金露

【摘要】數(shù)學學科的靈魂之一是數(shù)學思想，而在所有的數(shù)學思想之中，最重要、最能夠化抽象為具體的思想便是數(shù)形結合思想。數(shù)形結合思想可以把抽象的數(shù)學語言與生動直觀的幾何圖形相結合，能夠讓數(shù)學問題更加清晰明了。小學生還處于認知能力發(fā)展的初級階段，數(shù)形結合有利于幫助他們簡化數(shù)學難度，激發(fā)學習興趣，從而提高課堂教學效率。文章在結合前人研究成果的基礎上，對數(shù)形結合方法的原理與作用進行論述，在此基礎上收集、總結了教學實踐中學生出現(xiàn)的錯題，并分析其內在產生原因，進而提出解決方案，以期對促進數(shù)形結合在策略解析中的應用提供參考。

【關鍵詞】數(shù)形結合；小學數(shù)學；錯題；改進策略

一、數(shù)形結合思想與方法

數(shù)學的核心研究內容是研究數(shù)量關系與空間形式的科學，其中“數(shù)”和“形”是研究的最主要內容且二者并不是壁壘分明而是相依相生。通過“數(shù)”和“形”的完美結合，有助于在研究和解決數(shù)學問題時充分體會到隱含的條件和聯(lián)系。在探尋數(shù)量關系上的意義的同時，可以以幾何的直觀性促進認知。數(shù)形結合思想的本質是以抽象的數(shù)量關系和直觀的幾何圖形結合來看待問題，是人們研究和解決數(shù)學問題的重要方法和觀念。

數(shù)形結合思想方法在數(shù)學教學尤其是小學學習中非常普遍，它的具體應用主要包含三個方面：“以形代數(shù)”“以數(shù)化形”“數(shù)形結合”。這三種思想都能夠在數(shù)學應用中起到一定的作用，雖然形式和側重點有所不同，但它們的根本目的都是使問題變得更加簡單、易于理解或者方便操作。小學是學生能力培養(yǎng)的重要階段，在這一時期采用數(shù)形結合的學習方法，不僅能夠改善學習效果，也能夠促進學生的思維能力的發(fā)展，為學生綜合發(fā)展打下基礎。

二、數(shù)形結合對數(shù)學學習的作用

1.有助于提升概念的具體性

構建主義認為，更高級的學習形式不是學生對知識被動接受或者按部就班地完成學習流程，而是將自己已經獲取的知識運用與自己掌握的方法系統(tǒng)地架構起來，獨立自主地構建知識體系的過程。但這一過程卻并不簡單，因為對于小學生來說很多知識或者方法是抽象難懂的，對于他們而言有相當?shù)碾y度。而“數(shù)形結合”的思想恰好能夠幫助他們解決這一問題，化抽象為具體，使相關知識點在他們腦海中能夠清晰地浮現(xiàn)出來，從而提高學習效率。

2.有助于正確理解算式算理的方向性

計算能力是數(shù)學學習當中最基礎最重要的能力，是學生綜合素養(yǎng)的重要組成部分之一。而計算能力培養(yǎng)的重心在于熟悉正確的計算方法、理解正確的計算原理。因此，小學數(shù)學教師在教學中要側重于運用有效的方法策略，傳授正確的算法算理，通過練習鞏固計算方法培養(yǎng)計算能力，在這個過程中數(shù)形結合的思想可以起到很好的導向作用。

3.有助于拓寬學生思維

數(shù)形結合的基本應用就相關問題中的數(shù)學符號或者邏輯關系展現(xiàn)出來，映射到圖形上。這樣的特點能夠為教師引導學生分析問題，梳理內部數(shù)量關系起到關鍵作用的重要策略。特別是在講解重難點知識的時候，若能將相應的數(shù)學符號與圖形對應起來，形成一個映射相互轉換，則可以使得原本問題由繁化簡，由抽象化為具體，讓學生覺得自己有可能解開，從而調動起主動學習的積極性。

三、“求比一個數(shù)多（或少）幾分之幾的數(shù)是多少”教學錯例分析

《求比一個數(shù)多（少）幾分之幾的數(shù)是多少》被安排在人教版六年級上冊，教學目標包括：

1.通過學生自主學習以及合作學習，了解“求比一個數(shù)多（或少）幾分之幾的數(shù)是多少”的應用題的結構特征。在此基礎上學會利用線段圖來分析數(shù)量關系。

2.通過學生自主學習以及合作學習，掌握解答“求比一個數(shù)多（或少）幾分之幾的數(shù)是多少”的應用題的解題思路和方法，并能夠正確列式計算。

3.學生在自主學習以及合作學習過程中，培養(yǎng)提出問題的意識，并且愿意對問題進行討論、交流、達成共識的合作意識。培養(yǎng)學生分析問題的能力和綜合運用所學知識解決問題的能力。

但在實際教學中教學目標的實現(xiàn)并不簡單，學生在學習的過程中會出現(xiàn)各種各樣的錯誤，現(xiàn)總結如下。

1.常見錯誤：慣性思維

【錯例重現(xiàn)】案例1：某社區(qū)圖書角有文學書840本，漫畫書比文藝書少7/12，則文學書比漫畫書少多少本？

【錯誤解法】840×7/12=560

【錯誤成因】出現(xiàn)這一類型的錯誤，主要是由于之前的學習讓學生產生了“慣性思維”。題中兩個條件自然而然地讓學生想將其相乘，而將已知量看作單位1，忽視了題目中的實際條件。

【改進策咯】對大多數(shù)學生來說，智力水平并不出眾，在小學階段更為重要的是培養(yǎng)孩子良好的學習習慣而不是僅僅聚焦于結果。多年來的錯誤導向使得有些孩子急于找到最后的結果，經常急于求成或者過于自負。常見的問題有讀題不完整不仔細、遺漏重要信息、憑感覺做題等。因此教師要采取針對性的策略，加強對讀題仔細的要求，注重檢查、驗算。對于一些抽象思維能力不夠強的學生，教師可以通過作圖來幫助他們理解。

2.常見錯誤：關系錯誤

【錯誤再現(xiàn)】案例2：有兩堆水果，甲堆有36公斤，比乙堆水果的3/4多4公斤，那么乙堆水果有多少千克？

【錯誤解法】36×3/4+4或36÷3/4+4等

【原因分析】很多學生對這題感覺很熟悉，但又有陌生之處，事實上學生之前掌握了某些題目，但對于解法與真正的數(shù)學關系并沒有清楚的認知，因此面對變體題目的時候，很難把握差異，而只是生搬硬套導致錯誤。

【改進策略】要解決數(shù)學關系梳理不清的問題，就必須培養(yǎng)學生洞察數(shù)學對象的能力，加強練習，培養(yǎng)學生認真分析、深刻理解題意的習慣。不同類型的本質區(qū)別是包含了不同的數(shù)學關系，教師要選取典型例題進行對比講解，然后找出什么情況下用什么解法合理。對于一些比較復雜的題目，若利用數(shù)形結合可以讓難題迎刃而解。

3.常見錯誤：缺乏思路

【錯誤再現(xiàn)】案例3：菜園里有三種菜地，其中茄子地和辣椒地的面積之比是1：4，白菜地占總菜地的2/7，目辣椒地的面積有92平方米，則菜地總共有多大面積？

【錯誤解法】92÷（1-1/5-2/7）

【原因分析】很多學生面對這道題的時候表示不會做或者沒有思路，他們說，不知怎么入手，不清楚辣椒的份數(shù)也不清楚茄子地的面積。但通過細致分析，可以捋清楚每一種蔬菜的份數(shù)，然后統(tǒng)一進行計算，問題便能輕松解決。

【改進策略】創(chuàng)新的前提是理解，而理解的前提在于對知識充分掌握。培養(yǎng)學生思維能力不是能夠一蹴而就的，教師首先要在日常學習中讓學生把知識學得“深”一點，在深的基礎上學得“活”一點。只有在教學中運用多種方式，讓學生對知識有更深刻的理解，將所有的知識點、方法在頭腦中串聯(lián)起來，形成完整的知識體系，這樣才能在做題的時候及時發(fā)現(xiàn)思路，高效完成任務。如果實在做不出來，則可以讓學生不管會不會做，先把圖形畫出來，慢慢在圖形當中找到思路。

綜上所述，對于數(shù)學解題中存在的多種問題，數(shù)形結合思想都能夠有效改善學習效率，提高解題效果。

四、“求比一個數(shù)多（或少）幾分之幾的數(shù)是多少”中數(shù)形結合的運用

在實際教學中，實現(xiàn)教學目標的第一個要求并不難，但是到了第二步就開始不太順利，對應分數(shù)內容，學生本身就沒有非常清晰明確的認識，因而列出算式、理解算式的意義、梳理清楚數(shù)量關系對他們也就顯得不太容易。其中很重要的一個原因在于由整數(shù)向分數(shù)具有較大的跨度，整數(shù)相加減很容易在現(xiàn)實生活中找到相應的參照物，但是對于分數(shù)就不那么容易。因此，本課的教學重點就在于幫助學生搭建直觀操作與抽象知識之間的連接，實現(xiàn)這一目標的一大利器就是數(shù)形結合：

1.教學實踐1：線段圖解題

【題目引入】教輔資料中有一道例題如下：張曉華的身高是110cm，比爸爸的身高低3/8，那么張曉華的爸爸身高多少？

閱讀題目可以產生以下幾個問題：

①從題目中你獲取了哪些已知條件？

②怎樣理解“張曉華的身高比爸爸的身高低3/8”？

③這道題如何畫出線段圖，怎樣列出各量之間的比例關系，最終如何列式解答？

【深度分析】此題是建立在“已知比一個數(shù)多（少）幾分之幾是多少求這個數(shù)”這一知識點的分數(shù)應用題。這一題中最難的部分是分析數(shù)量關系并怎么樣利用等量關系式來解題。通過教學實踐看來，最常見的錯誤是“爸爸身高×3/8=張曉華的身高”。這種錯誤也體現(xiàn)了對于建立等量關系這一分數(shù)學習中的重難點，學生掌握得還不是很好。

在教學交流活動中，我發(fā)現(xiàn)許多老師的教學重心放在“已知量÷已知量的對應份額=單位“1”這一等式上。在教學中也是對其反復講解，使得學生對這一概念的理解和記憶根深蒂固，一旦面對分數(shù)問題，首先想到的就是這個等式，對于這樣的情況，教師不能急于求成，而是運用系統(tǒng)的方法，讓學生清晰地梳理各種關系，使題目迎刃而解。

【教學設計】對于分數(shù)問題，線段圖解題是一種很好的數(shù)形結合方法方法，用長線條代表爸爸的身高，用一條平行的短線段代表張曉華的身高，通過這樣的辦法，可以借助更加形象的思維，幫助學生理解，進一步實現(xiàn)舉一反三，較好地完成教學任務。

具體設計流程如下：

①師生共同探究，自己畫出線段圖表示爸爸的身高和張曉華的身高，并標記每一部分代表的含義。

②畫出兩條線段的差額，并讓學生解釋這一段的含義。

⑧提問：這里是怎么得出兩人身高差額的？

④進一步提問：怎樣求出爸爸的身高？

在完成上述步驟的基礎自上，引導學生梳理清楚等量關系：爸爸的身高一張曉華比爸爸低的身高=張曉華身高。教師繼續(xù)提問題：你們能不能把所畫的線段圖和等量關系連接起來？根據(jù)數(shù)形結合確立等量關系式，相比之下更加直觀且易于理解。實踐證明，運用數(shù)形結合的方法，可以讓學生很好地掌握知識點，也不容易在類似問題上犯錯。

2.教學實踐2：創(chuàng)設生活情境，運用圖表教學

【題目引入】布置一道這樣的題目：隨著科技的發(fā)展，我國火車運用經歷了六次提速。從20世紀90年代的120km/h的運行時速提高到了如今的300km/h并有望在之后提高到350km/h，那么在這些年里，動車車速總共提高了幾分之幾？

【深度分析】此題考察的重點在于區(qū)分每一次速度增加時候的基數(shù)。學生在課堂教學和課后作業(yè)面對類似的題目是所常犯的問題也就是對于增長基數(shù)區(qū)分不清楚。如在有120增加到140的時候，實際增加了（140-120）÷120=1/6，但在計算由140增加到160的時候，會算成（160-140）÷120=1/6；或是在計算總增加量的時候算成（300-120）/200=8/90。

【教學設計】對于這一類多次增加的問題，可以設計柱狀圖讓學生進行理解。

②根據(jù)上表，計算出每一次增加的增量分別為20、40、50、50，將其列在上表之后：

③在此基礎上再增加一列作為基數(shù)：

通過這樣的程序，便可以讓學生很清晰地理清楚每一次增加之間的數(shù)量關系。除了用表，也可以運用統(tǒng)計圖來讓學生有更直觀的印象：

五、結束語

在小學數(shù)學教學過程中，數(shù)學符號和幾何圖形之間的緊密聯(lián)系不僅僅可以使抽象和直觀的融合得以實現(xiàn)，通過運用數(shù)形結合的教學模式，對于鍛煉小學生將直觀圖形轉化為數(shù)字的能力和將數(shù)字轉化為易懂的圖形能力的提高有很大幫助。另一方面，這種生動活潑的教學形式也可以有效提升教學效果，讓學生產生主動學習的欲望，對數(shù)學不再畏懼，積極探索，善于發(fā)現(xiàn)生活中的問題并利用數(shù)學知識加以解決，這對于小學生長遠發(fā)展和綜合發(fā)展起著至關重要的作用。