卓雅

[摘 要] 數(shù)列是高中的主干內(nèi)容，是學(xué)習(xí)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)不可或缺的知識(shí)，高考對(duì)數(shù)列的綜合性及創(chuàng)新性要求較高，注重思維方法和邏輯推理的考查. 本文就2015年廣東卷的一道數(shù)列壓軸題進(jìn)行分析拓展，給出了相應(yīng)的教學(xué)建議，希望對(duì)師生有所幫助.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)列；等比數(shù)列；化歸思想；縮放法

高考數(shù)列題型綜合性強(qiáng)，注重知識(shí)點(diǎn)之間的結(jié)合，難度較大，解決此類問(wèn)題要從基礎(chǔ)入手，注意思維方式以及通性方法的學(xué)習(xí). 課堂教學(xué)以引導(dǎo)為主，注重思路的拓展和邏輯推理，通過(guò)對(duì)真題的變式分析提升學(xué)生的解題能力.

真題呈現(xiàn)

試題（2015年廣東卷）數(shù)列{an}滿足a1+2a2+3a3+···+nan=4-，n∈N.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)之和Tn；

（3）令b1=a1，bn=+1+++…+an（n≥2），證明：數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)之和Sn滿足Sn<2+2lnn.

解法探究及評(píng)析

1. 解法探究

（1）對(duì)于題干所給出的條件“a1+2a2+3a3+···+nan=4-”，可以利用“an=Sn-Sn-1（n≥2）”求解.

當(dāng)n≥2時(shí)，設(shè)Mn=a1+2a2+3a3+…+nan=4-，則Mn-1=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=4-，Mn-Mn-1=nan=-=，所以an=n-1.

又因?yàn)閍1=4-=1=1-1也符合條件，所以可得an=n-1.

（2）由（1）可知，數(shù)列{an}是等比數(shù)列，它的首項(xiàng)為1，公比為，因此它的前n項(xiàng)之和為Tn==2-n-1.

（3）證明：根據(jù)題意可知，當(dāng)n≥2時(shí)，bn=+1++…+·an，b1=a1，b2=+1+a2，b3=+1++a3，所以有Sn=b1+b2+b3+…+bn=1++…+·（a1+a2+an+…+an）=1++···+Tn=1+++…+·2-<21++…+.

由問(wèn)題所證明的結(jié)論“Sn<2+2lnn”入手，利用縮放法可得出Sn<21+++…+后，則問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求證21+++…+<2+2lnn=2（1+lnn），即++…+

因上式不等式的左邊有（n-1）項(xiàng)，則可以考慮將lnn分裂為n-1項(xiàng)的和，又可知lnn=lnn-ln（n-1）+ln（n-1）-ln（n-2）+…+ln2-ln1=ln+ln+…+ln，因此可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明ln>. 此時(shí)用構(gòu)造函數(shù)的方法解決.

設(shè)f（x）=lnx+-1（x>1），則f′（x）=-=>0，所以可知f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù). 因?yàn)閒（1）=0，所以f（x）>0. 又因?yàn)閗≥2且k∈N*時(shí)，>1，所以f=ln+-1>0，即ln>，所以

2. 試題評(píng)析

數(shù)列是高考考查的重點(diǎn)，本題考查了求數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)之和以及證明不等式，題目難度較高，求通項(xiàng)公式和證明不等式分別采用了前n項(xiàng)之和互減法和縮放法，對(duì)方法的選取以及邏輯思維能力的考查是本題的重點(diǎn)，對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)參照具有幫助.

試題拓展與延伸

在高考和模擬中都注重對(duì)數(shù)列的考查，經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)，下面筆者將列舉兩道同類似的題目.

試題1（2016年江蘇卷）記U={1，2，…，100}，對(duì)數(shù)列{an}（n∈N*）和U的子集T，若T=，定義S=0；若T={t1，t2，…，tk}，定義ST=at1+at2+…+atk.例如：T={1，3，66}時(shí)，ST=a1+a3+a66. 現(xiàn)設(shè){an}（n∈N*）是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)T={2，4}時(shí)，ST=30.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）對(duì)任意正整數(shù)k（1≤k≤100），若T{1，2，…，k}，求證：ST

（3）設(shè)CU，DU，SC≥SD，求證：SC+SC∩D≥2SD.

試題2（2016年天津卷） 已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d，對(duì)任意的n∈N*，bn是an和an+1的等比中項(xiàng).

（1）設(shè)cn=b-b，n∈N*，求證：{cn}是等比數(shù)列；

（2）設(shè)a1=d，Tn=（-1）nb，n∈N*，求證：<.

上述兩道數(shù)列題都給出了關(guān)于數(shù)列的關(guān)系，通過(guò)對(duì)關(guān)系式的分析變形則可以求得數(shù)列的性質(zhì)，解決數(shù)列求和問(wèn)題常采用的方法有分組求和、裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減、倒序相加，不同類型按不同的方法處理，對(duì)于不等式的證明可以先進(jìn)行縮放，然后構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行分析.

教學(xué)思考與建議

1. 注重基礎(chǔ)，綜合復(fù)習(xí)

高考數(shù)學(xué)試題中數(shù)列占很重要的一部分，但出題緊扣基礎(chǔ)，重點(diǎn)突出，主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念和性質(zhì)，緊密圍繞教科書(shū)，出題的形式千變外化，設(shè)問(wèn)通常加強(qiáng)了與三角函數(shù)、不等式、極限等知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系，但萬(wàn)變不離其宗. 在教學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)中，要注意緊抓基礎(chǔ)，重點(diǎn)知識(shí)重點(diǎn)講授，可以通過(guò)專題講解的方式來(lái)加強(qiáng)學(xué)生處理數(shù)列綜合知識(shí)的能力，同時(shí)加強(qiáng)各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，靈活運(yùn)用數(shù)列的相關(guān)思想解決問(wèn)題，在對(duì)數(shù)列的分析中引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)思想，思維的拓展、方法的學(xué)習(xí)才是教學(xué)的重點(diǎn).

2. 研究模型，提升能力

數(shù)列的主干包含等差和等比兩大數(shù)學(xué)模型，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，從函數(shù)圖像的角度來(lái)研究數(shù)列也是一種有效的方法，可以通過(guò)對(duì)數(shù)列的直線模型和指數(shù)模型的研究來(lái)拓寬思路，有助于解決數(shù)列問(wèn)題. 兩大基本模型是高考的難點(diǎn)，數(shù)列問(wèn)題包括遞推數(shù)列的通項(xiàng)、探究數(shù)列性質(zhì)、分析數(shù)列交匯問(wèn)題等方面，課改的推進(jìn)并沒(méi)有降低數(shù)列的難度，對(duì)思想要求有所提升，利用歸化思想構(gòu)造數(shù)列，對(duì)新的數(shù)列進(jìn)行分析成為研究問(wèn)題的一種重要手段，在教學(xué)中要努力培養(yǎng)學(xué)生的推理能力和思維化歸能力. 研究復(fù)雜問(wèn)題可以利用“特殊到一般”的方法，在列舉中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即化歸思想. 知識(shí)的學(xué)習(xí)很重要，對(duì)學(xué)生思想方法的培養(yǎng)更為重要.

3. 精化設(shè)問(wèn)，注重創(chuàng)新

今年的高考題的命題趨勢(shì)是情景設(shè)問(wèn)、注重創(chuàng)新，創(chuàng)新意識(shí)的考查成為高考的一大特點(diǎn)，因此在日常的教學(xué)復(fù)習(xí)中，教師要進(jìn)行相應(yīng)的情景教學(xué)，圍繞母題進(jìn)行方法拓展、命題情景的創(chuàng)新設(shè)問(wèn)，聯(lián)系生活場(chǎng)景、科學(xué)場(chǎng)景，思維方式等進(jìn)行教學(xué)革新. 數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)下的改編創(chuàng)新是高考的趨勢(shì)也應(yīng)該是高中教學(xué)的方向，通過(guò)情景創(chuàng)新教學(xué)，使學(xué)生更好地掌握數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生理解、思考、探究、再創(chuàng)造的能力，培養(yǎng)創(chuàng)新思維方式也可以較好地應(yīng)對(duì)高考的創(chuàng)新題型，提高學(xué)生自身的創(chuàng)新品質(zhì)，從思想上擁有創(chuàng)新意識(shí).

寫(xiě)在最后

數(shù)列是高中的重難點(diǎn)知識(shí)，高考大綱對(duì)數(shù)列的考查注重題型創(chuàng)新以及思想方法，教學(xué)的開(kāi)展應(yīng)緊密圍繞數(shù)列的核心知識(shí)，注重各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，開(kāi)展創(chuàng)新情景教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和邏輯推理能力.