)了小學(xué)生有意識的通過建模解決數(shù)學(xué)問題，更重要的是讓學(xué)生學(xué)會了用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，熱愛生活，樹立健全人格！

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)應(yīng)用的橋梁，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模的思想是可行的，但在教學(xué)中應(yīng)做好：（1）加強幾何直觀，增強趣味性。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有特殊性，最主要的是它必須依據(jù)小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平以及邏輯思維發(fā)展程度，需要更多地依靠生活經(jīng)驗和幾何直觀。小學(xué)生活潑好動，教師對建模的原問題設(shè)計在依據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗以及結(jié)合幾何直觀的基礎(chǔ)上，要盡可能的使問題具有一定的趣味性，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)積極性，外部刺激與內(nèi)部學(xué)習(xí)動機相結(jié)合，讓學(xué)生體味數(shù)學(xué)建模的魅力所在。（2）注重應(yīng)用模型，注意變式拓展。數(shù)學(xué)是靈活多變的，但問題與問題之間又存在著一定的聯(lián)系。在利用模型解決問題時，適當(dāng)?shù)貞?yīng)用變式，將有助于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的意識，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

參考文獻：

[1]曹培英.跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的實踐解讀之八——模型思想（上）[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2014（12）：4-9.

[2]代金鳳.構(gòu)建模型 提升能力 發(fā)散思維——例談小學(xué)數(shù)學(xué)中的“植樹問題”[J].呼倫貝爾學(xué)院學(xué)報，2012（03）：110-112.

作者簡介：

龍鳳，高明，四川省南充市，西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院。