張永蘭

[摘要]歸納、類比作為一般的科學方法，是人們探索問題、尋求和發(fā)現(xiàn)解決問題途徑的重要方法.培養(yǎng)學生的歸納與類比能力很有意義.

[關(guān)鍵詞]數(shù)學教學；歸納；類比；能力

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2018）05003201

歸納和類比是學習數(shù)學概念和定理，探索數(shù)學結(jié)論，尋求問題求解途徑常用的重要方法.注重歸納、類比思想方法的教學，對培養(yǎng)學生創(chuàng)造能力極其重要.本文就初中數(shù)學教學中如何培養(yǎng)學生的歸納與類比能力介紹兩種方法.

一、滲透類比思想，構(gòu)建知識體系

類比是對兩種或兩種以上在某些關(guān)系上表現(xiàn)為相似的對象進行對比的一種科學的研究方法，是數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新的有效途徑.波利亞曾說：“沒有這些思路（普遍化、特殊化和類比通用的基本思路），特別是沒有類比，在初等或高等數(shù)學中也許就不會有發(fā)現(xiàn).”確實是這樣，在數(shù)學中有許多定理、公式及其證明都離不開類比，教師要不失時機地滲透類比思想，使學生逐步感知并運用類比的方法學習新知.如，初中幾何中《相似三角形判定定理》的證明，其思路是：利用輔助線構(gòu)造預(yù)備定理（平行于三角形一邊的直線和其余兩邊相交，所得的三角形和原三角形相似）的圖形和條件來求證結(jié)論.在定理1——“兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似”的證明中，一般同時介紹兩種證明方法.其一是“作平行，證相等”；其二是“作相等，證平行”.又如，在學習“三角形的外接圓和內(nèi)切圓”時，大多數(shù)學生會混淆外心和內(nèi)心的概念及性質(zhì).針對這一問題，可采用類比思想，把三角形的外心和內(nèi)心的概念及性質(zhì)歸納為：外心是三角形三邊中垂線的交點，它隨三角形的形狀不同，位置也不同，它在銳角三角形的內(nèi)部，在直角三角形斜邊的中點處，在鈍角三角形的外部.它是三角形外接圓的圓心，具有“到三角形三個頂點的距離相等”的性質(zhì).內(nèi)心是三角形內(nèi)切圓的圓心，它是三角形三個內(nèi)角平分線的交點，它一定在三角形的內(nèi)部，不隨三角形形狀的改變而變化位置，它到三角形三邊的距離相等.如果長期這樣堅持類比方法的運用，就能使學生學會類比，運用類比.

類比也是學習知識、系統(tǒng)掌握知識和鞏固知識的有效方法，在解題中具有啟迪思維的重要作用.正如哲學家康德所說：“每當理智缺乏可靠的論證思路時，類比這個方法可以指引我們前進.”當面臨一個生疏的問題時，往往可以聯(lián)想一個比較熟悉的問題作為類比對象，熟悉問題的解決途徑和方法?？蓡l(fā)生疏問題的解決途徑和方法.在《相似三角形》中，利用幾何圖形求證比例式（或等積式）時，一般方法為：由“平行”或“相似三角形”得出比例式.但以下題目中，已知條件無“平行”，無“相似三角形”，可以按照常規(guī)方法分析求證式中所有線段的位置關(guān)系，類比以上兩種條件的圖形特點，通過作輔助線構(gòu)造條件.

已知：如右圖，AD是三角形ABC

的角平分線.

求證：AB∶AC=BD∶DC.

分析之后，確定過點B作邊AC的平行線，

交AD的延長線于點E，通過比例式和

等量代換的方法，結(jié)論得證.

以上解決問題的方法，充分體現(xiàn)了類比思想的優(yōu)越性，也再次突出了類比能力培養(yǎng)的重要性.

二、知識合理分類，提供歸納素材

歸納在數(shù)學學習中的作用和意義首先在于整理由觀察、實驗得到的經(jīng)驗材料，是進一步比較、分析、抽象概括的基礎(chǔ).其次，歸納是數(shù)學發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新的一種方法，它從經(jīng)驗材料推斷普遍特性.因此，它有發(fā)現(xiàn)新知識和探索真理的作用.

初中數(shù)學中的一些概念、公式及定理的學習，歸納法更適合學生的認知特點，也符合從特殊到一般的認識規(guī)律.其中，乘法公式的得出就是最好的例證.公式的意義不在于形式上的生搬硬套，而是應(yīng)用中的簡便性和靈活性.準確理解公式含義及應(yīng)用條件是正確應(yīng)用公式的前提.而讓學生了解公式的推導過程，把握公式所反映的普遍規(guī)律.才能處理好記憶與應(yīng)用之間的關(guān)系.就“平方差”公式來說，以一組算式為研究對象，計算結(jié)果，分析結(jié)果與算式中數(shù)字間的關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律、得出公式的具體過程見下表：

總之，歸納、類比在數(shù)學知識拓展過程中常借助于比較、聯(lián)想來啟發(fā)誘導，以尋求思維的變異和發(fā)散.在歸納知識時又可用來串聯(lián)不同層次的類似內(nèi)容，幫助理解和記憶.在解決問題時，無論是對于命題本身或解題方法，都是產(chǎn)生猜測、獲得命題的推廣或引申的原動力.因此，歸納和類比既是數(shù)學學習的重要方法，也是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的有效方法.

（責任編輯黃桂堅）