陳穎

摘 要：作為高中數(shù)學5種解題思路之一的分類討論思想，對老師的教學和學生的理解帶來了許多便利，降低了數(shù)學教學和學習難度。分類討論是對研究對象包含了多種情況，難以用統(tǒng)一的方法和公式進行分析時，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合歸納得解的方法。高中數(shù)學中的分類討論是根據(jù)數(shù)學研究對象本質(zhì)屬性的區(qū)別，將其分成幾個不同種類問題的一種邏輯上劃分的思維方式。分類討論是數(shù)學解題中的一個重要答題思路，它讓我的思考更加全面、思維更嚴密。本文介紹了分類討論過程需要遵守的原則、分析步驟、分類對象和分類類型，以及應用分類討論思想的案例分析。

關鍵詞：高中數(shù)學；分類討論；思想方法；分析

引言

隨著新課改的進行，對高中數(shù)學的理解提出了更高的要求。數(shù)學作為自然科學的基礎，是一種思維方式，在人類活動中得到廣泛的應用。高中數(shù)學可以說是初中數(shù)學的延伸，大學高數(shù)的基礎。高中數(shù)學新課改標準明確指出數(shù)學思想是數(shù)學基礎知識的重要組成部分 [1]。數(shù)學學習愈加重視學生對數(shù)學概念，解題思維和方法的準確掌握。掌握數(shù)學解題思想是解答數(shù)學題時不可缺少的一步，可以幫助同學們快速找到解題思路，節(jié)約思考時間。

高中數(shù)學的5種答題思路包括函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、特殊與一般的思想、極限思想解題步驟和分類討論思想。分類討論本質(zhì)上是一種邏輯上劃分的思維方式，是對數(shù)學研究對象根據(jù)題目的特點和要求分別歸類，逐類求解，然后綜合歸納得解 [2]。把相對復雜的問題簡單化，方便對其進行解答。歸類思想是基于對象本質(zhì)屬性的異同，對事物共性的抽象過程，將數(shù)學研究對象根據(jù)確定的原則，合理進行歸類。然后將它們一個一個地進行逐步求解，得出每一個小解，最后將所有結果進行總結歸納，得出研究對象的答案。分類討論揭示了數(shù)學事物之間的內(nèi)在規(guī)律，學會分類有助于學生總結歸納所學的知識，使所學的知識條理化，提高思維的概括性、嚴謹性和思考的全面性，從而提高分析問題和解決問題的能力。

本文首先介紹了分類討論過程需要遵守的原則和分析步驟，讓學生認識為什么分類、如何分類。然后介紹了高中數(shù)學比較常見的分類討論對象和類型，讓學生更好的應用到實踐去。最后對一些簡單的分類討論進行案例分析。

1.分類討論原則與步驟

學生初步建立分類討論意識后，也難以快速、準確的進行分類討論，還需要將分類討論進行標準化。這個標準的確定可以讓學生完整的解答習題。這個標準需要所討論的全域要完整且互斥，分類要“既不重復，也不遺漏”；在同一次討論中只能按所確定的一個標準進行；分類必須逐級進行直到最小分類級別，且分類討論時應逐級進行，不能越級。

針對新課標，討論的基本步驟可分為以下五個階段：（1）確定討論對象和討論的類型（全域）；（2）明確分類標準，科學分類；（3）逐類分類、分級分析階段性結果；（4）用該級標準進行檢驗篩選結果；（5）歸納作出結論。

2.分類討論對象與類型

我們在運用分類討論的思想解決問題時，首先要審清題意，認真分析可能產(chǎn)生的不同因素，進行討論時要確定分類的標準，每一次分類只能按照一個標準來分，不能重復也不能遺漏，另外還要逐一認真解答。

運用分類討論思想前我們首先要審清題意、了解引起分類討論的常見因素，確定分類討論的對象，接著根據(jù)條件的不確定性確定分類討論類型。

1）高中數(shù)學中涉及的分類討論類型有：

a.根據(jù)數(shù)與代數(shù)可以將對象分為：概念分段定義；公式、定理、法則分段表達；實施某些運算引起分類討論；含參方程或不等式等；

b.根據(jù)幾何可以分為圖形位置不確定和圖形形狀不確定；

c.以及其他根據(jù)題設本身進行的分類。

2）高中數(shù)學中比較常見的分類討論類型有：

a.與數(shù)與式有關的分類討論。如：實數(shù)分類、絕對值、算術平方根；與函數(shù)及圖象有關的變量取值范圍、增減性等。

b.三角形中的分類討論。如：與各種三角形類型有關的討論等。

c.圓中的分類討論。如：點、直線、圓與圓的位置的不確定等。

3.分類討論的實踐應用

例 1：解方程

分析：本題考察研究對象的范圍作了限制，對實數(shù)的絕對值進行分類討論，可以將x分為3個區(qū)間，即x ≤ -1、-1 ≤ x ≤ 1和x ≥ 1。

解：當x ≤ -1時，原方程化為

當-1 ≤ x ≤ 1時，原方程化為 （應舍去）

當x ≥ 1時，原方程化為 ，

綜上所述x = 10或x = -4.

例2.若 a > 0且a ≠ 1， ，則p、q的大小關系是？

分析：本體考察了對象為不等式，實數(shù)分類的等式，根據(jù)log對數(shù)函數(shù)可以將等式分為兩類，即0 < a < 1和a > 1。

解：當0

又 ，

.

當 a > 1時， 在其定義域上為增函數(shù)，

，

.

綜上所述 p > q.

例3.已知定義在閉區(qū)間[0，3]上的函數(shù) 的最大值為3，那么實數(shù) k 的取值集合是多少？

分析：本體考察了含參方程未知數(shù)區(qū)間分類問題。

解：

（1）當k > 0時，二次函數(shù)開口向上，當x = 3時，f（x）有最大值，即 ，解得k = 1；

（2）當k < 0時，二次函數(shù)開口向下，當x = 1時，f（x）有最大值，即 ，解得k = -3；

（3）當k = 0時，方程式顯然不成立.

綜上所述 k 的區(qū)只集合為{1，-3}.

4.結論

綜上所述，分類討論思想是高中數(shù)學解題的重要思想，通過分類討論思想，可以有效的培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力、綜合考慮問題能力和準備找到問題本質(zhì)能力。使學生更好的適應于將來的大學數(shù)學的學習。在生活中更好的該分類對待和處理生活與學習的問題。

參考文獻

[1] 曹延法.論數(shù)學教學中數(shù)學思想方法的滲透[J].成功：教育版，2012（1）：146-146.

[2] 黃培元.例談初中數(shù)學分類討論思想[J].中學課程輔導：教學研究，2014（30）：258-258.

（作者單位：稻田中學高三G1501班）