江蘇南京市江寧科學園小學 張 偉

“分數的基本性質”是一節(jié)經常被教師們選來進行公開課執(zhí)教的課例，通常來說總會遵循以下幾個流程展開教學：先看圖寫出分數，找到一些分子分母不同但大小相等的分數，初步感知分數間的相等關系；再通過操作活動尋找與1/2相等的分數，并寫出一組分數相等的式子；接著組織學生觀察每個分數的分子、分母的變化情況，以及分數大小不變的事實，感受規(guī)律的客觀存在；最后引導學生結合探究感受，歸納出分數的基本性質。

如上所述，學生確實能經歷觀察、操作、思考、歸納等數學活動，但在探索“分數的基本性質”這一規(guī)律時，學生幾乎都在教師主導下進行著線性的學習，原本可以自然生長、思維開放的過程被嚴重束縛，而學生的主動發(fā)現(xiàn)、自我建構顯得十分不足。為此，筆者重新進行了教學設計，力求讓學生在“變與不變”中探尋分數中藏著的特有規(guī)律，在觀察操作中獲得探究樂趣，在猜想驗證中完成自我建構，收到了良好的效果?，F(xiàn)選擇其中片段加以整理，與大家交流。

一、案例呈現(xiàn)

（一）談話引入

師：想一想，你們能找到兩個形式不同但大小相等的整數嗎？

生：找不到，每個整數的大小都各不相等。

師：是的，任何兩個形式不同的整數，它們的大小都不可能相等。那能找到兩個形式不同但大小相等的小數嗎？

生：可以的，比如0.2與0.20。

師：依據是什么？

生：小數的性質。

師：我們最近學習了分數，它可能有什么性質呢？能找出兩個形式不同但大小相等的分數例子來嗎？

（二）教學新知

1.揭示分數相等的例子

師：看屏幕，從這個小故事中，你能發(fā)現(xiàn)哪兩個分數相等？

（課件出示猴媽媽分餅圖，兩只完全相同的餅，第一只小猴分得這塊餅的1/4，第二只小猴分得另一塊餅的2/8）

生：1/4=2/8。

師：接著看下面的涂色卡，能用分數表示出涂色部分嗎？你又發(fā)現(xiàn)了什么？

生：2/6=3/9。

師：最后看這兩條數軸圖，能在數軸上描點表示出分數3/4和6/8嗎？能想到什么呢？

（課件出示數軸圖，并依據學生發(fā)言標出相應分數）

生：3/4=6/8。

師：根據上面三組分數相等的例子，我們發(fā)現(xiàn)大小相同的分數確實存在。

2.引導學生深入思考

師：是不是每個分數都有和它相等的分數呢？和它相等的分數到底有多少個呢？咱們以1/2為例，找出與1/2相等的分數。好嗎？

生（齊）：好！

提供學習研究材料（若干張相同大小的正方形紙片、數軸圖），并出示活動要求：

①找與1/2相等的分數。

②想辦法說明找到的分數與1/2是相等的。

③小組里交流想法，選出代表準備匯報。

師：你們找到哪些分數與1/2相等呢？

生：2/4，4/8，8/16……有不少呢！

師：請小組派代表來匯報，是怎樣找到這些分數的。

生1：我們是用兩張相同大小的正方形紙片，通過折出1/2與2/4，發(fā)現(xiàn)表示1/2和表示2/4的部分是一樣大的，說明1/2與2/4相等，并且用同樣的方法，我們還發(fā)現(xiàn)4/8和1/2、2/4都是相等的。

生2：在數軸圖上，1/2、2/4、4/8、8/16的位置是相同的，所以它們都是相等的。

生3：利用分數與除法的關系，我們可以得出1/2=1÷2=0.5、2/4=2÷4=0.5、4/8=4÷8=0.5、8/16=8÷16=0.5。

3.探索變化中的規(guī)律

（黑板上板書：1/2=2/4，1/2=4/8，1/2=8/16）

師：仔細觀察，每組等式中分數的分子、分母變了嗎？是怎樣變化的？

生：1/2的分子和分母同時乘2，得到2/4。1/2的分子和分母同時乘4，得到4/8。1/2的分子和分母同時乘8，得到8/16。

師：從上面的例子，你能發(fā)現(xiàn)什么？

生：分數的分子、分母同時乘相同的數，分數的大小不變。

師：是的，從剛才1/2的例子中，確實有這樣的發(fā)現(xiàn)。那是不是所有的分數，當分子分母同時乘相同的數，分數的大小都不變呢？

生1：是的！

生2：我覺得剛才只是以1/2為例有這樣的規(guī)律，其他分數還不一定呢！

師：確實，在數學上僅憑一個特例就得出結論不夠嚴謹，也不科學。但我們可以將這個發(fā)現(xiàn)當作一個猜想（在之前的結論后面打上一個“？”），下面我們來一起——

生：驗證！

師：怎么驗證呢？

生：我們可以舉任意一個分數，將它的分子、分母同時乘相同的數，看看大小變了沒有。

師：以“任意”分數為例是不是更有代表性，更加有說服力了？

生：嗯，我們舉的例子應該盡量全，將所有類型的分數都包括進來。

師：好，那我們就試著舉出些典型的分數例子來！

（學生獨立舉例，有真分數、假分數）

師：誰來交流一下你的例子？

生1：我寫的是2/5，將分子和分母同時乘以2后，得到4/10，通過畫圖，發(fā)現(xiàn)表示2/5的涂色部分和表示4/10的涂色部分一樣大，這兩個分數的大小應是相等的，符合我們的猜想。

師：通過動手操作，觀察涂色部分，發(fā)現(xiàn)了兩個分數相等，很好。

生2：我舉的例子是9/8，將分數分子分母同時乘以125，得到1125/1000，用分子除以分母，發(fā)現(xiàn)這兩個分數都等于1.125。

師：你還想到了假分數，并且用上了分數與除法的關系，比較起來也很方便。

生3：我舉的例子是4/4，分子分母同時乘以2后得到8/8，它們的大小沒變，都是1。并且分子分母同時乘以3，4，5……得到的分數大小都是1！

師：謝謝同學們展示了這么多例子，我想知道有沒有找出例子不符合上面的猜想的？

生1：沒有！

生2：但是我要補充一點，分子分母同時乘的數不能是0，因為如果同時乘以0，乘了之后分母變成0了，就沒有意義了，0要排除在外。

師：講得真棒！現(xiàn)在我們能得出結論了嗎？

生：可以了。

4.完善分數基本性質

師：回顧剛才的探索過程，我們從一組等式出發(fā)，探尋出其中的規(guī)律，并據此提出猜想，加以驗證，得出了一個科學的結論。其實這個結論換個視角來看（借助手勢比畫），也可以說分數的分子、分母同時——

生：除以相同的數，分數的大小不變。

師：對的，從這樣的視角來看待這個規(guī)律也是有價值的！當然，這兒相同的數仍然要將0排除在外，你們同意嗎？

生：同意！

（三）聯(lián)系提升

1.回顧商不變的規(guī)律，溝通新舊知識間聯(lián)系

師：今天我們共同探究出了分數的基本性質。大家輕聲讀一讀，和我們以前學過的什么規(guī)律很相似呢？

生：商不變的規(guī)律！

（屏幕出示商不變的規(guī)律）

師：其實，運用商不變規(guī)律，不計算也可以幫助我們進行驗證這兩個分數是相等的！同意嗎？

生：同意！

2.提前孕伏，引發(fā)學生對學習的好奇心

師：其實，數學就是這么神奇，很多知識間本身有著千絲萬縷的聯(lián)系，等到我們上六年級的時候，又會學習一個新知識，這個知識跟咱們今天所研究的分數基本性質也有著奇妙的關系哦！

……

（四）鞏固練習（略）

二、案例反思

一節(jié)課的時間總是有限的，在這有限的時間里，如何讓學生更好地達成學習目標應該是進行教學設計時最要考慮的。因此，在教學中瞄準重點、合理取舍，就顯得特別重要。本課教學固然要關注結果（分數的基本性質是什么？），但更要關注過程（分數的基本性質是怎么發(fā)現(xiàn)的？），在有限的課堂學習時間里應充分激發(fā)學生主動探索的求知欲，組織學生動手操作、合作交流，有意識地滲透“猜想驗證”的研究方法，讓學生經歷知識發(fā)生、形成、發(fā)展的全過程，感悟數學嚴謹理性的科學精神，這樣的教學才會更自然、更深刻！

（一）在“變了”與“不變”中激發(fā)探究

從學生認知規(guī)律出發(fā)，教材先后安排了整數、小數及分數的學習。每一類型的數其實都有著比較特殊的性質，比如：為了清楚區(qū)分表示數量多少，整數有著比較明顯的唯一性，即兩個不同的整數有大小之分。小數里卻有著大小相等，但計數單位不同的若干等值小數，這也就是小數的性質。那分數有什么樣的性質呢？也具有和小數類似的等值變形的特點嗎？從學生已有認知的經驗出發(fā)，點燃學生學習和探究未知領域的好奇心。

在數次教學實踐嘗試后，筆者發(fā)現(xiàn)學生對分數形式不同但大小相等的分數有過接觸，只是沒有系統(tǒng)地研究，認識上比較模糊，更缺乏對分子、分母變化的觀察。所以在教學初始，筆者利用“小故事”“涂色卡”“數軸圖”等環(huán)節(jié)，直觀引出“形式不同，但大小相同的分數確實存在”這一客觀現(xiàn)實（如：1/4=2/8，2/6=3/9，3/4=6/8），接著又引導學生繼續(xù)深入思考：“是不是每個分數都有和它相等的分數呢？和它相等的分數到底有多少個呢？”最后以1/2為例展開探究，學生參與度高，并能充分利用到剛才獲得的經驗（觀察折紙涂色部分，數軸，聯(lián)系除法等），來幫助說明找出的分數與1/2相等。在得出幾組分數相等的等式后，組織學生觀察分子、分母是怎樣變化的，在變化的同時什么又是不變的，學生在經歷觀察、思考、歸納后，探究出了對“什么在變，什么不變”的規(guī)律性認識，“分數的基本性質”的雛形也就水到渠成了。

（二）于“猜想”與“驗證”中自我建構

數學上如“分數的基本性質”一類的知識，由于本身的抽象性，通常造成學生經歷的學習過程比較干癟，期間僅僅收到靜態(tài)的結論，至于數學思想方法、活動經驗往往都無從談起，這也造成了學生自我建構的缺失。其實，諸多數學知識都應是經過“同化”與“順應”的方式納入原有認知結構的，這其中既包括知識技能層面的內在聯(lián)系，也有思想方法層面的觸類旁通。

比如本課，學生初步以1/2為例探究出“分數的分子、分母同時乘以相同的數，分數大小不變”，顯然結論下得為時過早，筆者將學生思考的方向及時進行了疏導：僅憑一個特例是不足以當作一個科學結論的。組織學生在更大范圍內進行驗證，從而將學生的“一個特例”推廣到“任意分數”，而這個過程就是讓學生充分經歷運用“普遍的科學方法”來研究數學問題的過程，即“提出猜想”“進行驗證”“得出結論”。正是因為“猜想—驗證”，學生經歷了從特殊到一般的思考研究過程，對于新知的建構才會自然發(fā)生，不斷完善。接著，通過回顧商不變的規(guī)律，溝通商不變規(guī)律與分數基本性質之間的內在聯(lián)系，學生的認知結構再次得到了提升，能嘗試從數學演繹推理的高度去理解分數基本性質了。這些活動的開展也為后續(xù)進行其他研究積累了基本經驗，相信學生的思維經過長期類似的磨礪，他們思考問題會越來越嚴謹、理性。?