焦健生

[摘要]“機械能守恒定律”一章概念多、規(guī)律多，怎樣復(fù)習(xí)好呢？利用思維導(dǎo)圖將零散的知識結(jié)構(gòu)化和系統(tǒng)化是一種可行的方法，這種方法便于學(xué)生理解、記憶和應(yīng)用。

[關(guān)鍵詞]思維導(dǎo)圖；問題串；思維提升

[中圖分類號]G633.7[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2018）05003704

“機械能守恒定律”一章中的功能觀點是解決物理力學(xué)問題的三大“法寶”之一，也是歷年高考中重點考查的規(guī)律之一。高考中，涉及功能概念或規(guī)律的試題，既可在選擇題中出現(xiàn)，又會在綜合性的計算題中出現(xiàn)，題目設(shè)置為多過程的恒力作用、變力作用、臨界分析等運動情景問題，綜合性比較強。

這部分內(nèi)容主要有功、功率、動能、勢能、機械能、內(nèi)能等基本概念，以及功能關(guān)系，特別是動能定理、能量守恒（包括機械能守恒）定律，物理模型包含直線運動和曲線運動，運動形式有斜面、圓形軌道、傳送帶等，連接方式有彈簧、繩、桿等。

為了將這部分知識串聯(lián)起來，形成知識網(wǎng)絡(luò)，同時將思維的過程可視化，筆者結(jié)合思維導(dǎo)圖復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容。如“思維導(dǎo)圖一”所示為這部分的三大塊重點內(nèi)容：基本概念、功能關(guān)系和能量守恒。

一、功能概念

這部分內(nèi)容涉及的概念主要有：功、功率、動能、勢能、機械能，其知識串如“思維導(dǎo)圖二”所示，復(fù)習(xí)時可采用“先總、后分、再總”的方法建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)。同時可設(shè)置遞進式問題，讓學(xué)生厘清基本概念。

1.關(guān)于功

掌握有關(guān)功兩個方面的知識：一是會判斷常見的力，如彈力、摩擦力，作用力、反作用力等做功的正負；二是會計算物體所受某個力、合力的功，這些力可能是恒力，也可能是變力。

問題串：功的定義、公式是什么？正功、負功的含義是什么？列舉彈力和摩擦力做正功和負功的情況；弄清作用力與反作用力做功的大小和正負。

【隨堂例題1】如圖1所示，質(zhì)量為m的小球用長為L的輕繩懸掛于O點，用水平恒力F拉著小球從最低點運動到使輕繩與豎直方向成θ角的位置，求此過程中，各力對小球做的功及總功。

思維提升

（1）在求力做功時，要明確是求某個力的功，還是求合力的功；是求恒力的功，還是求變力的功。

（2）恒力做功與物體運動的路徑無關(guān)，等于力與物體在力方向上的位移的乘積。

（3）變力做功，要考慮應(yīng)用動能定理或?qū)⒆兞ψ龉D(zhuǎn)化為恒力做功進行求解。

解析：小球在F方向的位移大小為Lsinθ，方向與F同向，則WF=FLsinθ；

小球在重力方向的位移大小為L·（1-cosθ），方向與重力反向，則WG=-mgL（1-cosθ）；

繩的拉力FT時刻與運動方向垂直，則WFT=0；

故W總=WF+WG+WFT=FLsinθ-mgL（1-cosθ）。

【注意點】本題中小球所受的合力為變力，不能直接用功的公式求合力的功，而應(yīng)轉(zhuǎn)化為求各個力做功之和。

2.關(guān)于功率

相關(guān)重點知識：兩個公式的區(qū)別和應(yīng)用，即P=W/t是求平均功率，而公式P=Fvcosα，既能求瞬時功率，也能計算平均功率。若v是瞬時值，則求出的功率是瞬時值，若v是平均值，則求出的功率是平均值。

問題串：功率的定義、物理意義及相關(guān)公式分別是什么？兩個公式有何不同？若F和v的方向不在一條直線上，如何求這個力的瞬時功率？對機車以額定功率啟動和以勻加速啟動兩種情況，應(yīng)分別分析機車的受力情況和運動情況。

【隨堂例題2】如圖2所示，物體受到水平推力F的作用，在粗糙水平面上做直線運動。監(jiān)測到推力F、物體速度v隨時間t變化的規(guī)律如圖2所示。取g=10m/s2，則（）。

A.第1s內(nèi)推力做功為1J

B.第2s內(nèi)物體克服摩擦力做的功為W=2.0J

C.第1.5s時推力F的功率為2W

D.第2s內(nèi)推力F做功的平均功率P=1.5W

解析：第1s內(nèi)物體保持靜止狀態(tài)，在推力方向上無位移，故做功為零，A錯；由圖像知第3s內(nèi)物體做勻速運動，F(xiàn)=2N，故F=Ff=2N，由v-t圖像知第2s內(nèi)物體的位移x=12×1×2m=1m，第2s內(nèi)物體克服摩擦力做的功W=Ff·x=2.0J，B對；第1.5s時物體的速度為1m/s，故推力的功率為3W，C錯；第2s內(nèi)推力F=3N，推力做的功為WF=F·x=3.0J，故第2s內(nèi)推力F做功的平均功率P=WF/t=3W，故D錯。正確答案為B。

思維提升

本題要從F-t圖像推出質(zhì)點的運動情況及F的做功情況。區(qū)分平均功率和瞬時功率，以及明確瞬時功率的求法，這些是解決本題的關(guān)鍵。

對機車啟動問題，應(yīng)注意弄清機車的啟動方式，是以恒定功率啟動，還是以恒定加速度啟動。要解決好這類問題要抓住下面三個重要關(guān)系式。

（1）機車的速度達到最大時，牽引力Fmin最小，其值等于阻力Ff，即vm=P/Ff。

（2）機車以恒定加速度啟動時，要注意勻加速階段速度的最大值，此時機車的功率達到額定功率。

（3）機車以額定功率啟動時，常用動能定理：Pt-Ff·x=ΔEk來求解機車以恒定功率啟動過程中的位移大小或時間。

【隨堂例題3】水平面上靜止放置一質(zhì)量為m=0.2kg的物塊，固定在同一水平面上的小型電動機通過水平細線牽引物塊，使物塊由靜止開始做勻加速直線運動，2秒末達到額定功率，其v-t圖線如圖3所示，物塊與水平面間的動摩擦因數(shù)為μ=0.1，g=10m/s2，電動機與物塊間的距離足夠遠。求：

（1）物塊做勻加速直線運動時受到的牽引力大??；

（2）電動機的額定功率；

（3）物塊在電動機牽引下，最終能達到的最大速度。

解析：（1）由題圖知物塊在勻加速階段加速度大小a=Δv/Δt=0.4m/s2。

物塊受到的摩擦力大小Ff=μmg，設(shè)牽引力大小為F，則有：F-Ff=ma，得F=0.28N。

（2）當v=0.8m/s時，電動機達到額定功率，則P=Fv=0.224W。

（3）物塊達到最大速度vm時，物塊所受的牽引力大小等于摩擦力大小，有F1=μmg，

P=F1vm，解得vm=1.12m/s。

【注意點】本題需要將物塊的實際運動情況與其運動的v-t圖像一一對應(yīng)起來，即數(shù)形結(jié)合，特別要進行受力分析、狀態(tài)分析、過程分析和臨界分析。

思維提升

（1）機車啟動的方式不同，則其運動的規(guī)律就不同，涉及的物理量（如功率、速度、加速度、牽引力）就不同。

（2）機車在額定功率下的運動是變加速直線運動，機車牽引力做的功用W=Pt計算，因為F是變力，所以不能用W=Fl計算。

（3）機車以恒力加速運動的過程中，其功率不斷增加，但因F是恒力，所以可用W=Fl計算牽引力的功，因為功率P是變化的，也就不能用W=Pt計算。

3.關(guān)于能

理解動能、重力勢能、彈性勢能、機械能、內(nèi)能的物理意義及公式，其中不要求用彈性勢能公式進行計算。

問題串：試區(qū)分動能、重力勢能、彈性勢能、機械能、內(nèi)能；它們各自的大小由什么決定？表達式是什么？

【隨堂例題4】如圖4所示，輕彈簧豎立在地面上，正上方有一鋼球，從A處自由下落，落到B處時開始與彈簧接觸，此時向下壓縮彈簧。小球運動到C處時，彈簧對小球的彈力與小球的重力平衡。小球運動到D處時，到達最低點。不計空氣阻力，以下描述正確的有（）。

A.小球由A向B運動的過程中，小球的機械能減少

B.小球運動到C時，小球的動能最大

C.小球由B向C運動的過程中，小球的重力勢能減小，彈簧的彈性勢能增加

D.小球由C向D運動的過程中，小球的重力勢能減少

解析：小球由A向B運動的過程中，做自由落體運動，加速度等于豎直向下的重力加速度g，處于完全失重狀態(tài)，此過程中只有重力做功，小球的機械能守恒，A錯誤；小球由B向C運動的過程中，重力大于彈簧的彈力，加速度向下，小球處于失重狀態(tài)，小球和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，彈簧的彈性勢能增加，小球的重力勢能減少，由于小球向下加速運動，小球的動能還是增大的，B正確，C錯誤；小球由C向D運動的過程中，彈簧的彈力大于小球的重力，加速度方向向上，處于超重狀態(tài)，彈簧繼續(xù)被壓縮，彈性勢能繼續(xù)增大，小球的重力勢能繼續(xù)減小，D正確。故答案為B、D。

【注意點】弄清小球的受力情況和運動情況是解決本題的前提，明確各種能量的影響因素是最終解決問題的關(guān)鍵。如，本題中小球在C點時重力和彈力平衡，此時加速度a=0，速度達到最大值。

二、功能關(guān)系

功是能量轉(zhuǎn)化的量度，具體的功能關(guān)系可見“思維導(dǎo)圖三”，其中最常用的就是動能定理。

問題串：在利用功能關(guān)系解題時，應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生有序思考問題。研究對象是什么？其受力情況和各力做功情況是怎樣的？能量改變對應(yīng)的是哪些力做的功？

【隨堂例題5】如圖5所示，一固定斜面傾角為30°，一質(zhì)量為m的小物塊自斜面底端以一定的初速度，沿斜向上做勻減速運動，加速度的大小等于重力加速度的大小g 。若物塊上升的最大高度為H，則此過程中，物體塊的（）。

A.物體的重力勢能增加了mgH

B.物體的動能減少了FH

C.物體的機械能增加了FH

D.物體勢能增加量小于動能的減少量

解析：運動過程中有摩擦力做功，考慮動能定理和功能關(guān)系。物塊以大小為g加速度沿斜面向上做勻減速運動，運動過程中F合=mg，由受力分析知摩擦力Ff=12mg，當上升高度為H時，小物塊的位移x=2H，由動能定理得ΔEk=-2mgH；由功能關(guān)系知ΔE=Wf=-12mgx=-mgH，選項A、C正確。

【注意點】本題考查了“功是能量轉(zhuǎn)化的量度”的具體含義，尤其是機械能的變化，應(yīng)立即聯(lián)想到除重力外其他力做的功。

思維提升

求解一個問題往往有兩個途徑，一是直接求，二是間接求，顯然本題間接求更快捷，如題中要求機械能的變化，只要看除重力以外的其他力做功的多少。

動能定理是解決力學(xué)問題常用的規(guī)律，思考過程為：確定研究對象，明確研究對象的運動過程，分析物體的受力，特別是有變力參與的情況，分析各力的做功情況，及初末態(tài)的速度，最后用動能定理列式求解。

【隨堂例題6】如圖6所示，傳送帶A、B之間的距離為L=3.2m，與水平面間夾角θ=37°，傳送帶沿順時針方向轉(zhuǎn)動，速度恒為v=2m/s，在上端A點無初速度放置一個質(zhì)量為m=1kg、大小可視為質(zhì)點的金屬塊，它與傳送帶的動摩擦因數(shù)為μ=0.5，金屬塊滑離傳送帶后，經(jīng)過彎道，沿半徑R=0.4m的光滑圓軌道做圓周運動，剛好能通過最高點E，已知B、D兩點的豎直高度差為h=0.5m（取g=10m/s2）。求：

（1）金屬塊經(jīng)過D點時的速度大??；

（2）金屬塊在BCD彎道上克服摩擦力做的功。

解析：（1）對金屬塊在E點有mg=mvE2/R，解得vE=2m/s；

在從D到E的過程中，由動能定理得：

-mg·2R=12mv2E-12mv2D，

解得vD=25m/s。

（2）金屬塊在傳送帶上運行時有，mgsinθ+μmgcosθ=ma1，解得a1=10m/s2。

設(shè)經(jīng)位移x1金屬塊與傳送帶達到共同速度，則v2=2ax1，解得x1=0.2m<3.2m。

繼續(xù)加速過程中mgsinθ-μmgcosθ=ma2，解得a2=2m/s2；

由v2B-v2=2a2x2，x2=L-x1=3m，

解得vB=4m/s；

在從B到D的過程中，由動能定理得：

mgh-Wf=12mv2D-12mv2B，解得Wf=3J。

【注意點】解決本題的關(guān)鍵是判斷金屬塊在傳送帶上所受摩擦力與其運動狀態(tài)的關(guān)系，另外金屬塊在彎道上所受摩擦力是變力，變力的功要用動能定理來求解。

思維提升

解決多過程問題應(yīng)優(yōu)先考慮應(yīng)用動能定理，從而使問題得到簡化。

（1）只涉及F、l、m、v、W、Ek而不涉及時間t的多過程問題。

（2）有多個過程，但不需要考慮全過程中的中間態(tài)的問題。

（3）求變力做的功。

三、能量守恒

能量守恒定律是貫穿物理學(xué)的基本規(guī)律，是各種自然現(xiàn)象中普遍適用的一條規(guī)律。其表達式有兩種：（1）E初=E末，初狀態(tài)各種能量的總和等于末狀態(tài)各種能量的總和。（2）ΔE增=ΔE減，增加的那些能量等于減少的那些能量。機械能守恒是能量守恒中的一種守恒形式，正是只有系統(tǒng)中機械能不變，所以不應(yīng)有其他形式的能“參與”進去，因此，機械能守恒是有條件的。復(fù)習(xí)時可參照“思維導(dǎo)圖四”來建構(gòu)知識。

問題串：用能量守恒解決問題時，應(yīng)明白研究對象是單個物體，還是由多個物體組成的系統(tǒng)。能量守恒需要條件嗎？機械能守恒呢？若需要條件，條件是什么？機械能守恒的表達式是什么？

【隨堂例題7】如圖7所示，在同一豎直平面內(nèi)，一輕質(zhì)彈簧一端固定，另一自由端恰好與水平線AB平齊，靜止放于傾角為53°的光滑斜面上。一長為L=9cm的輕

質(zhì)細繩一端固定在O點，另一端系一質(zhì)量為m=1kg的小球，將細繩拉至水平，使小球在位置C由靜止釋放，小球到達最低點D時，細繩剛好被拉斷。之后小球在運動過程中恰好沿斜面方向?qū)椈蓧嚎s，最大壓縮量為x=5cm（g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6）。求：

（1）細繩受到的拉力的最大值；

（2）D點到水平線AB的高度h；

（3）彈簧所獲得的最大彈性勢能Ep。

解析：（1）小球由C到D，由機械能守恒定律得：

mgL=12mv21，解得v1=2gL①

在D點，由牛頓第二定律得F-mg=mv21L②

由①②解得F=30N。

由牛頓第三定律知細繩所能承受的最大拉力為30N。

（2）由D到A，小球做平拋運動v2y=2gh③tan53°=vyv1④

聯(lián)立③④解得h=16cm。

（3）小球從C點到將彈簧壓縮至最短的過程中，小球與彈簧組成的系統(tǒng)的機械能守恒，即Ep=mg（L+h+xsin53°），代入數(shù)據(jù)得：Ep=2.9J。

【注意點】本題關(guān)鍵要弄清三個問題：（1）小球運動到什么位置時，對細繩拉力最大？（2）小球恰好沿斜面方向壓縮彈簧，說明小球的速度沿什么方向？（3）彈性勢能最大時，小球速度為多少？

思維提升

本題的物理過程較為復(fù)雜，小球參與了圓周運動、平拋運動、變速直線運動，另外還有彈簧參與，是一道綜合性較強的題目。題中不涉及摩擦阻力和空氣阻力做功，只有重力和彈簧彈力做功，可選擇能量守恒（包括機械守恒）定律求解。

四、綜合應(yīng)用

“機械能”一章還涉及滑動摩擦力做功產(chǎn)生熱量的多個動力學(xué)問題和能量問題的綜合。在有滑動摩擦力相互作用的系統(tǒng)內(nèi)，一部分機械能在相互摩擦的物體間轉(zhuǎn)移，另外一部分機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，摩擦產(chǎn)生的熱量的計算公式：Q=Ff·s相對。其中s相對為相互摩擦的兩個物體間的相對位移，若兩物體同向相對運動，則相對位移是兩物體的位移差值，反之，若兩物體反向相對運動，則相對位移是兩物體的位移大小之和。

這類問題往往是傳送帶傳動模型或滑塊在木板上滑行的模型，其思維過程如“思維導(dǎo)圖五”。

【隨堂例題8】如圖8所示，質(zhì)量為m=1kg的滑塊，在水平力作用下靜止在傾角為θ=30°的光滑斜面上，斜面的末端B與水平傳送帶相接（滑塊經(jīng)過此位置滑上傳送帶時無能量損失），傳送帶的運行速度為v0=3m/s，長為l=1.4m；今將水平力撤去，當滑塊滑到傳送帶右端C時，恰好與傳送帶速度相同?；瑝K與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為μ=0.25，g取10m/s2。求：

（1）水平作用力F的大小；

（2）滑塊下滑的高度；

（3）若滑塊滑上傳送帶時速度大于3m/s，滑塊在傳送帶上滑行的整個過程中產(chǎn)生的熱量。

解析：（1）滑塊受到水平力F、重力mg和支持力FN作用處于平衡狀態(tài)，水平力F=mgtanθ，F(xiàn)=1033N。

（2）設(shè)滑塊從高為h處下滑，到達斜面底端速度為v，下滑過程中機械能守恒mgh=12mv2，得v=

2gh

。若滑塊沖上傳送帶時的速度小于傳送帶速度，則滑塊在傳送帶上由于受到向右的滑動摩擦力而做勻加速運動；根據(jù)動能定理有μmgL=12mv20-12mv2，則h=v202g-μL，代入數(shù)據(jù)解得h=0.1m。

若滑塊沖上傳送帶時的速度大于傳送帶的速度，則滑塊由于受到向左的滑動摩擦力而做勻減速運動；根據(jù)動能定理：-μmgL=12mv20-12mv2，則h=v202g+μL，代入數(shù)據(jù)解得h=0.8m。

（3）設(shè)滑塊在傳送帶上運動的時間為t，則t時間內(nèi)傳送帶的位移x=v0t，mgh=12mv2，v0=v-at，μmg=ma，滑塊相對傳送帶滑動的位移Δx=L-x，相對滑動生成的熱量Q=μmg·Δx，代入數(shù)據(jù)解得Q=0.5J。

【注意點】解答本題的突破口一是判斷滑塊滑上皮帶后做什么運動，二是滑塊和皮帶間的相對位移怎么計算。

思維提升

本題綜合應(yīng)用了牛頓運動定律、動能定理、機械能守恒、能量轉(zhuǎn)化與守恒，要特別注重對物體進行運動過程分析和受力分析，同時還要注意對臨界狀態(tài)進行分析，再根據(jù)已知條件，巧妙選用規(guī)律列方程解決問題。

（責(zé)任編輯易志毅）