陳璐瑜

摘 要：三角函數(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占據(jù)重要的比重，其學(xué)習(xí)質(zhì)量的好壞與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績密切相關(guān)。由于三角函數(shù)的知識內(nèi)容較為豐富，其理論性、邏輯性、應(yīng)用性較強(qiáng)，因此這一塊是教師與學(xué)生公認(rèn)的學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)?；诖耍疚脑诳偨Y(jié)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，以三角函數(shù)最值問題為研究對象，提出了幾點(diǎn)求解三角函數(shù)最值問題的辦法，以供參考。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；最值問題；解題方法

引言

從教材教學(xué)內(nèi)容與高考考試內(nèi)容分析可知，三角函數(shù)的最值問題在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占據(jù)重要地位，掌握三角函數(shù)最值問題的解題方法對提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。從典型三角函數(shù)最值問題可知，三角函數(shù)最值問題側(cè)重于生活實(shí)踐問題的考察，包括生產(chǎn)利潤最大化、區(qū)域距離最佳化、投入成本最小化等，同時(shí)三角函數(shù)最值問題的有效解決與三角函數(shù)概念、性質(zhì)、公式、圖像規(guī)律以及各類型三角函數(shù)之間關(guān)系的準(zhǔn)確掌握與應(yīng)用存在密切關(guān)聯(lián)性。因此，研究三角函數(shù)最值問題，不僅有利于強(qiáng)化對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的掌握，也有利于提升三角函數(shù)知識的應(yīng)用能力，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)這一科目的學(xué)習(xí)價(jià)值。

一、有效求解三角函數(shù)最值問題的前提——扎實(shí)基礎(chǔ)知識

由三角函數(shù)最值問題的習(xí)題練習(xí)與數(shù)學(xué)試題考核可知，三角函數(shù)最值問題的有效解決，離不開三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的有效掌握與準(zhǔn)確應(yīng)用。因此，在日常學(xué)習(xí)中應(yīng)注重基礎(chǔ)知識的扎實(shí)掌握。在此過程中，建議從以下幾方面入手，進(jìn)行基礎(chǔ)知識，包括三角函數(shù)定義、三角函數(shù)基本性質(zhì)（如正弦函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)最值點(diǎn)、函數(shù)奇偶性、對稱性、圖像規(guī)律等）、三角函數(shù)公式（如余弦與正切公式、半角公式、兩角和公式、倍角公式）以及各類型函數(shù)之間的強(qiáng)化記憶、掌握與應(yīng)用[1]。

首先，認(rèn)知自主學(xué)習(xí)的重要性，樹立自主學(xué)習(xí)意識。只有主動參與到數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，感知數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)樂趣并養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣才能實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)效率的提升。在此過程中，建議通過參加數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組或做具有趣味性的三角函數(shù)最值問題習(xí)題，進(jìn)行自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)與提升。

其次，以課本為基礎(chǔ)進(jìn)行課堂知識的有效預(yù)習(xí)與復(fù)習(xí)。例如，通過課前預(yù)習(xí)，將課本中存在疑問的知識進(jìn)行標(biāo)記，通過網(wǎng)上查詢或課堂聽講與討論，找到問題的答案，強(qiáng)化對課本知識的深化理解；在課后復(fù)習(xí)過程中，針對自身課堂學(xué)習(xí)情況，結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)等知識進(jìn)行有針對性的復(fù)習(xí)與練習(xí)，實(shí)現(xiàn)知識的進(jìn)一步內(nèi)化。與此同時(shí)，可根據(jù)自身情況，適當(dāng)?shù)膽?yīng)用小技巧進(jìn)行三角函數(shù)最值問題及其相關(guān)知識的學(xué)習(xí)。例如，利用“便利貼”進(jìn)行三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的反復(fù)記憶；利用“筆記”對日常學(xué)習(xí)中遇到的重點(diǎn)題型、具有代表性的典型體系以及日常考試出現(xiàn)錯(cuò)誤的習(xí)題進(jìn)行記錄，通過反復(fù)理解與再次解答，提升解題能力；利用“思維導(dǎo)圖”法，對所學(xué)基礎(chǔ)知識進(jìn)行連接，構(gòu)建屬于自己的思維導(dǎo)圖，強(qiáng)化知識的理解與記憶。

此外，注重課堂學(xué)習(xí)效率，強(qiáng)化課外訓(xùn)練。以認(rèn)真、負(fù)責(zé)、仔細(xì)的態(tài)度對待課堂教學(xué)，緊跟教師教學(xué)進(jìn)度并積極參與到課堂討論中，可取得事半功倍的學(xué)習(xí)效果。同時(shí)，針對自身三角函數(shù)最值問題解題中存在的問題進(jìn)行反復(fù)訓(xùn)練，制定適宜自己的學(xué)習(xí)計(jì)劃，從而改善自身解題中存在的不足。

二、有效求解三角函數(shù)最值問題的策略——靈活應(yīng)用解題方法

（一）形如y=asinx+b或y=acosx+b（a不等于0）三角函數(shù)最值問題的解題策略

在求解y=asinx+b或y=acosx+b（a不等于0）三角函數(shù)最值問題時(shí)，通常可根據(jù)三角函數(shù)有界性特征，進(jìn)行轉(zhuǎn)換[2]。如將y=asinx+b轉(zhuǎn)換為sinx=y-b/a的形式，根據(jù)|sinx| 1，得出b-|a|≦b+|a|的結(jié)論，最終求解“y=asinx+b”三角函數(shù)的最大值為b+|a|，最小值為b-|a|。

（二）形如y=asnix+bcosx+c三角函數(shù)最值問題的解題策略

在求解y=asnix+b cosx+c三角函數(shù)最值問題時(shí)，通?？筛鶕?jù)三角函數(shù)輔助角公式“asnix+bcosx= sin（x+e）”（e表示輔助角）將三角函數(shù)進(jìn)行處理，轉(zhuǎn)化為同名函數(shù)，即y=a sni（x+e）+b的形式，本根據(jù)正弦三角函數(shù)的有界性|sni（x+e）| 1或三角函數(shù)自變量單調(diào)性特征進(jìn)行求解。

例如，已知y=a snix+b cosx+3，x∈[- ， ]的最大值與最小值。

解：y=a snix+b cosx+3= （ sinx+ cosx）+3= sin（x+ ）+3

由- ≦ x≦ 可知 ≦ ≦

根據(jù)正弦函數(shù)在[0， ]的單調(diào)性可知，y=a snix+b cosx+3的最大值為 ，y=a snix+b cosx+3最小值為 。

（三）形如 或 分子與分母同名三角函數(shù)最值問題的求解

解題策略一：根據(jù)三角函數(shù)的有界性進(jìn)行求解，即在求解 類型題時(shí)，將sinx用y進(jìn)行表示，形成

的形式，根據(jù)|sinx|≦1進(jìn)行解答三角函數(shù)最值問題。

解題策略二：同樣以 為例，利用三角函數(shù)倍角公式、萬能公式后或者是基本公式進(jìn)行簡化處理，形成二次函數(shù)，解答三角函數(shù)最值問題。即將 轉(zhuǎn)換為

并在此基礎(chǔ)上，用分子分母同時(shí)除以cos2 x/2，得到 ，用t表示tanx/2將三角函數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)：y=（bt2+2at+b）/（dt2+2ct+d），整理后得出（dy-b）t2+（2cy-2a）t+dy-b=0，當(dāng)dy-b不等于零時(shí)，則有y不等于b/d，所得一元二次方程有解，因此Δ=（2ct-2a）2-4（dy-b）2≧0，故（c2-d2）y2+2（bd-ac）y+a2-b2 0，從而得出三角函數(shù)最值[min（y1-y2），max（y1+y2）]。

三、結(jié)論

總而言之，掌握三角函數(shù)最值問題的解題策略對提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率及成績具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。三角函數(shù)最值問題涉及內(nèi)容豐富，其解題的技巧性相對較高，要求學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯思維與發(fā)散性思維。因此，在日常學(xué)習(xí)中，應(yīng)注重三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的準(zhǔn)確掌握，注重解題經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，善于針對問題進(jìn)行聯(lián)想與多角度、多方向思考，從而提升自身的解題能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]辛星.高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中函數(shù)最值的問題求解方法分析[J].科技風(fēng)，2017（03）：266.

[2]凌廣燕.淺析三角函數(shù)最值在解題中的理論與實(shí)踐思考[J].科技風(fēng)，2014（21）：183.

[3]張建祿.六種求三角函數(shù)最值的思維方法[J].科教導(dǎo)刊（上旬刊），2014（02）：185-186.