陳曉明

摘要：高中數(shù)學(xué)教材的抽象性，難度，深度都有較大提高，因此許多學(xué)生變得不能適應(yīng)，數(shù)學(xué)成績直線下降，這樣就更加害怕數(shù)學(xué)，形成惡性循環(huán).作為高中數(shù)學(xué)教師，上好高中數(shù)學(xué)第一課，把學(xué)生順利引進高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的大門至關(guān)重要.筆者通過幾個方面的論述為學(xué)生樹立正確的數(shù)學(xué)觀.

關(guān)鍵詞：價值；數(shù)學(xué)美；數(shù)學(xué)家；故事

在多數(shù)人的眼中，數(shù)學(xué)太難.進入高中以后，因為高中數(shù)學(xué)教材的抽象性，難度，深度相對于初中教材而言都有較大提高，因此許多學(xué)生變得不能適應(yīng)，數(shù)學(xué)成績直線下降，這樣就更加害怕數(shù)學(xué)，形成惡性循環(huán).因此，作為高中數(shù)學(xué)教師，上好高中數(shù)學(xué)第一課，為學(xué)生樹立正確的數(shù)學(xué)觀，把學(xué)生順利引進高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的大門至關(guān)重要.

筆者接下來想通過以下幾個方面的介紹來達到目的.

一、數(shù)學(xué)的價值

數(shù)學(xué)家克萊因告訴我們，數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨特的創(chuàng)作.音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切.

人類歷史上的每一個重大事件的背后都有數(shù)學(xué)的身影：海王星的發(fā)現(xiàn)，哥白尼的日心說，牛頓的萬有引力定律，無線電波的發(fā)現(xiàn)，愛因斯坦的相對論，孟德爾的遺傳學(xué)，巴貝奇的計算機，達爾文的進化論，達芬奇的繪畫等都與數(shù)學(xué)思想有密切聯(lián)系.

目前，數(shù)學(xué)已經(jīng)深入到從自然科學(xué)到社會科學(xué)的各個領(lǐng)域，許多領(lǐng)域已經(jīng)發(fā)展到不懂?dāng)?shù)學(xué)的人望塵莫及的階段.數(shù)學(xué)不僅在科學(xué)推理中具有重要的價值，在科學(xué)研究中起著核心的作用，在工程設(shè)計中必不可少.

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，還因為數(shù)學(xué)具有重要的教育價值.

首先，數(shù)學(xué)的抽象性幫助我們抓住事物的共性和本質(zhì)，同時，數(shù)學(xué)的抽象性使得數(shù)學(xué)問題的解決伴隨著困難.在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，使學(xué)生體驗到挫折和失敗，而這正是砥礪意志打磨心理品質(zhì)的絕好時機.愈挫愈勇，百折不撓的良好心理素質(zhì)不會在溫室中形成.如果學(xué)生在學(xué)校里沒有嘗盡為求解問題而奮斗的喜怒哀樂，那么數(shù)學(xué)教育就在一個重要的地方失敗了.

其次，數(shù)學(xué)賦予知識以邏輯的嚴密性和結(jié)論的可靠性.數(shù)學(xué)的嚴密性和精確性可以使學(xué)生在將來的工作中減少隨意性.英國律師要在大學(xué)中學(xué)習(xí)許多數(shù)學(xué)知識，并不是律師工作要多少數(shù)學(xué)，而是出于這樣一種考慮：經(jīng)過嚴格的數(shù)學(xué)訓(xùn)練可以使人養(yǎng)成一種獨立思考而又客觀公正的辦事風(fēng)格和嚴謹?shù)膶W(xué)術(shù)品格.數(shù)學(xué)教育是培養(yǎng)學(xué)生誠信觀念的重要渠道之一.在數(shù)學(xué)課上形成的誠信觀是持久的，根深蒂固的.

再次，數(shù)學(xué)是思想的體操.進行數(shù)學(xué)推導(dǎo)和演算是鍛煉思維的智力操.這種鍛煉能夠增強思維本領(lǐng)，提高思維能力.

數(shù)學(xué)不僅僅是一種工具，它更是一個人必備的素養(yǎng).它會影響一個人的言行、思維方式等各個方面.一個人，如果他不是以數(shù)學(xué)為終生職業(yè)，那么他的數(shù)學(xué)素養(yǎng)并不只表現(xiàn)在他能解多難的題，解題有多快，數(shù)學(xué)能考多少分，關(guān)鍵在于他是否真正領(lǐng)會了數(shù)學(xué)的思想，數(shù)學(xué)的精神，是否將這些思想融會到他的日常生活和言行中去.

數(shù)學(xué)還有另外的作用.數(shù)學(xué)家狄爾曼說：“數(shù)學(xué)能集中、強化人們的注意力，能夠給人以發(fā)明創(chuàng)造的精細和謹慎的謙虛精神，能夠激發(fā)人們追求真理的勇氣和信心，數(shù)學(xué)更能鍛煉和發(fā)揮人們獨立工作精神”.

數(shù)學(xué)已成為現(xiàn)代人的基本素養(yǎng).

二、數(shù)學(xué)是美的

英國數(shù)學(xué)家羅素（Russell，1872-1970）認為：“數(shù)學(xué)，如果正確地看它，不但擁有真理，而且也具有至高的美，正像雕刻的美，是一種冷而嚴肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或音樂的那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的境地”[1].

長期以來，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大都過于強調(diào)研究方法與技巧，疏于數(shù)學(xué)內(nèi)在美的發(fā)掘，尤其高中教學(xué)以高考為目的，使得師生疲于應(yīng)付，他們大多對數(shù)學(xué)的美視而不見，以致教也顯得枯燥，學(xué)亦顯得乏味，甚至將師生對數(shù)學(xué)的喜愛磨滅掉了.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分發(fā)掘數(shù)學(xué)的美育功能，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中得到美的享受，激發(fā)對數(shù)學(xué)的熱情.

美到處都有，對于我們的眼睛，不是缺少美，而是缺少發(fā)現(xiàn).數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式具有簡單性、統(tǒng)一性、對稱性、奇異性等特征，在我們的數(shù)學(xué)教材中處處都有體現(xiàn)，關(guān)鍵在于我們要去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美.數(shù)學(xué)中精美的圖形，簡潔的語言，有趣的數(shù)學(xué)關(guān)系，和諧統(tǒng)一的簡單式子，比例結(jié)構(gòu)的勻稱協(xié)調(diào)，命題或定理間的關(guān)聯(lián)相似或?qū)ΨQ、奇異，以及一個習(xí)題賞心悅目的解法，自覺感受與數(shù)學(xué)邏輯推導(dǎo)所得結(jié)果的反差所帶來的驚異等都能使學(xué)生獲得美的體驗，喚起學(xué)生美的意識，逐步形成數(shù)學(xué)美的觀念，使美感成為學(xué)生提高學(xué)習(xí)積極性的強烈內(nèi)部誘因.

例1在學(xué)習(xí)拋物線y=ax2+bx+ca≠0時，其形式非常簡單，它可以描述物體作平拋運動的軌跡，它又可以描述等差數(shù)列的前n項和公式c=0，……特別地，b=c=0時，得y=ax2 a≠0，其形式更加簡單，它可以描述為自由落體的規(guī)律h=12gt2，可以用于計算圓的面積S=πr2，又可以表示為愛因斯坦的質(zhì)能方程E=mc2……等等，它的圖像既可以表示為炮彈的運動路線，又可以刻畫浩瀚宇宙中天體的運行軌道……諸多事物的數(shù)形變化規(guī)律竟統(tǒng)一于如此簡單的數(shù)學(xué)式子中，顯示了囊括物質(zhì)世界的偉力和完美性，真是奇妙無比.這樣的境界，這樣的完美，沒有誰不會被之吸引，沒有誰不會產(chǎn)生強烈的學(xué)習(xí)欲望.

例2證明32+5+32-5=1.

證明令x=32+5+32-5.

則x3=-332+5+32-5+4.

即x3+3x-4=0.

而x3+3x-4=x-1x2+x+4.

因x2+x+4的Δ<0無實根，

則x3+3x-4=0僅有一實根1.

又32+5+32-5是實數(shù)，故只能為1.

從本題中可以體會出四種數(shù)學(xué)美感：一是結(jié)論美：兩個較復(fù)雜的根式，其和卻非常單純；二是證明美：證明過程處處令人感到方法的獨特和巧妙；三是形式美：形式具有對稱性，即兩個根式關(guān)于運算符號是對稱的；四是隱含的邏輯關(guān)系美：返觀整個證明過程，即可發(fā)現(xiàn)前三種數(shù)學(xué)美感之間是相互依存的，即本題中的結(jié)論美和證法美都來自于對稱的形式美，本題如果沒有根式關(guān)于運算符號的對稱美，則兩個根式的和就不等于1，證法的獨特和巧妙也不會出現(xiàn).因此，作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)注意挖掘數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)美因，確定數(shù)學(xué)審美對象，endprint

呈現(xiàn)數(shù)學(xué)美特征，讓學(xué)生參與、體驗數(shù)學(xué)審美過程，展示數(shù)學(xué)“過程美”（動態(tài)美），實現(xiàn)主觀與客觀的統(tǒng)一，形成數(shù)學(xué)美感.

例317世紀的雅各·伯努利（1655-1705）對對數(shù)螺線進行了深入研究，發(fā)現(xiàn)這種曲線經(jīng)過多種變換后仍然為對數(shù)螺線.例如對數(shù)螺線的漸屈線和漸伸線都還是對數(shù)螺線.自然對數(shù)螺線的極點至其切線的垂線的軌跡，也還是對數(shù)螺線.以極點為發(fā)光點，經(jīng)對數(shù)螺線反射后得到無數(shù)條反射線，與所有這些反射線相切的曲線，仍然是對數(shù)螺線.對數(shù)螺線放大或縮小后的性質(zhì)絲毫不變，只是位置有所變化而已.雅各·伯努利深為這種數(shù)學(xué)美所眷戀，據(jù)他的遺囑，在他的墓碑上鐫刻上一正一反兩條對數(shù)螺線，并附以頌詞：“雖然變化了，但我依然如故！”.

難怪20世紀最偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特把數(shù)學(xué)比喻為“一座鮮花盛開的園林”，他鼓勵我們?nèi)び奶絼?，去向人們介紹這些奇景秀色，去共同贊美它！

三、數(shù)學(xué)離我們很近

生活中有許多問題的解決，滲透了數(shù)學(xué)思想方法.如司馬光砸缸→逆向思維，曹沖稱象→換元法，道旁李苦→反證法，魯班發(fā)明鋸→特殊與一般……

在自然界，人們發(fā)現(xiàn)到處都有數(shù)學(xué).

蜜蜂蜂房是嚴格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱錐形的底，由三個相同的菱形組成.組成底盤的菱形的鈍角為109度28分，所有的銳角為70度32分，這樣既堅固又省料（最值問題：用料最省，容積最大）.

丹頂鶴總是成群結(jié)隊遷飛，而且排成“人”字形.“人”字形的角度是110度.更精確地計算還表明“人”字形夾角的一半――即每邊與鶴群前進方向的夾角為54度44分8秒！而金剛石結(jié)晶體的角度正好也是54度44分8秒！是巧合還是某種大自然的“默契”？

壁虎在捕捉昆蟲時，總是沿著一條數(shù)學(xué)上的螺旋曲線奔跑的.

蜘蛛結(jié)的“八卦”形網(wǎng)，是既復(fù)雜又美麗的八角形幾何圖案，人們即使用直尺和圓規(guī)也很難畫出像蜘蛛網(wǎng)那樣勻稱的圖案.

冬天，貓睡覺時總是把身體抱成一個球形，這其間也有數(shù)學(xué)，因為球形使身體的表面積最小，從而散發(fā)的熱量也最少.

真正的數(shù)學(xué)“天才”是珊瑚蟲.珊瑚蟲在自己的身上記下“日歷”，它們每年在自己的體壁上“刻畫”出365條斑紋，顯然是一天“畫”一條.奇怪的是，古生物學(xué)家發(fā)現(xiàn)3億5千萬年前的珊瑚蟲每年“畫”出400幅“水彩畫”.天文學(xué)家告訴我們，當(dāng)時地球一天僅219小時，一年不是365天，而是400天.

在自然界，樹的一枝上各葉片按螺旋形上升的距離剛好按黃金比排列，因為這種排列葉片的受光效果最好.從而可啟發(fā)建筑師設(shè)計出使房間接受陽光最充足的新穎高樓大廈.

氣象學(xué)家洛倫茲提出一篇論文，名叫《一只蝴蝶拍一下翅膀會不會在德克薩斯州引起龍卷風(fēng)？》，講述了南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中一只蝴蝶偶爾扇動了幾下翅膀，所引起的微弱氣流對地球大氣的影響可能隨時間增長而不是減弱，甚至可能在兩周后在美國德克薩斯州引起一場龍卷風(fēng).他論述某系統(tǒng)如果初期條件差一點點，結(jié)果會很不穩(wěn)定，因而提出這個驚人的問題.他把這種現(xiàn)象稱“蝴蝶效應(yīng)”.“蝴蝶效應(yīng)”是現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支“控制論”和“混沌理論”等研究的對象.

四、數(shù)學(xué)家的故事

數(shù)學(xué)家并不是一群躲在象牙塔內(nèi)冥思苦想、不食人間煙火的怪人，他們除了智力過人以外，也和我們一樣，有著世俗的欲望和追求，經(jīng)歷著常人的喜悅和苦惱.

數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎“菲爾茲獎”鐫刻在獎?wù)律系母裱詳S地有聲：“超越人類極限，做宇宙主人”.獎?wù)抡嫔舷ＥD數(shù)學(xué)家阿基米德的頭像讓人想起了他的名言：“只要給我一個支點，我就可以撬動地球”.公元前287年，阿基米德出生在意大利半島南端西西里島的敘拉古.在父親的影響下，他從小熱愛學(xué)習(xí)，善于思考，喜歡辯論.他用數(shù)學(xué)研究力學(xué)和其他實際問題.保護敘拉古戰(zhàn)役中的機械巨手和投石機等就是最生動地例子，有力地證明了“知識就是力量”的真理.在亞歷山大城求學(xué)期間，他經(jīng)常到尼羅河畔散步，在久旱不雨的季節(jié)，他看到農(nóng)人吃力地一桶一桶地把水從尼羅河提上來澆地，他便創(chuàng)造了一種螺旋提水器，通過螺桿的旋轉(zhuǎn)把水從河里取上來，省了農(nóng)人很大力氣.它不僅沿用到今天，而且也是當(dāng)代用于水中和空中的一切螺旋推進器的原始雛形.有一次敘拉古國王對杠桿的威力表示懷疑，他要求阿基米德移動載滿重物和乘客的一般新三桅船.阿基米德叫工匠在船的前后左右安裝了一套設(shè)計精巧的滑車和杠桿.他讓國王牽動一根繩子，大船居然慢慢地滑到海中.群眾歡呼雀躍，國王也高興異常，當(dāng)眾宣布：“從現(xiàn)在起，我要求大家，無論阿基米德說什么，都要相信他！”.

高斯是舉世公認的最偉大的科學(xué)家之一.高斯于1777年4月30日生于德國不倫瑞克一個貧困的農(nóng)民家庭，在他的少年時代對他影響最大的是他的舅舅，一個自學(xué)成才的棉緞工人.因為他經(jīng)常教給幼年高斯一些知識，這對于少年高斯的成長起到了很大的作用.由于家庭生活貧困，高斯的父親靠打短工維持家庭生計，并不打算讓高斯上學(xué)以節(jié)省家庭開支.有一件事打動了父親讓兒子得以上學(xué).一天晚上，勞動一天的父親計算薪金賬目，年少的高斯在爸爸身邊玩耍，爸爸算了很長時間總算才完，不料小高斯在一邊說：爸爸算錯了，結(jié)果應(yīng)該是多少多少.核對一遍后，果然小高斯算得對，父親異常驚喜，決定送七歲的高斯去上學(xué).正十七邊形的尺規(guī)作圖法這一世界懸而未決的問題在1796年被年僅19歲的格丁根大學(xué)一年級學(xué)生高斯解決了.人們?yōu)榱思o念這個偉大的發(fā)現(xiàn)，高斯去世后，人們在高斯紀念碑上刻上一個正十七邊形.

1707年4月15日，歐拉誕生于瑞士巴塞爾城近郊.1766年，59歲的歐拉僅有的左眼失明（歐拉的右眼早在1735年已失明），因而他生活的最后17年是在全盲中度過的，盡管如此，他在這些年的成果不亞于以前，歐拉憑著超人的才智、淵博的知識、驚人的記憶力，堅持科學(xué)研究，用口授給子女記錄的辦法又發(fā)表專著多部，論文數(shù)百篇.1783年9月18日，歐拉一邊給小孫女講故事，一邊進行著有關(guān)天王星軌道的數(shù)學(xué)計算，突然，手中的煙斗落地了，76歲的歐拉安祥地睡了，再也沒有醒來，正如法國數(shù)學(xué)家康多塞（Condorcet）所說：“他停止了計算，也停止了生命”.歐拉一生命運多舛，他結(jié)過兩次婚，先后有13個孩子，其中有8個夭折，歐拉常常一邊抱著嬰兒一邊寫論文.1771年圣彼得堡的一場大火，將歐拉的藏書及部分研究成果化為灰燼，但歐拉在遭受各種巨大不幸的逆境中，仍堅忍不拔地奮斗拼搏，直到生命的最后一刻.歐拉在科學(xué)事業(yè)上的卓越貢獻以及他的高尚品質(zhì)，為世人所敬仰.在他晚年的時候，歐洲幾乎所有的數(shù)學(xué)家都尊他為老師，人們還把他稱為“數(shù)學(xué)界的莎士比亞”，不少數(shù)學(xué)史專家把歐拉與阿基米德、牛頓和高斯并列為有史以來最偉大的四位數(shù)學(xué)家.endprint

借助這些榜樣的力量激發(fā)我們同學(xué)學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的斗志.

五、耐人尋味的數(shù)學(xué)史

今天的所有數(shù)學(xué)原理是人類長期社會實踐與研究的結(jié)晶，里面包括了許許多多人的貢獻.通過把數(shù)學(xué)史的一些重要內(nèi)容與高中數(shù)學(xué)相關(guān)知識學(xué)習(xí)聯(lián)系在一起，可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、加深他們對于數(shù)學(xué)基本概念、基本思想的理解與掌握，同時可以對他們的人格進行培養(yǎng).比如數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，一般人都會碰到一時解不開的題目.這個時候，通過講述數(shù)學(xué)史上成功人士的艱苦奮斗歷程，就可以消除學(xué)生的挫折感.讓他們知道，原來著名的數(shù)學(xué)家一樣有頭疼有解不開的題目.這樣的目的是想告訴他們，學(xué)習(xí)上的挫折是學(xué)習(xí)過程的一種必然伴隨物，有困難并不可怕，可怕的是為困難所嚇倒.教師在課堂教學(xué)中可隨時穿插講述數(shù)學(xué)史，例如在學(xué)習(xí)“對數(shù)”時，就把對數(shù)是怎樣發(fā)明以及它在數(shù)學(xué)史的地位向?qū)W生加以生動地講述；介紹無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，可告訴學(xué)生由此引發(fā)的世界第一次數(shù)學(xué)危機，以及希帕索斯為之付出生命的代價的可歌可泣的故事，同時也說明“紙是包不住火的”，真理終究是真理；當(dāng)學(xué)生為三等分角而苦惱時，可介紹世界幾何三大作圖難題；學(xué)習(xí)圓錐曲線時，可介紹古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的圓錐曲線理論在沉睡1800多年后被開普勒運用發(fā)現(xiàn)行星運動三大定律；學(xué)習(xí)數(shù)列，介紹楊輝三角以及我國數(shù)學(xué)沉浮的容辱史，激發(fā)同學(xué)們愛國熱情；學(xué)習(xí)斐波拉契數(shù)列，介紹它竟然與黃金分割，洛書有著千絲萬縷的聯(lián)系……

結(jié)束語

菲爾茲獎得主陶哲軒在《解題·成長·快樂》序言中引用古希臘哲學(xué)家普羅克洛斯的話：“這，就是數(shù)學(xué)：她提醒你靈魂有不可見的形態(tài)；她賦予自己的發(fā)現(xiàn)以生命；她喚醒悟性，澄清思維；她照亮了我們內(nèi)心的思想；她滌盡我們有生以來的蒙昧與無知……” [2].

我國著名數(shù)學(xué)教育家徐利治教授說：“為什么搞數(shù)學(xué)工作能獲得快樂、健康和長壽呢？這是因為數(shù)學(xué)是一門很美的科學(xué)，它既有優(yōu)美的內(nèi)容建構(gòu)，又有美妙的思想和應(yīng)用，而且科研成果往往有希望獲得哈代（GH.Hardy）所說的某種‘永恒價值；因此從事數(shù)學(xué)工作不僅能愉快地幫助培養(yǎng)人才，而且經(jīng)常有機會能從成果收獲中得到精神上的滿足、樂趣與欣慰.而這些正好是任何長壽者人生中所需要的內(nèi)部精神條件”[3].

最后，筆者想說，只有走近數(shù)學(xué)，才能喜歡數(shù)學(xué).只有喜歡數(shù)學(xué)，才能走進數(shù)學(xué)，你才會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的世界豐富多彩，奧妙無窮！

數(shù)學(xué)，美麗又迷人！

參考文獻：

[1]易南軒.數(shù)學(xué)美拾趣[M].北京：科學(xué)出版社，2004：1.

[2]陶哲軒.解題·成長·快樂——陶哲軒教你學(xué)數(shù)學(xué)[M].北京：北京大學(xué)出版社，2009：6.

[3]徐利治.數(shù)學(xué)美學(xué)與文學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2006（5）：5.endprint