高敏

[摘 要] 教師的主導作用和一切努力都是為了更好地確定學生的主體地位和更充分地發(fā)揮學生的主體作用，課堂上，教師所有的講、說、讀、寫、畫都是為了充分調動學生鉆研、探索、爭論和問題解決的積極性和實效性. “子集”本身的內容比較單薄，經過教者的巧妙調配，卻可以達到擴容和增效的效果.

[關鍵詞] 子集概念；數學課堂；數學思維；教學活動

近兩年來，關于“中學數學課堂到底能否交給學生”的討論，引起了廣泛的關注，筆者對此議題進行了反復深思，認為“教師完全包辦課堂”和“將課堂完全交給學生”這兩種極端行為都不對. 并在教學實踐中進一步探索，認為：教師的主導作用和一切努力都是為了更好地確定學生的主體地位和更充分地發(fā)揮學生的主體作用，課堂上，教師所有的講、說、讀、寫、畫都是為了充分調動學生鉆研、探索、爭論和問題解決的積極性和實效性. 然而，也必須承認，教學案或導學案的創(chuàng)編，教學流程的預設，課堂氛圍的營造，問題情境的創(chuàng)設，教學程序實施過程中的調控，對課堂上出現狀況時的應對處置，對學生進行提示、啟發(fā)、誘導、點撥和喚醒，都離不開教師的主導作用.

為了詳細解讀上述理念，筆者特以“子集概念”的教學為例，展示此理念在課堂上的具體貫徹.

概念出臺

師：今天我們來研究——

生：子集.

師：書上寫得明白，你們當然知道啦！但下面要求大家盡量不看書，要通過自己的努力來達成此節(jié)課的目標. 那么，什么叫“子集”呢？

生：從一個集合（能否叫“母集”？）中取出一部分元素構成新的集合，就得到“母集”的子集.

師：哈哈，看似有點道理，但這是想當然，決不能代替嚴謹精確的數學語言. 先看一個實例. 設集合B={大爺，大娘，哥哥，嫂嫂，小娃}，集合A={哥哥，嫂嫂，小娃}，那么集合A是集合B的什么？

生：集合A是集合B的子集.

師：這樣就可以給出子集的定義了.

生（在教師的協助下完善）：對于集合A與集合B，如果集合A中的元素都是集合B中的元素，那么集合A就叫集合B的子集，記為A？哿B或B？勐A，讀為“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”.

研磨定義

師：對于數學內容，一般都用三種語言（自然語言、符號語言和圖形語言）來表示，所以得圖1. 不過，這個圖形有個弊端，就是它會使我們誤以為子集A似乎比集合B“小”，前面的事例也給我們這個感覺，認為集合A是“小家庭”，集合B是“大家庭”，其實集合根本就沒有大小之說！現在，我們將一個集合的全部元素都取出，如集合C={a，b，c}，集合D={a，b，c}，大家看看集合C能否叫集合D的子集？

生1：從感覺上看，好像集合C不應該是集合D的子集，但嚴格按照定義來判斷，集合C中的元素都是集合D中的元素，所以集合C是集合D的子集.

生2：集合D也是集合C的子集！（奇特的結論使學生興奮異常）

生3：一個集合與其本身互為子集，所以有A？哿A，還有A？勐A. （教室里響起一片叫好聲）

生4：反過來，若有A？哿B，且B？勐A，則A=B. （教室里又一陣叫好聲）

師：現在有個難辦的問題，就是如何處理空集與集合的關系，大家認為應該怎么辦？

（經過七嘴八舌的討論，有學生認為撇開這個“討厭”的空集算了）

師：空集是數學中的一個重要角色，哪能撇開哩！告訴大家吧，數學中有個規(guī)定，即空集是任何集合的子集，即？哿A. 還有一個棘手的問題，如集合E={a，b，c，d}，集合F={a，b，c，d}，集合G={a，b，c}，則集合F和集合G都是集合E的子集，可是如何區(qū)分它們呢？

生5：集合G是集合E的真子集，集合F是集合E的……（一時無語）

師：總不能叫“假”子集吧？（學生大笑）沒有“假”子集這個概念. 真子集有個記號，如果集合G是集合E的真子集，則記為G？芴E（讀作“G真包含于E”）. 那么，請大家給出真子集的定義.

生6：如果集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不屬于A，則集合A叫集合B的真子集.

師：數學學好了，說話就是嚴謹，滴水不漏?。‖F在大家有什么聯想？

生7：記號“？芴”好像“≤”，記號“？哿”好像“<”.

師：這叫類比聯想，數學中運用得很多. 再如，由a

生8：a

師：這種性質叫作——

生8：傳遞性.

師：類比聯想使我們獲得舉一反三、觸類旁通之效，在其他學科和生活中也常用到. 沒有想到吧，我們研究子集，竟獲得如此豐碩的成果. 此時我不禁有點感慨，想用有趣的語言來表達，即有“真”卻無“假”——

生9：有“子”沒有“媽”. （學生忍俊不禁）

師：再續(xù)兩句更好.

生10（經過思索）：類比來聯想，戰(zhàn)果無限大.

思維訓練

師：有關子集的知識雖不是很復雜，但必須認準其精髓，才能解決有關問題，且可避免犯錯，這對我們思維的各種品質是一個嚴峻的考驗. （已略去部分淺顯的問題）

問題3：設集合A={xx>a}，B={xx>5}.

（1）若A？哿B，則a的取值范圍是____；

（2）若A？芴B，則a的取值范圍是___；

（3）若A與B之間沒有互相包含的關系，則a的取值范圍是________.

對于（1），學生不難得到a≥5，但（2）卻引起了很大的爭論.

生1：答案也是a≥5.

生2：不對，若a=5，則A=B，A？芴B不成立.

學生幾乎一時語塞，課堂氣氛限于沉悶.

師（畫出圖2）：請對照這個圖形來考慮，發(fā)揮數形結合思想方法的作用.（學生來了精神）

生3：a=5肯定不對. 我想，表示集合A的圖2中的陰影框必須在5右邊一點，所以任意取一個大于5的數即可，如a≥5.1，a≥5.01…

生3（經過一番討論后）：a≥t（t為大于5的任意實數）.

生4：不對！這樣就漏掉區(qū)間（5，t）內的值了，答案就應該是a>5. （掌聲響起）

師：縝密、嚴謹體現的是數學的一種美.

對于（3），學生經過一番思考、辨析，借助圖2，認為無論a為何值，都不能滿足題設條件，所以a的取值集合只能是空集，也就是說，根本不存在這樣的集合A.

問題4：設集合M={xx2-x-6=0}，P={xmx=6}，若P？哿M，求實數m的取值集合.

生5：解得M={-2，3}，下面分兩種情況進行討論. 若P={-2}，則m=-3；若P={3}，則m=2.

生6：集合P也可以是空集呀！

生5（補充）：若P為空集，則m=0. 所以m的取值集合為{-3，2，0}.

師：知錯能改就是好同志！題小蘊含大，不僅重溫了方程及分類討論思想，且提醒我們注意，謹防犯錯.

問題5：解答下列各題.

（1）集合{a}的子集有________，共有________個；

（2）集合{a，b}的子集有________，共有________個；

（3）集合{a，b，c}的子集有_______，共有________個.

吸取了教訓，在解決這些問題時，學生都沒有丟掉空集.

師：長記性了吧，這樣就不會在同一塊石頭上絆倒兩次了！請問集合{a，b，c，d}有幾個子集？

子集比較多，若欲全部寫出，學生感到為難.

師：我問的是有幾個子集.

學生從前面的解答中積累了經驗，所以不難知道{a，b，c，d}有24=16個子集.

師：那么集合{a1，a2，a3，…，an}有多少個子集？

生7：有2n個子集.

師：完全正確！但這僅僅是猜想，若要嚴謹地講清道理，要等以后. 這里運用的是從特殊到一般的策略，它與先猜想后論證一樣，都是數學研究的一種重要方法. 這節(jié)課的收獲怎么樣？

生（齊）：收獲太大了！

師：給你們印象最深刻的是什么？

生8：除了子集的有關概念外，我印象最深刻的是，有“真”卻無“假”，有“子”沒有“媽”，類比來聯想，戰(zhàn)果無限大?。M場歡呼大笑）

啟示、感悟

此節(jié)課（以下簡稱“子集”）后，筆者心情久久難以平靜，真的是感慨良多、思緒萬千.

1. 角色定位

教師和學生，前者是主導，后者是主體，這兩個角色究竟如何定位？前文雖已有論述，但在“子集”后，筆者有了更堅定的認識，那就是絕對不能將課堂完全交給學生，但又要充分發(fā)揮學生的主體作用，兩者應該做到且可以做到密切配合、相得益彰. 我們經常想，一位剛走上工作崗位的年輕數學教師，至少須經過五六年的歷練，才能達到比較成熟、能基本勝任和駕馭中學數學課堂的程度，而剛升入高中的學生（極個別“神童”除外），可算是稚氣未脫盡的少年，知識面狹窄，生活閱歷淺，學習經驗缺，認知能力弱，他們能擔當起組織、駕馭和主宰課堂的重任嗎？即使他們在課前花費大量時間去“備課”（這得加重學生的多少負擔？若各科都采取這種做法，學生豈不要累趴下?。苤v出高質量的課來嗎？但另一方面，又絕對不能以這個道理為借口，否認學生的主體地位，而讓教師“獨裁”包辦.

就“子集”來說，子集的定義、空集與集合的關系、真子集的定義等，如果學生沒有預習的話，他們怎么也不會完善地講出來，但又不能由教師包辦，所以我們采取讓學生講，再由教師進行輔助的方式，以使課堂逐步趨于完善.

在習題的研討解答中，學生活動的份額當然要重得多，但也不能完全排斥教師的作用. 學生能解答的，教師可完全放手；學生感到困難的，教師應適當提示、啟發(fā)；學生犯錯時，教師必須指出，或激勵其他學生指出. 值得回味的是，對于問題3第（2）小題的討論，雖費點時間和精力，但收效顯著. 當然，這樣的研討在一節(jié)課中不能太多，否則影響教學目標的達成.

2. 擴容增效

一節(jié)數學課的時間和容量都是有限的，但經過教者的巧妙調配，卻達到了擴容和增效的效果. “子集”本身的內容比較單薄，那么就可以考慮從幾方面來擴容：一，三種語言的應用；二，從知識結構來看，“子集”聯系到方程和不等式，且自然流暢；三，從數學思維來看，努力優(yōu)化數學思維的縝密性、廣闊性、敏捷性、創(chuàng)造性和批判性，這都是每節(jié)數學課必不可少的；四，從數學思想來看，運用了數形結合、分類討論、等價轉化等思想，且盡可能地讓學生主動參與；五，從數學美來看，有機地涉及數學的統(tǒng)一美、簡潔美、奇異美等；六，從數學策略來看，涉及從特殊到一般、先猜想后論證和類比聯想等重要的數學策略；七，集合{a1，a2，a3，…，an}有2n個子集的道理，喚起了學生的求知欲，為今后的教學設下伏筆；八，與生活實際（如家庭）相聯系. 這樣就大大豐富了數學教學和學生活動的內容，使得學生的活力在更大的范圍內得到彰顯和發(fā)揮. 當然，這項系統(tǒng)工程不是一節(jié)課能承擔得了的，必須天天講，課課談，節(jié)節(jié)論.

3. 寬松愉悅

這也是本節(jié)課的一大特色. 學生在數學課上應該沒有任何心理壓力和思想負擔，輕松愉快地上陣，寬松和諧地研討，這樣才能最大限度地激發(fā)出他們潛藏的智慧和知識貯存，才能更有效地投入當前的數學科研探索活動. 在“子集”課中，教師運用詼諧幽默的語言，使課堂上笑聲、掌聲不斷，甚至學生發(fā)出來自內心的歡呼聲，這標志著，其有效地得到了學生的心理呼應，學生樂此不疲也就成了現實. 有子集，卻沒有“母集”；有真子集，卻沒有“假子集”；家庭有大小，集合卻無大??；任何集合都是本身的子集；空集竟是任何集合的子集，卻是任何非空集合的真子集，種種奇特的數學現象激起的是學生的興趣.

再如，“數學學好了，說話就是嚴謹，滴水不漏啊”“好??！看來大家都經受住了考驗”“知錯能改就是好同志”“長記性了吧，這樣就不會在同一塊石頭上絆倒兩次了”等語言對于課堂良好氣氛的營造、學生愉悅心理的形成都大有裨益.

最后說一點，隨著學生的成長趨于成熟，在高二、高三階段，我們可以順其自然地加大對學生的要求，將課堂更多的時間交給學生，讓他們在自由自在的空間徜徉、馳騁.