■甘肅省白銀市第一中學(xué) 胡貴平

極值點偏移問題,是指單極值函數(shù)由于函數(shù)極值點左右兩邊的增減速度不同,使得函數(shù)圖像沒有對稱性。若函數(shù)f(x)在x=x0處取得極值,且函數(shù)y=f(x)與直線y=b交于A(x1,b),B(x2,b)兩點,則AB的中點為M

圖1

圖2

圖3

圖4

極值點偏移問題涉及函數(shù)的雙變元,最常見的題型是兩個變元的不等式證明,或有關(guān)導(dǎo)函數(shù)值的不等式,解題的策略都是把雙變元的等式或不等式轉(zhuǎn)化為單變元的問題求解,途徑都是構(gòu)造一元函數(shù)。

(1)求實數(shù)a,b的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)f(x1)=f(x2)(x1≠x2)時,比較x1+x2與2e(e為自然對數(shù)的底數(shù))的大小。

因為f(x)的圖像在點(1,f(1))處的切線方程為y=x-1,所以

解得a=1,b=0。

令f'(x)=0,得x=e。

當(dāng)0＜x＜e時,f'(x)＞0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x＞e時,f'(x)＜0,f(x)單調(diào)遞減。

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e),單調(diào)遞減區(qū)間為(e,+∞)。

(2)當(dāng)f(x1)=f(x2)(x1≠x2)時,x1+x2＞2e。證明如下:

當(dāng)1≤x＜e時,f(x)單調(diào)遞增,且f(1)=0,故f(x)＞0。

若f(x1)=f(x2)(x1≠x2),則x1,x2必都大于1,且必有一個小于e,一個大于e。

不妨設(shè)1＜x1＜e＜x2。

當(dāng)x2≥2e時,必有x1+x2＞2e。

因為e＜x＜2e,所以e2-(x-e)2的取值范圍為(0,e2)。

故2-ln[-(x-e)2+e2]＞0。

又4e(e-x)(1-lnx)＞0,所以g'(x)＞0。

因此,g(x)在區(qū)間(e,2e)上單調(diào)遞增。

因為1＜x1＜e,e＜x2＜2e,所以0＜2e-x2＜e。

又因為f(x)在區(qū)間(0,e)內(nèi)單調(diào)遞增,所以x1＞2e-x2,則x1+x2＞2e。

綜上,當(dāng)f(x1)=f(x2)(x1≠x2)時,x1+x2＞2e。

點評:為了實現(xiàn)將雙變元的不等式轉(zhuǎn)化為單變元不等式,需要構(gòu)造新的函數(shù)。也可以利用f(x1)=f(x2)(x1≠x2)構(gòu)造新的變元,將兩個舊的變元都換成新變元來表示,從而達(dá)到消元的目的。

此類問題常見的解題步驟:

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并求出f(x)的極值點x0;

(2)構(gòu)造g(x)=f(x0+x)-f(x0-x)(根據(jù)題意需要還可以構(gòu)造成g(x)=f(x)-f(2x0-x)的形式);

(3)通過求導(dǎo)函數(shù)g'(x),討論g(x)的單調(diào)性,判斷出g(x)在某段區(qū)間上的正負(fù),并得出f(x0+x)與f(x0-x)的大小關(guān)系;

(4)不妨設(shè)x1＜x0＜x2,通過f(x)的單調(diào)性,f(x1)=f(x2),f(x0+x)與f(x0-x)的大小關(guān)系得出結(jié)論。

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)設(shè)a＞0,證明:當(dāng)0＜x＜a時,f(a+x)＜f(a-x);

(3)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個零點,證明

分析：本題涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、根的存在性及根的個數(shù)判斷。

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的取值范圍,求出函數(shù)的單調(diào)性即可;

(2)令g(x)=f(a+x)-f(a-x),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而證出結(jié)論即可;

(3)得到a＞0,從而f(x)的最小值是f(a),且f(a)＜0,不妨設(shè)0＜x1＜x2,則0＜x1＜a＜x2,得到0＜a-x1＜a,根據(jù)(1),(2)結(jié)論判斷即可。

解：(1)f(x)的定義域為(0,+∞)。

若a≤0,則f'(x)＞0,此時f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

若a＞0,則由f'(x)=0得x=a。

當(dāng)0＜x＜a時,f'(x)＜0;

當(dāng)x＞a時,f'(x)＞0。

此時f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增。

(2)令g(x)=f(a+x)-f(a-x),則:

當(dāng)0＜x＜a時,g'(x)＜0,g(x)在(0,a)上是減函數(shù)。

而g(0)=0,g(x)＜g(0)=0。

當(dāng)0＜x＜a時,f(a+x)＜f(a-x)。

(3)由(1)可知,當(dāng)a≤0時,函數(shù)y=f(x)至多有一個零點,故a＞0,從而f(x)的最小值為f(a),且f(a)＜0。

不妨設(shè)0＜x1＜x2,則0＜x1＜a＜x2,0＜a-x1＜a。

由(2)得f(2a-x1)=f(a+a-x1)＜f(x1)=f(x2)=0。

點評:本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,以及分類討論思想恒成立問題中的等價轉(zhuǎn)化思想,屬于難題。

極值點左偏,x1+x2＞2x0處切線不平行于x軸,若f(x)是上凸函數(shù),f'(x)是減函數(shù),則0;若f(x)是下凸函數(shù),f'(x)是增函數(shù),則

極值點偏移問題變化多樣,有些題型是不含參數(shù)的,而更多的題型是含有參數(shù)的。含參數(shù)的極值點偏移問題,在原有的兩個變元x1,x2的基礎(chǔ)上,又多了一個參數(shù),故思路很自然地就會想到:想盡一切辦法消去參數(shù),從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問題去解決;或者以參數(shù)為媒介,構(gòu)造出一個變元的新的函數(shù),其實,處理的手段有很多,方法也就有很多。