方明凱

【摘要】 二元變量不等式的證明問題在高考?jí)狠S題中是常見的，這類問題集中考查了學(xué)生的函數(shù)式變形、數(shù)形結(jié)合、數(shù)據(jù)分析與處理等能力，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)的綜合能力要求比較高.現(xiàn)就這類問題的解決做探討，以饗讀者.

【關(guān)鍵詞】 函數(shù);不等式;探討

二元變量不等式的特點(diǎn)是兩個(gè)元的大小關(guān)系已知，在滿足這一前提下，二元的取值是自由的，相互之間沒有約束，其解決一般有兩種方法.方法一：經(jīng)代數(shù)式變形，轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量的函數(shù)形式.這種處理方法對(duì)學(xué)生代數(shù)式處理能力要求比較高;方法二：把其中一個(gè)“元”看作已知數(shù)，直接求導(dǎo)，通過單調(diào)性判斷解題.從實(shí)際情況看，這一方法似乎學(xué)生更好掌握.

例1 ??已知：a，b為實(shí)數(shù)，且b>a>e，其中e為自然對(duì)數(shù)的底，求證：ab>ba.

證法一 ?要證ab>ba，只要證blna>alnb（e

即證 lna a > lnb b ，設(shè)f（x）= lnx x （x>e），

則f′（x）= 1-lnx x2 <0，

∴函數(shù)f（x）在（e，+∞）上是減函數(shù).

又∵e

∴f（a）>f（b），即 lna a > lnb b ，∴ab>ba.

證法二 ?∵b>a>e，

∴要證ab>ba，只要證blna>alnb，

設(shè)f（x）=xlna-alnx（x>e），則

f′（x）=lna- a x .

∵x>a>e，∴l(xiāng)na>1，且 a x <1，∴f′（x）>0.

∴函數(shù)f（x）=xlna-alnx在（e，+∞）上是增函數(shù)，

∴f（b）>f（a）=alna-alna=0，即blna-alnb>0，

∴blna>alnb，∴ab>ba.

上述方法在解決此類高考?jí)狠S題中，也是屢見不鮮的.

例2 ??（2008年全國卷）已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=xlnx.

（ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值;

（ⅱ）設(shè)0<a<b，證明0<g（a）+g（b）-2g? a+b 2? <（b-a）ln2.

解 ?（?。裕?/p>

（ⅱ）證法一：∵a-b<0，

故g（a）+g（b）-2g? a+b 2? =alna+blnb-（a+b）ln a+b 2 = aln 2a a+b +bln 2b a+b .

由（?。┑慕Y(jié)論知ln（1+x）-x<0（x>-1，且x≠0），

由題設(shè)0<a<b，得 b-a 2a >0，a-b<0，-b

因此，ln 2a a+b =-ln 1+ b-a 2a? >- b-a 2a ，ln 2b a+b = -ln 1+ a-b 2b? > - a-b 2b ，

所以aln 2a a+b +bln 2b a+b >- b-a 2 - a-b 2 =0.

又 2a a+b < a+b 2b ，所以aln 2a a+b +bln 2b a+b

（使用了放縮法，放縮的目的要明確.）

綜上0<g（a）+g（b）-2g? a+b 2? <（b-a）ln2.

（ⅱ）證法二：把其中一元看作已知數(shù)，構(gòu)建輔助函數(shù).

解：構(gòu)造輔助函數(shù)：

設(shè)f（x）=g（a）+g（x）-2g? a+x 2? ，g（x）=f（x）-（x-a）ln2（x>a），

則g（x）=lnx-ln a+x 2 -ln2=lnx-ln（a+x）.

當(dāng)x>a時(shí)，g（x）<0，

因此，G（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，

因?yàn)镚（a）=0，b>a，所以G（b）<0.

即g（a）+g（b）-2g? a+b 2? <（b-a）ln2.

說明：1.因?yàn)?<a<b，當(dāng)我們把a(bǔ)作為已知數(shù)，b作為函數(shù)自變量時(shí)，要明確自變量的取值范圍是x>a.

2.對(duì)證明形如f（x）≥g（x）（a≤x≤b）的不等式，一般構(gòu)造形如F（x）=f（x）-g（x）的函數(shù).

【參考文獻(xiàn)】

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