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摘 要：本文主要針對(duì)在解三角形中，已知一角及其對(duì)邊求取值范圍一類問(wèn)題的幾種思想方法進(jìn)行對(duì)比研究.

關(guān)鍵詞：解三角形；取值范圍；函數(shù)思想；不等式思想

在解三角形中，我們經(jīng)常會(huì)遇到已知一角及其對(duì)邊，求周長(zhǎng)，面積等的取值范圍這一類題型.在解決這一類題型中常用的思想方法有數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想、不等式思想等，本文主要對(duì)其中的后兩種進(jìn)行示范講解并進(jìn)行對(duì)比研究.

題目 在△ABC中，B=π3，AC=3，求周長(zhǎng)l與面積S的取值范圍.

分析 在一個(gè)三角形中，相關(guān)量一共有六個(gè)，其中包括三個(gè)角和三個(gè)邊，我們學(xué)過(guò)的解三角形知識(shí)中，可以解決已知其中任意三個(gè)量（至少含一條邊），求解其他量的問(wèn)題.而本題中僅知道兩個(gè)量，即一角和這個(gè)角的對(duì)邊，求周長(zhǎng)和面積的取值范圍.那么我們首先就要找到三角形中除了已知的邊角外還有哪些量也是固定不變的.

解 由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R可知，△ABC的外接圓半徑R=1，如圖1所示，△ABC的一邊AC作為外接圓的一條弦，由于弦長(zhǎng)不變，所以弦心距保持不變，而∠B=π3，則說(shuō)明B點(diǎn)是在優(yōu)弧AC上運(yùn)動(dòng)，容易看出，當(dāng)B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)（弧AC的中點(diǎn)）時(shí)周長(zhǎng)和面積最大，此時(shí)周長(zhǎng)等于33，面積等于334；當(dāng)B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到無(wú)限趨近于A點(diǎn)（或C點(diǎn)）時(shí)，周長(zhǎng)與面積最小，此時(shí)周長(zhǎng)無(wú)限接近于23，面積無(wú)限趨近于零.

本方法用到了數(shù)形結(jié)合的思想方法，但是，對(duì)于所得到的結(jié)論缺少嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撟C明基礎(chǔ)，且僅適用于有幾何意義的量的取值范圍.因此，只建議在做選擇題、填空題時(shí)用來(lái)參考.在后文中將不再贅述.

那么，如何嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明上述結(jié)論呢？不難看出證明結(jié)論的過(guò)程也是求解的過(guò)程.

分析 在一個(gè)三角形中，已知一角和這個(gè)角的對(duì)邊，求周長(zhǎng)的范圍即是求這個(gè)角兩條鄰邊的和的范圍，而面積S=12acsinB，所以求面積范圍就是求這個(gè)角的兩條鄰邊的乘積的范圍.如果將這兩條邊的和（積）看成一個(gè)函數(shù)的話，那么這個(gè)函數(shù)中變量有兩個(gè)，即該函數(shù)是一個(gè)二元函數(shù)，如果我們能將這二元函數(shù)化為一元函數(shù)的話，那么該問(wèn)題就轉(zhuǎn)變成為求一元函數(shù)值域的問(wèn)題了.

此種思想方法是將多元變量轉(zhuǎn)化為單元變量，運(yùn)用函數(shù)思想進(jìn)行解題，這種方法被稱為變量化一法.

我們可以看到，在運(yùn)用變量化一法求解問(wèn)題時(shí)，計(jì)算過(guò)程稍顯復(fù)雜，那么是不是有在計(jì)算上相對(duì)容易一些的方法呢？

分析 在三角形中，已知b邊，B角，求a+c和ac的取值范圍.從形式上觀察，不難聯(lián)想到我們所學(xué)過(guò)的不等式，那么如果想通過(guò)不等式進(jìn)行求解我們需要把加和與乘積同不等式中其他量建立聯(lián)系，而余弦定理中出現(xiàn)的平方和關(guān)系恰好也在不等式中出現(xiàn)過(guò)，那么我們就可以用不等式的思想進(jìn)行嘗試.

此種方法利用到不等式思想，讓不等式中我們不需要的關(guān)系消失，使之轉(zhuǎn)變?yōu)槲覀冃枰年P(guān)系，此種方法被稱為不等式法.可以看出，在運(yùn)用不等式法進(jìn)行求解時(shí)計(jì)算上相對(duì)簡(jiǎn)單，但需要特別注意的是，在利用不等式法進(jìn)行求解時(shí)，一般只能求出一側(cè)的范圍，另一側(cè)的范圍需要通過(guò)其他條件推出.例如本題中很多同學(xué)容易忽略兩邊之和大于第三邊或三角形面積大于零這類前提條件.

那么變量化一法和不等式法之間到底如何進(jìn)行合理選擇呢？我們針這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行具體的對(duì)比探究分析.

對(duì)于本題來(lái)說(shuō)，不等式法將完全無(wú)法使用，因?yàn)閍與c前的系數(shù)不相等，所以無(wú)論使用“調(diào)幾算平” （調(diào)和平均數(shù)不大于幾何平均數(shù)不大于算數(shù)平均數(shù)不大于平方平均數(shù)）還是使用柯西不等式都無(wú)法進(jìn)行求解.

綜上所述，對(duì)于“λa+μb”這種一次型以及絕大部分常見(jiàn)形式來(lái)說(shuō)，運(yùn)用變量化一法，更為合理，例如變式二中當(dāng)λ≠μ時(shí)，不等式作法完全無(wú)法使用.而對(duì)于不等式中出現(xiàn)的一些形式（比如a+b，ab，a2+b2，1a+1b等）比較適合用不等式思想來(lái)解題，但是要注意不等式思想只能解決一側(cè)的范圍，對(duì)于另一側(cè)需要通過(guò)一些其他條件來(lái)推出.endprint