賀方超 鄭列 聞卉

【摘要】 研究性教學模式中課堂教學固然十分重要，但是期末考試中試題設(shè)計也是一個關(guān)鍵環(huán)節(jié)，它是研究性教學模式不可或缺的組成部分.本文首先論述了研究性教學模式下試題設(shè)計的必要性，接著就“概率統(tǒng)計”課程期末考試試題的設(shè)計給出了四個實例，逐個分析題目的設(shè)計意圖和特點，最后對研究性試題設(shè)計做了總結(jié)和進一步地展望.題目素材來源于日常生活，既鍛煉了學生學習和運用知識的能力，也增強了學生進行知識創(chuàng)新的興趣.

【關(guān)鍵詞】 知識創(chuàng)新;試題設(shè)計;研究性教學;素質(zhì)教育

一、研究性教學模式下試題設(shè)計的必要性

在高等教育中，研究性教學是指教師通過研究性的方式提出、理解和解決問題，并在此過程中培養(yǎng)學生與專業(yè)所學知識相關(guān)的學習能力和創(chuàng)造能力.高校實行多年的素質(zhì)教育所強調(diào)的核心素質(zhì)是創(chuàng)新素質(zhì)，創(chuàng)新素質(zhì)的培養(yǎng)使得傳統(tǒng)講授式教學方式向研究性教學方式的轉(zhuǎn)變成為必然趨勢.為此，基于工科院校人才培養(yǎng)的特點，筆者所在學校出臺了“721”人才培養(yǎng)模式改革指導方案，該方案明確提出：研究性教學方式是重要的教學改革方向.

近幾年來，在筆者所在學校工科數(shù)學研究性教學模式的探索過程中，我們發(fā)現(xiàn)課堂上研究性教學的開展固然十分重要，其實考試環(huán)節(jié)中研究性試題的設(shè)計也是很有必要的.考試是對課堂教學效果的考查和檢驗，傳統(tǒng)的公式記憶、歷年試題的題型翻新等考查模式不僅不能滿足研究性教學模式的需要，而且長久下去會顯得教學與考查相互割裂開來，讓學生對研究性教學模式產(chǎn)生懷疑，最后重新回到“填鴨式”講授教學方式的老路上了.相反地，如果在考試試題中盡量考查研究性類型的試題，既可以提高學生的知識應用和創(chuàng)新能力，還可以使得教、學和考相得益彰.

本文就工科數(shù)學中“概率統(tǒng)計”課程的研究性試題設(shè)計做出一些探討.

二、“概率統(tǒng)計”試題設(shè)計探討

（一）貝葉斯公式的應用

貝葉斯公式最早由英國學者托馬斯·貝葉斯發(fā)現(xiàn)，后來得到法國數(shù)學家拉普拉斯進一步地總結(jié)和發(fā)展，逐漸被人們重視和應用.貝葉斯公式主要是基于已有的經(jīng)驗數(shù)據(jù)，對當前事件的結(jié)果尋找發(fā)生的原因，它在疾病診斷、責任認定、藥劑檢測和質(zhì)量控制等方面有著廣泛的應用.

例1 ??為了調(diào)查百姓生活的幸福感，2012年中央電視臺《新聞聯(lián)播》欄目連續(xù)多期播出了對群眾“你幸福嗎？”的隨機采訪.據(jù)統(tǒng)計，被采訪的人中未成年人、中青年和老年人所占的比例分別為0.35，0.25和0.4;而未成年人，中青年和老年人回答“我幸?！钡谋壤謩e為0.6，0.4和0.8.試問：當記者隨機電話采訪某人得到“我幸福”回答時，該受訪者可能是未成年人、中青年和老年人的概率分別為多少？

分析 ?這道期末考試題目取材于2012年10月份中央電視臺對百姓生活幸福感的連續(xù)調(diào)查采訪.該采訪既有現(xiàn)場任意采訪，也有電話隨機采訪.題目設(shè)計基于現(xiàn)場采訪的經(jīng)驗數(shù)據(jù)，希望學生能夠利用貝葉斯公式推導出某次電話采訪對象的年齡層次的可能情況.設(shè)計該題目的目的是考查學生對公式的掌握和理解，同時讓他們學會創(chuàng)造性地解決日常生活中的問題.

解 ?設(shè)A 1，A 2，A 3分別表示被采訪者為未成年人、中青年和老年人，以B表示被采訪者回答“我幸福”.根據(jù)題意可得

P（A 1）=0.35，P（A 2）=0.25，P（A 3）=0.4，

P（B|A 1）=0.6，P（B|A 2）=0.4，P（B|A 3）=0.8.

由貝葉斯公式可得

P（A 1|B）= P（B|A 1）P（A 1） ∑ 3 i=1 P（B|A i）P（A i）

= 0.6×0.35 0.6×0.35+0.4×0.25+0.8×0.4 = 1 3 ，

P（A 2|B）= P（B|A 2）P（A 2） ∑ 3 i=1 P（B|A i）P（A i）

= 0.4×0.25 0.6×0.35+0.4×0.25+0.8×0.4 = 10 63 ，

P（A 3|B）= P（B|A 3）P（A 3） ∑ 3 i=1 P（B|A i）P（A i）

= 0.8×0.4 0.6×0.35+0.4×0.25+0.8×0.4 = 32 63 ，

即當記者隨機電話采訪某人得到“我幸?！被卮饡r，該受訪者可能是未成年人、中青年和老年人的概率分別為 1 3 ， 10 63 ， 32 63 .

（二）中心極限定理的應用

中心極限定理揭示了產(chǎn)生正態(tài)分布的源泉，是應用正態(tài)分布來解決各種實際問題的理論基礎(chǔ).

例2 ??為了吸引更多的游客，黃鶴樓景區(qū)決定在2016年春節(jié)黃金周期間開展票價優(yōu)惠活動.門票票價主要分三種類型：成年票每張60元，團體票每張50元，學生票每張30元.根據(jù)以往的經(jīng)驗，每張票作為成年票、團體票和學生票賣出的概率分別是0.5，0.2和0.3.假定2016年春節(jié)黃金周期間黃鶴樓景區(qū)游客達到25萬人，且每張門票的出售是相互獨立的.以X表示門票的總收入，求：

（1）平均的門票收入E（X）;

（2）求門票收入在平均門票收入±1.3萬元的概率（Φ（2）≈0.9 772）.

分析 ?隨著近年來經(jīng)濟的蓬勃發(fā)展，旅游成了一個城市新的經(jīng)濟增長點，本題意在讓學生嘗試預測春節(jié)黃金周的門票收入情況.在諸多的中心極限定理應用中，以獨立同分布的隨機變量為前提的林德伯格-萊維中心極限定理是最常見的一個.

解 ?（1）設(shè)X i表示第i張門票的平均收入，i=1，2，…，250 000，則X=∑ 250 000 i=1 X i.

E（X i）=60×0.5+50×0.2+30×0.3=49，

E（X）=∑ 250 000 i=1 E（X i）=1 225，

即平均的門票收入為1 225萬元.

（2）E（X2 i）=602×0.5+502×0.2+302×0.3=2 570，

D（X i）=E（X2 i）-[E（X i）]2=169，

D（X） = ∑ 250 000 i=1 D（X i） = 25×104×169 =0.65，

故由林德伯格-萊維中心極限定理可得

P{|X-E（X）|≤1.3}=P? |X-E（X）|? D（X）? ≤ 1.3? D（X）

=P? |X-E（X） 0.65 ≤ 1.3 0.65? =P? |X-E（X）| 0.65 ≤2

≈2Φ（2）-1=0.9 544，

即門票收入在平均收入±1.3萬元的概率近似為0.9 544.

（三）二項分布的應用

二項分布是一種具有廣泛用途的離散型隨機變量的概率分布，它是由伯努利始創(chuàng)的，所以又叫伯努利分布.

例3 ??2013年某電視臺播出的《舞出我人生》節(jié)目深受觀眾的喜愛.在該節(jié)目的初賽中，比賽規(guī)則如下：如果該對舞者獲得3位專業(yè)評委至少2票的贊成票，則得1分的專業(yè)評審分;如果獲得99位大眾評委至少50票的贊成票，則得1分的大眾評審分;最終如果該對舞者得2分（專業(yè)分和大眾分各1分），則直接晉級，否則待定或淘汰.假定每位專業(yè)評委和大眾評委每次只能投贊成票或反對票，且做出任一評判的概率都是0.5;所有的評委獨立地做出自己的評判.現(xiàn)有一對舞者參賽，求該對舞者：

（1）獲得1分專業(yè)評審分的概率;

（2）獲得1分大眾評審分的概率;

（3）直接晉級的概率.

分析 ?該題出現(xiàn)在筆者所在學校2013年夏季期末考試中，題目素材來自央視舉辦的《舞出我人生》節(jié)目的比賽規(guī)則.掌握并熟練應用所學知識解決日常問題，是研究性教學的基本要求，也是知識創(chuàng)新的基礎(chǔ).透過問題，分析本質(zhì)，其實本題簡單地考查了二項分布和二項展開式的性質(zhì).

解 ?設(shè)X為專業(yè)評委給出的贊成票數(shù)，Y為大眾評委給出的贊成票數(shù)，則X～B（3，0.5），Y～B（99，0.5）.

（1）獲得1分專業(yè)評審分的概率

p 1=P{X≥2}=C2 3? 1 2??? 1 2? 2+C3 3? 1 2? 0? 1 2? 3= 1 2 .

（2）獲得1分大眾評審分的概率

p 2=P{Y≥50}

=C 50 ?99 ??1 2? ?49 ??1 2? ?50 +…+C 99 ?99 ??1 2? 0? 1 2? ?99 ，

事實上，

1+? 1 2 + 1 2? ?99

=C0 ?99 ??1 2? ?99 ??1 2? 0+…+C 99 ?99 ??1 2? 0? 1 2? ?99

=2 C 50 ?99 ??1 2? ?49 ??1 2? ?50 +…+C 99 ?99 ??1 2? 0? 1 2? ?99 ?，

故p 2= 1 2 .

（3）由于專業(yè)評審與大眾評審彼此獨立，可得直接晉級的概率為

p 3=P{X≥2，Y≥50}=P（X≥2}·P{Y≥50}= p 1· p 2= 1 4 .

（四）離散型隨機變量期望的求解

離散型隨機變量通?？梢苑譃閮煞N類型，即有限個取值和可列個取值.其期望的求解關(guān)鍵就看隨機變量的分布律是否有規(guī)可循，對于可列個變量而言還要看和值是否收斂到一個可求的定值.

例4 ??某男子用n把看上去樣子相同的鑰匙開門，已知其中只有一把鑰匙能打開這扇門，而且取任一把鑰匙開門是等可能的.

（1）當該男子神志清醒時，每把鑰匙試開一次失敗后除去，在余下的鑰匙中選取繼續(xù)開門直至成功，試開次數(shù)記為X.求X的期望E（X）;

（2）當該男子喝醉酒時，對試開過的鑰匙沒有印象，每次試開都是在所有的n把鑰匙中選取鑰匙開門直至成功，試開次數(shù)記為Y.求Y的期望E（Y）.

分析 ?筆者所在學校2015年的夏季“概率統(tǒng)計”期末考試中考過該題，主要目的是考查學生對現(xiàn)實生活中出現(xiàn)的離散型變量分布情況的分析，以及常見級數(shù)求和方法的應用.本題第（1）問在很多參考書上都出現(xiàn)過原題或者類似題目，第（2）問是我們根據(jù)研究性教學要求的需要設(shè)計加入的，發(fā)現(xiàn)題目難度增加不大，仍然滿足考綱要求，是一次不錯的嘗試.

解 ?（1）X可能的取值為1，2，…，n，而且其分布律為

p i=P{X=i}= n-1 n · n-2 n-1 · n-3 n-2 ·…· 1 n-i+1 =? 1 n ，i=1，2，…，n.

因而，試開次數(shù)X的期望為

E（X）=∑ n i=1 i·p i=1· 1 n +2· 1 n +…+n· 1 n = （1+2+ …+n）· 1 n = n+1 2 ，

即神志清醒時試開次數(shù)的數(shù)學期望為 n+1 2 .

（2）Y可能的取值為1，2，…，而且其分布律為

p j=P{Y=j}=? n-1 n? ?j-1 · 1 n ，j=1，2，…

因而，試開次數(shù)Y的期望為

E（Y）=∑ +∞ j=1 j·p j=1· 1 n +2· n-1 n · 1 n +3·? n-1 n? 2·? 1 n +…+k·? n-1 n? ?k-1 · 1 n +…

事實上，

n-1 n ·E（Y）=1· n-1 n · 1 n +2·? n-1 n? 2· 1 n + 3· ??n-1 n? 3· 1 n +…+k·? n-1 n? k· 1 n +…

上述兩式相減可得

1 n E（Y）= 1 n + n-1 n · 1 n +? n-1 n? 2· 1 n +…+? n-1 n? k· 1 n +…

所以，

E（Y）=1+ n-1 n +? n-1 n? 2+…+? n-1 n? k+…= 1 1- n-1 n? =n.

結(jié)果表明，在醉酒狀態(tài)下試開次數(shù)的數(shù)學期望為n.

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