蔣麗英

理論根基不穩(wěn)定，就無(wú)法靈活應(yīng)用，只是學(xué)習(xí)空頭理論，不會(huì)應(yīng)用，對(duì)理論的把握就會(huì)出現(xiàn)偏差?？傊?，要想調(diào)和理論與實(shí)踐的矛盾，就要幫助學(xué)生建構(gòu)運(yùn)算律，讓學(xué)生在具體情景中，憑借過(guò)往經(jīng)驗(yàn)，以同化或順應(yīng)的方式吸收消化新知。“運(yùn)算律”的建構(gòu)，主要包含了建構(gòu)數(shù)學(xué)模型和構(gòu)建數(shù)學(xué)思想兩個(gè)方面。

一、建立在“運(yùn)算律”原始經(jīng)驗(yàn)上的分析

筆者認(rèn)為，在正式接觸交換律之前，學(xué)生對(duì)加、乘法交換律并非一無(wú)所知，以蘇教版教材為例：課本設(shè)置了小學(xué)生給花澆水的圖景，學(xué)生解答“共有多少人澆水”時(shí)，由于還未形成數(shù)字加法計(jì)算，也沒(méi)有學(xué)過(guò)加法算理，于是，多數(shù)學(xué)生仍采用原始的“數(shù)數(shù)”合計(jì)的方法。如先數(shù)清正在給花卉澆水的有3個(gè)學(xué)生，又來(lái)2個(gè)學(xué)生幫工，也就是順著3往后繼續(xù)數(shù)兩個(gè)序數(shù)，于是，一共數(shù)到數(shù)碼5為止，也就是5個(gè)學(xué)生。當(dāng)然，也有少數(shù)學(xué)生逆向思維，以后來(lái)加入的2位學(xué)生為基準(zhǔn)，往后點(diǎn)算3個(gè)數(shù)序，一直數(shù)到數(shù)碼5為止，于是5為總數(shù)。然后，教師牽引學(xué)生思考：“通過(guò)什么辦法，將剛才清點(diǎn)總數(shù)的過(guò)程用一個(gè)簡(jiǎn)潔的算式表示？”然后及時(shí)推出3+2=5或2+3=5兩個(gè)加式。不難發(fā)覺(jué)，從一年級(jí)“認(rèn)識(shí)加法”開(kāi)頭，學(xué)生業(yè)已無(wú)意識(shí)地感觸了交換律。以3個(gè)澆花的學(xué)生為基準(zhǔn)，新加入的2個(gè)同學(xué)匯入其中，或者換個(gè)角度，以新加入的2個(gè)同學(xué)為視角，先到的三位同學(xué)算進(jìn)去，結(jié)果都是一樣，誰(shuí)是主體，誰(shuí)是支脈，交換主次地位，就是加法交換律的“雛形”。

隨著時(shí)間的推移，心智的成熟，這種“雛形”將日漸完善，這個(gè)“規(guī)律”將逐漸進(jìn)駐潛意識(shí)成為默認(rèn)值：兩數(shù)合并，先后順序不影響結(jié)果。同樣，學(xué)生對(duì)乘法交換律的“雛形”，在二年級(jí)已經(jīng)有了經(jīng)驗(yàn)胚胎。如二上第一單元“乘法認(rèn)識(shí)”。教材創(chuàng)設(shè)這樣的情境：依托情境圖讓學(xué)生清點(diǎn)出各種小動(dòng)物的只數(shù)，然后讓學(xué)生觀察所有列出算式的特征，加數(shù)相同的加法運(yùn)算。這種特殊的加法算式有一種簡(jiǎn)寫方式，這種針對(duì)特殊加法定制的簡(jiǎn)式就是乘法。如2+2+2可以寫成2×3或3×2。

二、算術(shù)意義背景下的運(yùn)算律教學(xué)路徑

加乘結(jié)合律，是一種另類的交換律，是對(duì)交換律的變通和延伸，從兩個(gè)數(shù)出發(fā)，引申至更多數(shù)，合情推斷出三個(gè)或以上的數(shù)相加，任意交換其中兩個(gè)加數(shù)的位置，和值不變。之所以可以順利伸延，是因?yàn)橐勒塘藢?duì)原有乘加法意義的理解。如計(jì)算連加2+3+4，表示三個(gè)數(shù)量的合并，合并就無(wú)所謂先后順序。同理，計(jì)算3×2×4時(shí)，學(xué)生能理解先計(jì)算3×2，或者先計(jì)算2×4得數(shù)一致，三個(gè)因數(shù)可以隨意調(diào)換位置。這就是結(jié)合律的啟蒙運(yùn)動(dòng)。教學(xué)結(jié)合律時(shí)，要讓學(xué)生徹底搞清楚：運(yùn)算三個(gè)數(shù)，分次序，與運(yùn)算兩個(gè)數(shù)不同，除了交換位置還要改變計(jì)算工序。為了體現(xiàn)工序改變，一般加“( )”表示。

對(duì)于分配律，在二年級(jí)計(jì)算一位數(shù)乘法時(shí)也植入了分配律的思想方法。如計(jì)算12×4，學(xué)生都能將其拆解成12+12+12+12的連加形式，轉(zhuǎn)碼成加法時(shí)，需將12繼續(xù)分解成(10+2)，于是得到算式：10+2+10+2+10+2+10+2，根據(jù)加法結(jié)合律，得到2+2+2+2+10+10+10+10，于是，得到4個(gè)2的積與4個(gè)10的積相加。因此，用4乘12時(shí)，順其自然想到將12拆解成10+2，然后分別與4相乘，也就是(10+2)×4=10×4+2×4。順著看，是將12個(gè)4分拆成10個(gè)4和2個(gè)4；倒著看，是10個(gè)4再加2個(gè)4，一共是12個(gè)4。

(一)加法的交換律和結(jié)合律

第一層次：可出示教材情境圖

在學(xué)生得出28+17=17+28之后，教師可激活學(xué)生封凍的經(jīng)驗(yàn)，誘導(dǎo)學(xué)生回憶加法意義，讓學(xué)生利用生活經(jīng)驗(yàn)揭示交換律的原理。

第二層次：在學(xué)生得出28+17+23=？之后，引領(lǐng)學(xué)生反思：兩個(gè)加數(shù)可以交換位置，三個(gè)加數(shù)可行嗎？為什么？進(jìn)而得出三數(shù)相加，除了考慮位置變化，還應(yīng)顧及運(yùn)算順序的變化。

(二)乘法的交換律和結(jié)合律

第一層次：解封乘法意義。如3+3和2+2+2分別寫成什么樣的乘法簡(jiǎn)式？既然乘法是對(duì)加法的簡(jiǎn)化程序，能否由加法的兩個(gè)運(yùn)算律推定乘法運(yùn)算律？用生活經(jīng)驗(yàn)詮釋為什么3+3=2+2+2，也就是3×2=2×3。如讓學(xué)生數(shù)點(diǎn)陣點(diǎn)數(shù)。

……

……

橫向看，每行3個(gè)，一共2行，3×2=6個(gè)；縱向看，每列2個(gè)，一共3列，所以2×3=6個(gè)。于是無(wú)論怎么數(shù)，都是6個(gè)，于是3×2=2×3。

第二層次：引領(lǐng)學(xué)生思考，兩數(shù)相乘適用交換因數(shù)位置，三數(shù)相乘行得通嗎？

(三)乘法的分配律

第一層次：出示計(jì)算12×4的豎式。引領(lǐng)學(xué)生回顧每個(gè)步驟的算理，仍可以用“數(shù)形結(jié)合”法。如下圖中的面積可以怎樣算？

第二層次：指引學(xué)生深思，由乘法豎式格式和算理可以推斷出什么樣的運(yùn)算律？并用代數(shù)式表示。

三、運(yùn)算律單元教學(xué)整體思路的調(diào)整

以上教學(xué)思路，由原來(lái)情境觀察提煉法，依托列式，建立在發(fā)掘、枚舉、論證和歸結(jié)中得出運(yùn)算律，形成整體感性認(rèn)知，發(fā)展到喚醒學(xué)生封存的經(jīng)驗(yàn)，解構(gòu)豎式每一步驟的算理，進(jìn)行理性分析。最終抽象概括成代數(shù)式，并理論服務(wù)于實(shí)際，在解決問(wèn)題中學(xué)以致用。新思路是：感觸、摸索規(guī)律→追尋根源→學(xué)以致用?！斑\(yùn)算律”的存在，是蘊(yùn)含在計(jì)算程序和客觀規(guī)律上的，是“隱性的客觀存在”，而不是隨著主觀意志改變而改變的。如果先呈現(xiàn)幾種不同的算式，生硬地灌輸某種規(guī)律，然后再進(jìn)行走過(guò)場(chǎng)般的求證，就會(huì)有做戲之嫌。

總之，運(yùn)算律的學(xué)習(xí)掌握過(guò)程就是一步步構(gòu)建的過(guò)程，并在不斷的應(yīng)用中解構(gòu)。在“建構(gòu)”與“解構(gòu)”的反復(fù)循環(huán)中，學(xué)生學(xué)到的知識(shí)才是具有活性的。