張郡麟

【摘要】 圓錐曲線的第二定義體現了“形”的統(tǒng)一，第一定義則體現了“質”的區(qū)別，兩種定義不僅在解題中應用廣泛，而且具有很大的靈活性。圓錐曲線的定義反映了它們的基本特征，理解定義是掌握其性質的基礎。

【關鍵詞】 圓錐曲線;第一定義;第二定義

定義是揭示事物本質屬性的思想形式，面對一個數學對象，回顧它的定義，常常是解決問題的銳利武器。圓錐曲線的第二定義體現了“形”的統(tǒng)一，第一定義則體現了“質”的區(qū)別，兩種定義不僅在解題中應用廣泛，而且具有很大的靈活性。第一種定義和第二種定義的靈活轉換常常是打開解析幾何問題思路的鑰匙，在題目中挖掘這些隱含信息有助于解題。下面我們一起來看看圓錐“定義”在求解圓錐曲線問題中有哪些常規(guī)應用。

[例題1]在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC長為4√2，一個橢圓以C為其中一個焦點，另一個焦點在線段AB上，且橢圓經過A，B兩點，求該橢圓的標準方程。

分析：直覺猜想并解題，找出題目中特殊的數值和題目間的內在聯系，點F即焦點，2恰好是橢圓離心率的倒數，然后利用橢圓的第二定義（圓錐曲線的統(tǒng)一定義），即橢圓上的任何一點到焦點的距離與該點到同側準線的距離之比是離心率e，從而將所求的PA+2PF轉化成點P到A點的距離與到右準線的距離之和，數形結合后發(fā)現最小值即為點A到右準線的距離，而P點的縱坐標將與A點縱坐標一致，代入橢圓方程即可求出P點坐標?，F在要求PA+PF的最大值，那我們可以怎么轉化呢？首先利用橢圓的定義轉化為距離之差，PA +PF=PA+（2a-PFl），其中Fi為橢圓左焦點，然后將PA+（2a-PFl）寫成2a+（PA-PF），最后利用數形結合法“三點共線”來確定所求P點即為AF，的延長線與橢圓的交點。

我們在解有關圓錐曲線的問題時，如果題目涉及焦點、準線方程、離心率、圓錐曲線上的點這四個條件中的三個，我們一般就要聯想到圓錐曲線定義，有時甚至只要知道其中的兩個條件，也可以聯想到圓錐曲線定義。靈活巧妙地運用圓錐曲線的定義，將會帶給我們意想不到的方便和簡單。圓錐曲線的定義反映了它們的基本特征，理解定義是掌握其性質的基礎。因此，對于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細節(jié)部分，比如橢圓的定義中要求|PFl|+|PF2|>|FIF2|，雙曲線的定義中要求||PF1|-|PF2||<|F1F2|。這樣，在解題過程中才不會步入歧途。