趙文靜

摘要：描述了數(shù)學(xué)語言與自然語言的聯(lián)系與區(qū)別，闡述其概念、特點、發(fā)展階段，并探討了數(shù)學(xué)語言與數(shù)學(xué)思維之間的聯(lián)系。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)語言;數(shù)學(xué)思維

中圖分類號：G712 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094-（2018）11C-0016-03

一、自然語言與數(shù)學(xué)語言的聯(lián)系與區(qū)別

自然語言（以下簡稱語言）是人類最重要的交際工具。它同思維有密切的聯(lián)系，是思維的工具，是思想的直接現(xiàn)實，是人區(qū)別于其他動物的本質(zhì)特征之一。任何一門學(xué)科都是建立在自然語言的基礎(chǔ)之上的。我們的自然語言之中也包括了一部分非形式的數(shù)學(xué)語言，如“圓”“數(shù)”“加”“0”“1”“等于”“小于”“元素”“無限”等等，有的可以直接運用于我們的現(xiàn)實生活中，在自然語言中也包含了如何運用這些術(shù)語的規(guī)則。譬如，兒童在沒有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中有關(guān)概念時，他就可能知道：“天上有1個太陽”“太陽和月亮都是圓的”……其中“1”“圓”都是屬于數(shù)學(xué)語言的范疇。通過運用這些術(shù)語，即可將世界上的事物和對象進行分類和量化。然而，在解釋這些非形式的數(shù)學(xué)術(shù)語時，利用的是自然語言的語義。自然語言的規(guī)則和約定確定了這些術(shù)語間的內(nèi)在關(guān)系，如“1小于2”以及“無限集合含有兩個以上的元素”等。如果沒有自然語言中對“1”“小于”“2”“無限”“集合”“元素”等詞的解釋和規(guī)定，就無法理解以上兩句話。

這些非形式的數(shù)學(xué)語言為數(shù)學(xué)思維提供了必要的概念框架和理論基礎(chǔ)，為數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了可能。在其基礎(chǔ)上又發(fā)展了數(shù)學(xué)特有的形式語言（如微積分、矩陣、向量等），從而構(gòu)建起整個數(shù)學(xué)知識的藍圖。相應(yīng)地，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語言時，也是按照這個程序，以自然語言中的這些非形式的數(shù)學(xué)語言為基礎(chǔ)，逐漸建立起自己獨特的數(shù)學(xué)語言。根據(jù)語言學(xué)的研究可以知道，自然語言具有符號性和社會性兩大特點。但是常常又會有“數(shù)學(xué)語言叫作符號語言”這一說法。[1]這兩處所指的“符號”看似相同，其實含義并不相同。自然語言中提到的符號是廣義上的符號，包括字和詞：由音和義結(jié)合成最小的單位語素（字），由語素生成詞，詞是語言運用最基本的單位。而數(shù)學(xué)中的符號僅僅指數(shù)字、字母、運算符號或關(guān)系符號。數(shù)學(xué)符號很少能夠進行組合，一般只有一個含義;而語言符號則不同，可以是多義的并進行相同組合。將這兩者區(qū)別，對于理解數(shù)學(xué)中不同的語言劃分是大有裨益的。例如，可將數(shù)學(xué)語言按其外表特征劃分為文字語言、符號語言、圖形語言及圖表語言等等。這里就將文字符號與數(shù)學(xué)符號這兩種符號區(qū)別開來了。

從自然語言與數(shù)學(xué)語言的關(guān)系可以看出，在自然語言中包含著部分數(shù)學(xué)語言，但是兩者又有不同之處。自然語言與數(shù)學(xué)語言有一個共同的子集——部分非形式的數(shù)學(xué)語言。在人們?yōu)榱藴蚀_、清晰和簡便地表述數(shù)學(xué)理論的需要下，數(shù)學(xué)語言產(chǎn)生和發(fā)展了。它是在以下三個方面對自然語言改進的結(jié)果：防止煩瑣，克服同音現(xiàn)象（一詞多義），擴充詞能達意的可能性。狹義地說，數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)知識的載體，是進行數(shù)學(xué)思考和交流的工具，是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式，是數(shù)學(xué)思維的最佳載體。

二、數(shù)學(xué)語言的概念、特點及重要發(fā)展階段

數(shù)學(xué)語言是隨著數(shù)學(xué)學(xué)科的誕生而產(chǎn)生的。數(shù)學(xué)知識體系是用數(shù)學(xué)語言表達的。對于數(shù)學(xué)語言這一概念，目前并沒有統(tǒng)一定義。有學(xué)者認為，數(shù)學(xué)語言是表達數(shù)學(xué)對象之間的關(guān)系和形式的符號系統(tǒng)。有的學(xué)者認為，數(shù)學(xué)語言，狹義地說是指數(shù)學(xué)符號語言;廣義地說，一切用以反映數(shù)量關(guān)系和空間形式的語言都是數(shù)學(xué)語言，包括借用的部分自然語言（含口頭的、文字的日常用語）、符號語言和圖像語言。 有的學(xué)者認為，數(shù)學(xué)語言就是簡化自然語言，抽象出來的體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維特點的特殊語言。[2]盡管這些定義各有側(cè)重，但都在一定程度上反映了數(shù)學(xué)語言的實質(zhì)是描述數(shù)學(xué)這一知識體系的。它是建立在數(shù)學(xué)這門學(xué)科的基礎(chǔ)之上的。數(shù)學(xué)語言并不等于簡化了的自然語言，而是自然語言的一種衍生物。數(shù)學(xué)語言是一種人工語言，或符號語言、形式語言，它的符號、規(guī)則，都是人工加以規(guī)定的，是先有規(guī)則，后有語句的。[3]例如，數(shù)理邏輯中的命題演算是一個形式系統(tǒng)，它先規(guī)定初始符號和形式規(guī)則，然后引出一系列命題。它是在自然語言的基礎(chǔ)之上建立起來的一種人工語言。數(shù)學(xué)語言主要有以下幾個特點：簡潔性、精確性、抽象性和嚴謹性。

1.簡潔性。簡潔和精煉是數(shù)學(xué)語言顯著特點之一，人們總是試圖用較少的詞匯來刻畫所描述的數(shù)學(xué)對象。例如7個12相乘，我們固然可以寫成12×12×12×12×12×12×12，但是熟練運用數(shù)學(xué)語言的人會將其寫成127，這種表達方法就簡潔得多，而且明白無誤。簡潔、精煉的數(shù)學(xué)語言有利于我們對數(shù)學(xué)事實進行歸納和概括，有利于我們進行邏輯推理。它不僅是普通語言無法替代的，而且構(gòu)成了科學(xué)語言的基礎(chǔ)。越來越多的學(xué)科用數(shù)學(xué)語言表述自己，這不僅是因為數(shù)學(xué)語言的簡潔，而且是因為數(shù)學(xué)語言的精煉及其思想的普遍性與深刻性。

2.精確性。自然語言的語音、詞匯和語法都會隨著語言環(huán)境的不同而有多種解釋。在數(shù)學(xué)語言中，每一個符號，每一個由符號組成的式子，每一個概念和命題都只有一個意思。雖然它們的表達方式有可能不同，但其含義是一致的，沒有任何歧義。比如，點和直線的位置關(guān)系“點在直線l上”，可以說成“點A在直線l上”“點A屬于l”“直線l過點A”等等。它們都可以表示為圖1，僅僅表示了點A與直線l的一種位置關(guān)系，而沒有其他含義。精確的數(shù)學(xué)語言無疑是思維得以順利進行的前提條件。語言是思維的“外殼”，思維是語言的“內(nèi)涵”，兩者相依相存。從這一角度來看，數(shù)學(xué)語言的精確性體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的周密性。

3.抽象性。數(shù)學(xué)的對象是量與空間形式，而量與空間形式本身就不是具體的某個事物，是事物的數(shù)量與空間關(guān)系的抽象。數(shù)學(xué)發(fā)展到一定階段時，用形式化語言來表達這一對象，使其成為形式化、邏輯化的思維材料。反過來，這種抽象的語言使得數(shù)學(xué)抽象——舍棄了具體對象及現(xiàn)實關(guān)系中的特殊內(nèi)容，而單單保留它們“純粹”的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)關(guān)系。數(shù)學(xué)的抽象性體現(xiàn)在概念的抽象性，數(shù)學(xué)語言的抽象性，解決問題方法的抽象性等諸多方面。也正是由于數(shù)學(xué)語言有抽象性這個特點，使它具有通用性，從而成為其他學(xué)科的通用語言。

4.嚴謹性。數(shù)學(xué)語言具有嚴謹性，主要體現(xiàn)在它具有嚴謹?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu)。無論用數(shù)學(xué)語言來描述數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題，還是用數(shù)學(xué)語言描述數(shù)學(xué)推理或數(shù)學(xué)問題，無不具有嚴謹?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu)。這是數(shù)學(xué)這門基礎(chǔ)學(xué)科嚴謹性的保證，也是人們進行嚴謹?shù)倪壿嬐评?、論證的保證。反之，正是數(shù)學(xué)這門學(xué)科的特點，要求數(shù)學(xué)語言具有嚴謹?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu)。如關(guān)于極限的定義，極限的思想可追溯到古代，但直到牛頓時代，人們還沒有建立嚴格的極限定義。那時牛頓所運用的極限概念還只是直觀性的語言描述。以數(shù)列為例，關(guān)于數(shù)列{an}，如果當n無限增大時，an無限地接近于常數(shù)A，那么就說{an}以A為極限。

人們很容易理解這種描述性語言，但它沒有定量給出兩個“無限過程”之間的聯(lián)系，不能作為科學(xué)論證的邏輯基礎(chǔ)，正因為當時缺少嚴格的極限定義，微積分理論才受到人們的懷疑和攻擊。直到柯西與魏爾斯特拉斯建立了嚴格的極限定義，才定量、具體地刻畫了兩個“無限過程”之間的聯(lián)系，至今仍可使用。

數(shù)學(xué)語言發(fā)展的重要階段主要有：①建立自然數(shù)和分數(shù)的符號體系，特別是引入進位計數(shù)制和0這個特殊記號。由此人類可以簡便地寫出算術(shù)運算的算法。②代數(shù)符號的發(fā)展，用代數(shù)符號可以明顯地表示出代數(shù)變形與解方程的法則。③與微積分學(xué)的產(chǎn)生有關(guān)的符號語言的發(fā)展。（用f'（x）與表示導(dǎo)數(shù)，用表示積分等等）④集合論與邏輯語言在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的普遍使用。⑤電子計算機的出現(xiàn)大大影響了數(shù)學(xué)語言的發(fā)展——數(shù)學(xué)語言應(yīng)該便于在計算機中輸入。

“數(shù)學(xué)的歷史在一定意義上就可說是概念發(fā)展與演變的歷史”，而概念又是與語言分不開的。從以上幾個階段可以看出，語言的發(fā)展尤其是符號的發(fā)展對數(shù)學(xué)這門學(xué)科的發(fā)展起到了不可估量的推動作用。萊布尼茲曾經(jīng)寫道：“記號是為了便于發(fā)現(xiàn)，它多半是在記號簡潔地表示并能反映事物的內(nèi)在本質(zhì)的時候，這時思維活動以驚人的方式得到簡化”。正是由于思維方式的簡化，人們才有可能進一步深化數(shù)學(xué)思想與方法。事實上，按照不少數(shù)學(xué)教育學(xué)家的意見，對于某些數(shù)學(xué)語言的掌握就可被看成數(shù)學(xué)水平提高的一個主要標志。例如，對代數(shù)語言的掌握就標志著由小學(xué)數(shù)學(xué)水平到中學(xué)數(shù)學(xué)水平的過渡;對極限語言（ε-δ語言）的掌握則標志著由初等數(shù)學(xué)水平上升到了變量數(shù)學(xué)的水平。

三、數(shù)學(xué)語言與數(shù)學(xué)思維的聯(lián)系

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，無論是聽課、回答問題、討論、閱讀數(shù)學(xué)書籍，還是解決問題，都是以數(shù)學(xué)語言作為中介的，數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)方法的載體。許多學(xué)生因為運用數(shù)學(xué)語言的能力較差，造成了閱讀、理解、思維和表達上的障礙，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的困難。馬克思認為，語言是思維本身的要素……是思想的直接現(xiàn)實。數(shù)學(xué)語言同樣與數(shù)學(xué)思維有著密切的聯(lián)系，它不僅是數(shù)學(xué)思維的工具和載體，還可以促進、深化數(shù)學(xué)思維;反之，數(shù)學(xué)思維又可以創(chuàng)造數(shù)學(xué)語言。數(shù)學(xué)思維的特性之一是具有獨特的形式化的符號語言。這種形式化的符號語言正是數(shù)學(xué)語言的特征之一。正是由于數(shù)學(xué)語言的嚴謹性和簡潔性保證了數(shù)學(xué)思維的簡潔性，數(shù)學(xué)家們才可以更加方便、流暢地表達和研究數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，認識數(shù)學(xué)世界的奧秘，并把數(shù)學(xué)成果應(yīng)用于人類各種實際問題。

國際教育署和國際教育學(xué)會聯(lián)合出版的教育實踐系列叢書中的《有效的數(shù)學(xué)教學(xué)》提出了數(shù)學(xué)有效教學(xué)的十條標準之一是數(shù)學(xué)語言，認為教師應(yīng)該把數(shù)學(xué)語言和日常語言聯(lián)系起來，通過直接講解或示范的方式幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語言，培養(yǎng)學(xué)生理解和使用數(shù)學(xué)語言，能夠區(qū)別數(shù)學(xué)語言和日常語言中的不同含義。無疑，這也是我們目前數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)中需要做到的。

參考文獻：

[1] 孫維張，劉富華.語言學(xué)概論[M].長春：吉林大學(xué)出版社，1991.

[2] 張乃達.數(shù)學(xué)思維教育學(xué)[M].南京：江蘇教育出版社，1990.

[3] 鄭毓信.數(shù)學(xué)方法論[M].桂林：廣西教育出版社，1999.

責任編輯：許潔

Perceiving the Language Culture in Mathematics

ZHAO Wen-jing

（Jiangsu Phoenix Education Press， Nanjing 210009， Jiangsu Province）

Abstract： This paper describes the connection and differences between mathematical language and natural language， expounds the concepts， characteristics and development stages， and discusses the connection between mathematical language and mathematical thinking.

Key words： mathematical language; mathematical thinking