許奕+馬雄

摘要：高中數(shù)學(xué)課本中的的函數(shù)知識(shí)點(diǎn)一直都是作為一個(gè)十分關(guān)鍵的學(xué)習(xí)模塊而存在，也正是因?yàn)槠渥陨韮?nèi)容的重要性與復(fù)雜性，讓許多學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候都遇到了或多或少的困難.本文就立足于高中函數(shù)在求解值域時(shí)運(yùn)用到的方法，選取一些合適的例題進(jìn)行講解與歸納，希望能夠?yàn)樵撝R(shí)的講解帶來(lái)一定的幫助作用.

關(guān)鍵詞：函數(shù)值域；解題方法；適用類型

一、配方法

該種方法的適用類型為一般能夠利用換元法進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)題目類型.

例1求函數(shù)y=e-x2+4x-3的值域.

解析這道題目能夠?qū)⒐讲鸱殖蔀閥=eu以及u=-x2+4x-3這樣兩個(gè)部分，這樣一看該函數(shù)呈現(xiàn)出一個(gè)復(fù)合函數(shù)應(yīng)有的樣子，接下來(lái)就可以針對(duì)u來(lái)進(jìn)行配方，可以得到：u=-（x-2）2+1，最終可以確定函數(shù)的最值，也就是最大值u=1，得到最值之后就可以按照y=eu來(lái)求解出當(dāng)最終的函數(shù)大于等于零的時(shí)候，函數(shù)y=e-x2+4x-3的值域?yàn)椋簓∈（0，e].

例2求解函數(shù)y=-x2+x+2中的值域范圍.

解析仔細(xì)觀察不難得出該式中存在可以完全平方的式子，因此就可以利用這一點(diǎn)，湊成二次函數(shù)來(lái)達(dá)到求解最值和值域的目的.首先確定該題目中的定義域x∈[-1，2]，接下來(lái)就可以針對(duì)根號(hào)下面的式子-x2+x+2來(lái)將其變?yōu)?（x-12）2+94∈[0， 94]，由此可見(jiàn)，該題目中0≤-x2+x+2≤32，所以不難最終判斷出其值域?yàn)閇0， 32].

如果面對(duì)的式子是一種分式形式的時(shí)候：，并且該分式可以通過(guò)變形調(diào)整為y=aa1x2+b2x+c+b的形式，通常就可以按部就班選擇配方分母部分的方法進(jìn)行值域解析的嘗試.

例3求解y=12x2-3x+1的值域范圍.

解析將題目中的函數(shù)進(jìn)行分母配方，可以得到式子：

y=12 （x-34）2-18，通過(guò)該式，能夠推理得出：

2（x-34）2-18≥-18.

因此，最終可以確定該分式y(tǒng)的最終值域?yàn)椋海?∞，-8）∪（0，+∞）.

二、 判別式法

該種方法通常來(lái)說(shuō)被廣泛應(yīng)用在分式的上下部分均含有二次項(xiàng)的函數(shù)類型，并且能夠通過(guò)一定程度的轉(zhuǎn)換使其成為A（y）x2+B（y）x+C（y）=0的公式形式，這樣一來(lái)更利于尋找最終的值域范圍.

例4求解x2-3x+4x2+3x+4的值域.

解析該式中可以按照判別式法計(jì)算的原理，將原式調(diào)整成為：

（y-1）x2+（3y+3）x+（4y-4）=0.

于是進(jìn)行進(jìn)一步判斷，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)y≠1的時(shí)候上式能夠最終構(gòu)成未知數(shù)為x的一元二次方程式，同時(shí)x取值范圍沒(méi)有受到限制，因此Δ≥0，也就是說(shuō)：

（3y+3）2-4（y-1）（4y-4）=-7y2+50y-7≥0，解得17≤y≤1或1

又當(dāng)y=1時(shí)，存在x=0使解析式成立，所以函數(shù)值域?yàn)閇17，7].

三、反函數(shù)法

該種函數(shù)類型通常為分式中上下部分只具有一次項(xiàng)函數(shù)的時(shí)候才能適用.

例5求解函數(shù)y=2x3x+1的值域.

解析針對(duì)反函數(shù)的解題思路來(lái)看，y=2x3x+1中x定義域應(yīng)該是{x|≠-13}，將其進(jìn)行映射思路的反向?qū)?yīng)能夠確定出一個(gè)新的函數(shù)也就是y=x2-3x，并且能夠確定新的定義域也變?yōu)榱藍(lán)x|x≠23}，因此可以用反向思考的方式確定原函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，23）∪（23，+∞）.

在解這道題的時(shí)候應(yīng)該注意該種方法只能應(yīng)用于函數(shù)形式為y= ax+bcx+d （c≠0）的函數(shù)，因此其本身在應(yīng)用的過(guò)程中就缺乏一定的通用性.

四、換元法

該種方法是現(xiàn)在在解決高中數(shù)學(xué)函數(shù)問(wèn)題時(shí)經(jīng)常會(huì)采用到的一種方法，對(duì)于一些三角函數(shù)在解決值域問(wèn)題的時(shí)候通常就會(huì)采用這種方法.

例6求解函數(shù)y=2x-3+13-4x的值域范圍.

解析在求解這道題的過(guò)程中，單純求解13-4x比較困難，而換元法的思路就是對(duì)其中比較復(fù)雜的問(wèn)題進(jìn)行替換，比如選擇t=13-4x，并且要關(guān)注t的取值為t≥0，因此有：

x=13-t2 4，因此y=13-t22-3+t（t≥0），經(jīng)過(guò)公式有規(guī)律的轉(zhuǎn)換可以得到：

2y=-（t+1）2+8（t≥0），也就是說(shuō)y∈（-∞，4）.

在采用換元法的過(guò)程中必須要對(duì)替代項(xiàng)形成的新定義域范圍有所把握，才能夠保證最終求得的值域是正確的.

此外，對(duì)于三角函數(shù)來(lái)說(shuō)，同樣可以應(yīng)用同種方法.

例7求解函數(shù)y=sinx+cosxsinx+cosx的值域.

該題目中出現(xiàn)了熟悉的三角函數(shù)，就應(yīng)該考慮到一些與三角函數(shù)有關(guān)的規(guī)律，比如sin2x+cos2x=1，（sinx+cosx）2=1+2cosxsinx，這樣一來(lái)就可以將cosxsinx看為一個(gè)整體的符號(hào)，根據(jù)這一原理，可以將cosx+sinx設(shè)為t，并且t=cosx+sinx∈[-2，2]，因此有：t2=1+2sinxcosx.

sinxcosx=t2-12，因此原函數(shù)可化為：

y=t+t2-12 （t∈[-2，2]），也就是2y=（t+1）2-2，y=12 （t+1）2-1.

因?yàn)樯鲜街?，t取值為[-2，2]，

所以原函數(shù)中y∈[-1，12 +2].

五、方程式法

采用該種方法，能夠合理恰當(dāng)?shù)睦貌坏仁降年P(guān)系，來(lái)對(duì)函數(shù)中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行構(gòu)建與梳理，最終求得正確的函數(shù)值域范圍.

例8已知函數(shù)f（x）=4x2-72-x，x∈[0，1]，求該函數(shù)的值域范圍.

解f（x）=4x2-72-x，x∈[0，1]，

2y-xy=4x2-7，x∈[0，1]，

因此，4x2+xy-（7+2y）=0，x∈[0，1]，

由此，為了求得原函數(shù)的值域范圍，也就轉(zhuǎn)換成為了求解4x2+xy-（7+2y）=0在x∈[0，1]內(nèi)有解的函數(shù)的取值集合.

使g（x）=4x2+xy-（7+2y），x∈[0，1]，

所以能夠看出有關(guān)x的方程式4x2+xy-（7+2y）=0在中存在解，且g（0）×g（1）≤0，

或者g（0）>0

g（1）>0

0<-b2a =-y2×4<1

b2-4ac=y2-4×4（7+2y）≥0 .

最終得到值域-72≤y≤3或-4≤y≤-72，-4≤y≤3.

在高中數(shù)學(xué)理解的過(guò)程中，學(xué)生往往會(huì)面臨多種多樣的問(wèn)題，針對(duì)函數(shù)模塊的學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，更需要具備舉一反三，觸類旁通的思維理念.在面臨值域的求解過(guò)程來(lái)說(shuō)，需要根據(jù)所給的已知條件來(lái)判斷選擇什么樣的方法才能夠幫助快速解決題目問(wèn)題，希望本文通過(guò)集中不同類型方法以及相應(yīng)例題的列舉，能夠更好的為函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

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