李文文

[摘 要] 大量的現(xiàn)實(shí)問題可以通過建立函數(shù)模型來解決.函數(shù)模型包括數(shù)據(jù)表格、函數(shù)圖像、函數(shù)解析式等形式，其中函數(shù)解析式是最重要的函數(shù)模型形式；基于數(shù)據(jù)運(yùn)用圖像模擬法所建立的函數(shù)解析式模型存在不唯一、不準(zhǔn)確等局限，結(jié)合運(yùn)用最小二乘法可優(yōu)化圖形模擬法建立的函數(shù)解析式模型.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù)解析式模型；圖像模擬法；最小二乘法；優(yōu)化

函數(shù)是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，也是解決現(xiàn)實(shí)問題的一類重要數(shù)學(xué)模型，在科學(xué)研究、生產(chǎn)實(shí)踐及日常生活等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用. 大量的實(shí)際問題可以通過建立函數(shù)模型來解決，即從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)模型，進(jìn)而解決實(shí)際問題，這也是高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和高中數(shù)學(xué)教材對(duì)函數(shù)學(xué)習(xí)的一項(xiàng)重要要求，而如何建立函數(shù)模型是運(yùn)用函數(shù)解決實(shí)際問題的關(guān)鍵.

建立函數(shù)解析式模型的重要意義

函數(shù)模型主要包括數(shù)據(jù)表格、函數(shù)圖像、函數(shù)解析式等形式. 其中，數(shù)據(jù)表格具有數(shù)據(jù)翔實(shí)、對(duì)應(yīng)關(guān)系一目了然等優(yōu)點(diǎn)，但是如果數(shù)據(jù)過多，就難以發(fā)現(xiàn)自變量和因變量之間的深層關(guān)系；函數(shù)圖像具有直觀形象、具體生動(dòng)等優(yōu)點(diǎn)，但是函數(shù)圖像難以精確反映自變量與因變量之間的依存關(guān)系；函數(shù)解析式盡管缺乏直觀形象、具體生動(dòng)等特點(diǎn)，但是，由于其能精確地表達(dá)自變量與因變量之間的依存關(guān)系，因而成為函數(shù)模型建立時(shí)所尋求的終極目標(biāo). 因此，建立函數(shù)解析式模型是運(yùn)用函數(shù)模型方法解決實(shí)際問題的重要基礎(chǔ)，對(duì)解決現(xiàn)實(shí)問題具有重要意義.

運(yùn)用圖像模擬法建立函數(shù)解析式模型

針對(duì)具體問題確定函數(shù)因變量和自變量關(guān)系的解析式模型時(shí)，除了因變量與自變量之間具有明顯的、確定的關(guān)系，例如因變量y是自變量x的2倍之類特殊關(guān)系問題，可以直接寫出函數(shù)解析式模型y=2x之外，現(xiàn)實(shí)情境中往往沒有先驗(yàn)的、現(xiàn)成的依據(jù)與路徑可尋. 此時(shí)，不妨分別以自變量x和因變量y為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系；然后，依據(jù)從實(shí)際問題中收集到的自變量x和因變量y的數(shù)據(jù)資料，畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)分布圖；繼而，依據(jù)散點(diǎn)圖的分布狀況模擬畫出一條直（曲）線，并且使散點(diǎn)（從直觀上看）盡可能均勻（衡）地分布于直（曲）線兩側(cè)；進(jìn)而，憑借直觀觀察、個(gè)人經(jīng)驗(yàn)及主觀判斷，估計(jì)出所屬函數(shù)類型，并寫出含參數(shù)的函數(shù)解析式；最后，選取部分?jǐn)?shù)據(jù)求出該函數(shù)解析式的參數(shù)，從而得到兩個(gè)變量間的函數(shù)解析式模型. 這種方法可以稱之為建立函數(shù)解析式模型的圖像模擬方法.

例1 為預(yù)測(cè)某公司總投資對(duì)其總利潤的影響，收集了該公司總投資x（單位：億元）與當(dāng)年總利潤y（單位：億元），得到了連續(xù)10年的數(shù)據(jù)資料，如表1.

分析：?jiǎn)栴}的實(shí)質(zhì)在于建立總投資與總利潤這兩個(gè)變量之間的函數(shù)解析式模型. 由于無法預(yù)知兩者之間存在的函數(shù)類型與形式，因此，不妨用圖像模擬法來進(jìn)行探索.

？搖？搖建模：以總投資x作橫坐標(biāo)，以當(dāng)年總利潤y作縱坐標(biāo)，建立平面直角坐標(biāo)系，并將數(shù)據(jù)標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系上，得到數(shù)據(jù)的散點(diǎn)分布圖，如圖1所示. 若該公司2018年的總投資為25.1（億元），試預(yù)測(cè)該公司2018年的總利潤（億元）.

觀察圖1中散點(diǎn)的分布狀況，可以做出直觀判斷：數(shù)據(jù)散點(diǎn)大致落在一條直線附近，由此估計(jì)x、y這兩變量間的關(guān)系為線性關(guān)系. 因此，可以用直線方程y（x）=a+bx（a，b為參數(shù)）（注：下面簡(jiǎn)稱為①式）來表示兩變量間的函數(shù)關(guān)系. a，b兩個(gè)參數(shù)可以從數(shù)據(jù)表中選取兩組數(shù)據(jù)分別代入直線方程，從而得到一個(gè)關(guān)于a，b的方程組來求解.譬如，?。?5.2，28.6）和（10.4，19.3），并代入①式，可得：a=-0.85，b=1.938. 因此，y（x）= -0.85+1.938x即為運(yùn)用圖像模擬法建立的函數(shù)解析式模型.當(dāng)總投資為25.1（億元）時(shí)，總利潤為：y（25.1）=-0.85+1.938×25.1=47.79（億元）. 然而，如果選用另外兩組數(shù)據(jù)帶入直線方程，則很可能得到另一組不同的a，b值，從而得到不同于①式的函數(shù)模型，進(jìn)而得到不同的預(yù)測(cè)結(jié)果.譬如，選?。?1.2，40.5）和（18.6，35.6），并代入可得：y（x）=0.593+1.885x，此時(shí)，y（25.1）=47.85（億元）.

上述所建立的兩個(gè)模型及這兩個(gè)預(yù)測(cè)結(jié)果顯然存在一定誤差，若再選其他兩組不同的數(shù)據(jù)，則會(huì)得到更多不同的解析式模型及預(yù)測(cè)結(jié)果. 事實(shí)上，求a，b值時(shí)，無論選取哪兩組數(shù)據(jù)，均未充分地運(yùn)用表中所有數(shù)據(jù)信息. 這正是得到不同函數(shù)解析式和不同預(yù)測(cè)結(jié)果的根本原因，也是借助其中某兩組具體數(shù)據(jù)求參數(shù)值方法的不足之處.

運(yùn)用最小二乘法優(yōu)化函數(shù)解析式模型

為避免因數(shù)據(jù)選取的隨意性與特殊性而導(dǎo)致函數(shù)解析式模型及其預(yù)測(cè)結(jié)果的誤差，可以用最小二乘法來求①式中a，b的值. 所謂最小二乘法是在觀測(cè)點(diǎn)處誤差的平方和達(dá)到極小的前提下，使用直（曲）線逼近（擬合）觀測(cè)值的一種求a，b值的方法. 假設(shè)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）是一組實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，如果y與x之間具有直線y=a+bx的模型關(guān)系，可以用一般公式②計(jì)算a，b的值，此時(shí)，模型值與實(shí)測(cè)值誤差最小.

a=yi-xi，b=. ②

這樣，將例1數(shù)據(jù)表格中全部數(shù)據(jù)代入上式，并計(jì)算可得：a=2.355，b=1.813. 因而，其一般函數(shù)解析式模型為：y（x）=2.355+1.813x， 此時(shí)，y（25.1）=47.86（億元）.

由②可知，用最小二乘法求參數(shù)a，b的值，需將已有數(shù)據(jù)全部用上，從而避免了因數(shù)據(jù)的選取不同而導(dǎo)致函數(shù)解析式模型不唯一及預(yù)測(cè)結(jié)果的差異，而且所取a，b值能使模型值與實(shí)測(cè)值的誤差達(dá)到最小.

當(dāng)然，如果借助散點(diǎn)分布圖所模擬出來的線，從直觀上不能看作直線，而更宜看作曲線時(shí)，可通過變量代換將其線性化，再用最小二乘法求其參數(shù)值.

雖然有些散點(diǎn)分布圖應(yīng)該用曲線（而非直線）來模擬，但是有時(shí)僅憑直觀觀察很難確定它是指數(shù)函數(shù)還是冪函數(shù)，或者有些函數(shù)既像對(duì)數(shù)函數(shù)，又像雙曲線函數(shù).針對(duì)這種可以用兩種不同類型的函數(shù)解析式來估計(jì)其變量間關(guān)系的情形，可以先選定兩種圖像相近的函數(shù)解析式類型，并寫出其一般函數(shù)解析式；然后，分別通過代數(shù)變換而轉(zhuǎn)換成線性函數(shù)關(guān)系，并運(yùn)用最小二乘法求出線性關(guān)系中的參數(shù)，進(jìn)而確定這兩種不同類型的函數(shù)解析式模型. 此時(shí)，要判斷哪個(gè)函數(shù)解析式模型較好，只需檢驗(yàn)?zāi)囊粋€(gè)函數(shù)解析式與實(shí)測(cè)值吻合得較好即可. 即分別求得實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值的差值的平方和S，S越小，模型越好，并以此作為比較函數(shù)解析式模型優(yōu)劣的準(zhǔn)則.

例2 某公司的年利潤如表2所示，試預(yù)測(cè)該公司2018年的利潤.

建模：以時(shí)間（序號(hào)）為x軸，利潤為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系. 依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，畫出散點(diǎn)分布圖. 從圖2可以看出，y值起初增加較快，以后逐漸減慢，因此，可以選用雙曲線函數(shù)：=a+來預(yù)測(cè)，此時(shí)，令y*=，x*=，雙曲線函數(shù)就轉(zhuǎn)化為：y*=a+bx*運(yùn)用最小二乘法得：b=0.1417，a=-0.00634. 從而可得雙曲線函數(shù)關(guān)系為：=-0.00634+. 當(dāng)x=9時(shí)，y=106.33（億元），即2018年該公司的利潤估計(jì)為106.33（億元）.

然而，圖2中的曲線也與對(duì)數(shù)函數(shù)曲線相似，如果用對(duì)數(shù)函數(shù)y=a+blgx來預(yù)測(cè)是否會(huì)更好呢？此時(shí)，令y*=y，x*=lgx，則有y*=a+bx*，同樣運(yùn)用最小二乘法，可求得：b=52.9，a=6.03. 從而可得對(duì)數(shù)函數(shù)關(guān)系為：y=6.03+52.9lgx. 當(dāng)x=9時(shí)，y=56.71（億元），即2018年該公司的利潤估計(jì)為56.71（億元）.

可見，上述兩個(gè)模型預(yù)測(cè)的結(jié)果差別很大，那么，究竟用哪一個(gè)模型更好呢？為此，可以用上述兩個(gè)模型分別計(jì)算出以往各年利潤的預(yù)測(cè)值，然后分別計(jì)算其預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的差值的平方和，得S雙曲=314.01，S對(duì)數(shù)=28.01.可見S對(duì)數(shù)

建立函數(shù)解析式模型解決實(shí)際問題是一種重要的數(shù)學(xué)建模方法，因此，要使運(yùn)用該方法所建立的函數(shù)解析式能夠較準(zhǔn)確地解決實(shí)際問題，僅僅運(yùn)用圖像模擬法建立的函數(shù)解析式模型是不夠的，還需要運(yùn)用最小二乘法求得較為合適的參數(shù)和選定較為合適的函數(shù)解析式類型，從而建立最優(yōu)化的函數(shù)解析式模型，得以科學(xué)合理地解決實(shí)際問題.