■山東省棗莊二中 楊金林

在解決導(dǎo)數(shù)問題時構(gòu)造函數(shù)的思想是非常重要的,因為導(dǎo)數(shù)的建立與引入就是為函數(shù)的研究而服務(wù)的,要想使導(dǎo)數(shù)有用武之地就必須構(gòu)造好函數(shù),下面舉例說明。

例1 (2017年高考北京文數(shù))已知函數(shù)f(x)=excosx-x。

(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;

分析：(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求斜率再代入切線方程公式y(tǒng)-f(0)=f'(0)(x-0);(2)設(shè)h(x)=f'(x),求h'(x),根據(jù)h'(x)＜0確定函數(shù)h(x)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性求得函數(shù)的最大值h(x)=0,可知h(x)=f'(x)≤0恒成立,所以函數(shù)f(x)是單調(diào)遞減函數(shù),再根據(jù)單調(diào)性求最值。

解：(1)因為f(x)=excosx-x,所以f'(x)=ex(cosx-sinx)-1,f'(0)=0。

又因為f(0)=1,所以曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=1。

(2)設(shè)h(x)=ex(cosx-sinx)-1,則h'(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx。

點評:這道導(dǎo)數(shù)題并不難,比一般意義上的壓軸題要簡單很多,第二問比較有特點需要求二階導(dǎo)數(shù)。因為f'(x)不能判斷函數(shù)的單調(diào)性,所以需要再求一次導(dǎo)數(shù),設(shè)h(x)=f'(x),再求h'(x),一般這時就可求得函數(shù)h'(x)的零點,或是h'(x)＞0或h'(x)＜0恒成立,這樣就能知道函數(shù)h(x)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性求最值,從而判斷y=f(x)的單調(diào)性,求得最值。

例2 (2016年高考山東理數(shù))已知f(x)=a(x-lnx)+

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

分析：(1)求f(x)的導(dǎo)函數(shù),對a進(jìn)行分類討論,求f(x)的單調(diào)性;

當(dāng)a≤0時,若x∈(0,1),則f'(x)＞0,f(x)單調(diào)遞增;若x∈(1,+∞),則f'(x)＜0,f(x)單調(diào)遞減。

綜上所述,①當(dāng)a≤0時,函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減;

②當(dāng)0＜a＜2時,f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞 增,在內(nèi) 單 調(diào) 遞 減,在內(nèi)單調(diào)遞增。

③當(dāng)a=2時,f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增。

(2)由(1)知,當(dāng)a=1時,則:

設(shè)φ(x)=-3x2-2x+6,則φ(x)在x∈[1,2]上單調(diào)遞減。

因為φ(1)=1,φ(2)=-10,所以在[1,2]上存在x0使得x∈(1,x0)時,φ(x)＞0,x∈(x0,2)時,φ(x)＜0。

所以函數(shù)h(x)在(1,x0)上單調(diào)遞增,在(x0,2)上單調(diào)遞減。

點評:求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,應(yīng)在函數(shù)定義域的限制之下,討論函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的符號。若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)含參數(shù),應(yīng)分類討論,分類的標(biāo)準(zhǔn)是根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)對應(yīng)方程的根與定義域的關(guān)系。證明函數(shù)不等式f(x)＞g(x),主要有兩種方法:一是構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的最小值大于0;二是證明f(x)min＞g(x)max。

本題難度大,主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值,也考查函數(shù)與方程、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想,同時考查同學(xué)們分析解決問題的能力以及推理能力。同學(xué)們易錯的地方有:一是求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時忽視函數(shù)的定義域為(0,+∞);二是在第一問中不能準(zhǔn)確地對參數(shù)a進(jìn)行分類討論;三是(2)中的求解在構(gòu)造函數(shù)f(x)-f'(x)=后不能將函數(shù)分解為g(x)=x-lnx與-1兩個函數(shù),而是將等式右邊的式子作為一個整體構(gòu)造函數(shù),從而不能求得其最值。

例3 (2016年高考新課標(biāo)Ⅰ卷理)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點。

(1)求a的取值范圍;

(2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個零點,證明:x1+x2＜2。

分析：(1)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號來確定,主要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點來分類。

(2)借助第一問的結(jié)論來證明,由單調(diào)性可知x1+x2＜2等價于f(x1)＞f(2-x2),即f(2-x2)＜0。設(shè)g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,則g'(x)=(x-1)(e2-x-ex)。因此,當(dāng)x＞1時,g'(x)＜0,而g(1)=0,故當(dāng)x＞1時,g(x)＜0。從而g(x2)=f(2-x2)＜0,故x1+x2＜2。

解：(1)f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a)。

①設(shè)a=0,則f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一個零點。

②設(shè)a＞0,則當(dāng)x∈(-∞,1)時,f'(x)＜0;當(dāng)x∈(1,+∞)時,f'(x)＞0。所以f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增。

又f(1)=-e,f(2)=a,此時f(x)在(1,2)上有一個零點。

綜上,f(x)存在兩個零點。

③設(shè)a＜0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a)。

又當(dāng)x≤1時,f(x)＜0,所以f(x)不存在兩個零點。

因此f(x)在(1,ln(-2a))上單調(diào)遞減,在(ln(-2a),+∞)上單調(diào)遞增。又當(dāng)x≤1時,f(x)＜0,所以f(x)不存在兩個零點。

綜上,a的取值范圍為(0,+∞)。

(2)不妨設(shè)x1＜x2,由 (1)知x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,所以x1+x2＜2等價于f(x1)＞f(2-x2),即f(2-x2)＜0。

由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2,而f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0,所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2。

設(shè)g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,則g'(x)=(x-1)(e2-x-ex)。

所以當(dāng)x＞1時,g'(x)＜0,而g(1)=0,故當(dāng)x＞1時,g(x)＜0。

從而g(x2)=f(2-x2)＜0,故x1+x2＜2。

點評:破解此類題目需掌握“一構(gòu)一分”,“一構(gòu)”是指會構(gòu)造函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)的知識進(jìn)行求解;“一分”是指會分類討論,對于含參的不等式問題或證明存在性的問題,常需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論,而此時往往需要用到前面已證明過的結(jié)論。解答此題的關(guān)鍵是由x1+x2＜2轉(zhuǎn)化為-x2e2-x2-(x2-2)ex2＜0,從而構(gòu)造函數(shù)g(x)=-xe2-x-(x-2)·ex,這是本題的難點。

構(gòu)造函數(shù)是處理導(dǎo)數(shù)題的重要方法,也是解決導(dǎo)數(shù)問題的重要途徑,通過不斷地構(gòu)造函數(shù)可把同學(xué)們遇到的攔路虎一個個地解決掉,最終解決這類問題,這也提醒大家在平時練習(xí)中要多體會構(gòu)造函數(shù)的數(shù)學(xué)價值。