浙江海鹽元濟高級中學(xué)(314300) 姜巍 丁晨芳

1.問題的提出

數(shù)學(xué)概念是人們對客觀事物中有關(guān)數(shù)量關(guān)系和空間形式方面本質(zhì)屬性的抽象.正確理解并靈活運用數(shù)學(xué)概念,是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和運算技能、發(fā)展邏輯論證和空間想象能力的前提.從一定意義上說,學(xué)生學(xué)習(xí)知識主要是掌握概念和由概念組成的系統(tǒng).而高中數(shù)學(xué)核心概念是指對于整個高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起到一個統(tǒng)領(lǐng)、主導(dǎo)作用的概念,掌握了核心概念就等于掌握了高中數(shù)學(xué)知識的根本.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中也明確指出:高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真,努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)生、發(fā)展過程和本質(zhì).學(xué)生對概念的理解認(rèn)識、理解、掌握程度直接影響到學(xué)生對概念的運用.如何突破核心概念的教學(xué)是值得我們深思的問題.在概念課的教學(xué)中針對不同教學(xué)環(huán)節(jié)通過不同形式的問題設(shè)計可以增強學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,調(diào)動學(xué)生的積極性,使學(xué)生主動地參與到課堂教學(xué)活動中,使學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、類比、猜想、歸納、抽象、概括等活動,經(jīng)歷概念的生成過程,探究數(shù)學(xué)規(guī)律,揭示數(shù)學(xué)本質(zhì).下面筆者結(jié)合自己的教學(xué)實際談?wù)勍ㄟ^問題設(shè)計突破核心概念教學(xué)的一些具體做法.

2.基于“問題設(shè)計”突破數(shù)學(xué)核心概念的教學(xué)的實踐做法

2.1 設(shè)計合理化問題情境,探究核心概念的形成

亞里士多得有句名言:“思維是從疑問和驚奇開始的,常有疑點,常有問題,才能常有思考,常有創(chuàng)新.”能否點燃學(xué)生思維的火花,這就要看教師能否創(chuàng)設(shè)出合理的切合學(xué)生實際的教學(xué)情景.而設(shè)計一個精彩的、合理的問題引入課題,能夠使學(xué)生對所學(xué)概念產(chǎn)生濃厚的興趣和疑問,這正是學(xué)好這個概念的第一步.

例1.組合的定義 在《組合》這一節(jié)的引入時,恰逢浙江省新高考制度的實行階段,除語、數(shù)、外三門必選科目外,從物、化、生、政、史、地、技術(shù)這7門選考科目中選出3門作為高考科目,在這一新的高考改革背景下,如何選取高考科目?有多少種選擇方案?是每一個考生關(guān)注的問題.在學(xué)習(xí)組合這個概念的時候我提出以下問題:

問題1 如果給你一次機會,你打算從從物、化、生、政、史、地、技術(shù)這7門選考科目中選哪3門作為高考科目?(不同的同學(xué)會有不同的答案)

學(xué)生“選”的過程就是組合定義中“取”的過程,有了這樣的參與,學(xué)生會對組合的概念有更加直觀的認(rèn)識.

問題2這是一個排列問題嗎?

通過實例,發(fā)現(xiàn)這個問題是不需要進行“排隊”,也就是沒有先后之分的,進而深化“組合”與“排列”的本質(zhì)區(qū)別.

問題3 這個問題與排列問題的根本區(qū)別是什么?(引出課題)

問題4 你能類比排列的定義給“組合”下個定義嗎?

通過上面的思考過程,學(xué)生類比排列的定義,會試著給出組合的定義.

設(shè)計意圖 通過這樣的教學(xué)情景可以將學(xué)生的主觀心理因素和客觀環(huán)境結(jié)合起來,通過外部誘因,將學(xué)生的注意力吸引到課堂情景中來,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,使其以積極的心態(tài)投入到教學(xué)活動中來,同時采用生活化的問題情境,更加有利于學(xué)生對“組合”這一核心概念的理解,也為組合數(shù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

2.2 設(shè)計遞進式問題串,理解核心概念的內(nèi)涵

所謂“問題串”就是針對某一教學(xué)主題,從不同角度設(shè)計并列或遞進的多個問題,或是某一段教學(xué)過程中設(shè)計的一系列問題.如常見課堂教學(xué)中的追問、一點多問、一題多變等.問題串的設(shè)置與應(yīng)用能有效地調(diào)動學(xué)生思考的積極性與主動性,激發(fā)學(xué)生的有效思考,引導(dǎo)學(xué)生在對核心概念的理解上做深入的思考.

例2.數(shù)列的定義 數(shù)列是特殊的函數(shù),其函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用極為廣泛,本節(jié)作為數(shù)列的第一節(jié),教學(xué)難點之一就是理解數(shù)列是特殊的函數(shù).筆者通過以下問題化解這一難點.

首先通過創(chuàng)設(shè)問題情境,引出數(shù)列的定義(略).

考查數(shù)列 1,3,5,7,9,···,2n-1,···.

問題1 你能寫出數(shù)列的第5項和第31項嗎?

問題2 32是數(shù)列中的項嗎?81是數(shù)列中的項嗎?

問題3 通過以上兩個問題,你對數(shù)列中的項有什么認(rèn)識?

設(shè)計意圖 從特例入手,讓學(xué)生初步認(rèn)識到:在數(shù)列中,由項的序號可以找到項;由項可以了解該項在數(shù)列中的位置,即知道該項的序號,進而概括出數(shù)列中每個序號都對應(yīng)著一個項,反過來每一個項都對應(yīng)著一個序號.

問題4 在該對應(yīng)中,若把序號構(gòu)成的集合記為A,把項構(gòu)成的集合記為B,在A中任取一個元素,在集合B中是否有元素與之對應(yīng)?若有的話,有幾個?

問題5這種對應(yīng)構(gòu)成了什么關(guān)系?

問題6這里的對應(yīng)法則是什么?

設(shè)計意圖 通過遞進式的追問,引出序號與項之間構(gòu)成了一種重要的對應(yīng)關(guān)系—函數(shù).

問題7 數(shù)列既然是函數(shù),其定義域是什么?值域又是什么?

問題8我們一般從哪些方面去研究函數(shù)的性質(zhì)?

問題9如何直觀的研究函數(shù)的性質(zhì)?

問題10數(shù)列所對應(yīng)的函數(shù)圖象有什么特征?

設(shè)計意圖 從函數(shù)角度出發(fā)去研究數(shù)列,通過對以上問題的思考,感悟數(shù)列是特殊的函數(shù),它的定義域是正整數(shù)集或它的有限子集,并從圖像的角度加深對這一結(jié)論的認(rèn)識.人們對問題的認(rèn)知,總是從已有的知識與經(jīng)驗出發(fā).因此問題的設(shè)計要由小到大、由易到難、由淺入深、層次鮮明,讓學(xué)生拾級而上,逐層遞進.設(shè)計“問題串”是一種有效的策略,其作用在于引導(dǎo)學(xué)生的思維朝著正確的方向遞進,感悟概念的本質(zhì),形成解決問題的策略.

2.3 設(shè)計典型性例題,深化核心概念的外延

概念的內(nèi)涵就是指反映在概念中的對象的本質(zhì)屬性;概念的外延就是指具有概念所反映的本質(zhì)屬性的對象.概念的內(nèi)涵是概念的質(zhì)的方面,它說明概念反映的事物是什么樣的;概念的外延是概念的量的方面,通常說的概念的適應(yīng)范圍就是指概念的外延,它說明概念反映的是哪些事物.概念的內(nèi)涵和外延是兩個密切聯(lián)系、互相依賴的因素.每一個科學(xué)概念都有其確定的內(nèi)涵和外延.而概念的外延恰恰是概念應(yīng)用的生長點,也是考查學(xué)生對概念理解的切入點.因此,所有的命題常常是在“外延”上做文章.

在《平面向量的數(shù)量積》這一節(jié)的教學(xué)中,難點是對對平面向量數(shù)量積定義:cosθ 的理解,并在此基礎(chǔ)上理解平面向量數(shù)量積的幾何意義:向量-→a的模長與在方向上投影的乘積.為了理解這一核心概念筆者在教學(xué)時設(shè)計了如下例題:

圖1

圖2

2.已知AB=4,AC=6以及它們的夾角∠BAC=60?能進行何種運算?

3.三角形的外心定義是什么,如何作一個三角形的外心?

5.如何建立關(guān)系式求解m,n?

設(shè)計意圖 教師引導(dǎo)學(xué)生從平面向量的數(shù)量積這一概念的外延出發(fā),抽絲剝繭,逐層逆推,直到概念的本質(zhì)露出水面.在解決問題的過程中,通過追問來展現(xiàn)學(xué)生的思維成果,解除部分學(xué)生的困惑,啟發(fā)學(xué)生共同思考.這樣的問題設(shè)計,鍛煉了學(xué)生的逆向思維能力,打破了順向思維的定勢,學(xué)會了如何識別概念的外延.

2.4 設(shè)計評價性問題,強化對核心概念的認(rèn)知

一個數(shù)學(xué)概念的理解與掌握需要經(jīng)歷信息的兩次轉(zhuǎn)換,第一次轉(zhuǎn)換是從教師發(fā)出信息到學(xué)生接收,信息在人際之間轉(zhuǎn)換;第二次轉(zhuǎn)換是學(xué)生對信息進行自我加工,使新學(xué)的概念納入自己原有的知識結(jié)構(gòu),這是一種信息的自我轉(zhuǎn)換,兩次信息轉(zhuǎn)換構(gòu)成了一個完整的學(xué)習(xí)過程.如果教師不給學(xué)生預(yù)留第二次信息轉(zhuǎn)換的機會,學(xué)生就難以達到“學(xué)會”.所謂評價性問題就是用于檢測學(xué)生學(xué)習(xí)效果的檢測項目,包括問題、練習(xí)題、小論文等.評價可以當(dāng)堂實施,也可以通過課后作業(yè)的形式進行.為了提高評價任務(wù)的效度在設(shè)計評價任務(wù)時,對于問題情境的選擇、知識點的把握都必須符合學(xué)生的實際和課標(biāo)的要求,同時還要緊扣課堂教學(xué)內(nèi)容.

例4設(shè)向量

例4的內(nèi)容是平面向量共線定理的推廣和延伸,在向量的學(xué)習(xí)中占有重要的地位,在證明了上面例題之后,為了檢測學(xué)生對這一結(jié)論的理解和掌握,筆者設(shè)計了如下評價性問題.

設(shè)計意圖 這些評價性問題的設(shè)計符合了定理的內(nèi)容,由易到難,對于知識點的把握都符合學(xué)生的實際和課標(biāo)的要求,同時緊扣課堂教學(xué)內(nèi)容,有利于強化學(xué)生對上面結(jié)論本質(zhì)的認(rèn)識.

3.核心概念教學(xué)中關(guān)于問題設(shè)計的一點反思

3.1 問題的設(shè)計要以學(xué)生為主體

問題的設(shè)計要以學(xué)生為主體,了解學(xué)情,注重學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),即應(yīng)考慮學(xué)生現(xiàn)有水平與其可能的發(fā)展水平之間的差異.設(shè)計的問題過于簡單,不能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,設(shè)計的問題太難,學(xué)生會無法理解,難以引發(fā)共鳴,反而會使學(xué)生思維受到抑制.教師應(yīng)該在教學(xué)的過程中根據(jù)實際情況,在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的基礎(chǔ)上,設(shè)計符合學(xué)生思維水平的問題才能誘導(dǎo)學(xué)生思考,調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和欲望,挖掘?qū)W生的內(nèi)在潛能.

3.2 問題的設(shè)計要具備“有效性”

要設(shè)計有效的問題,教師課前一定要精心鉆研教材,根據(jù)學(xué)生實際設(shè)計問題.課堂提問時,切忌信口開河,想到什么問什么.這些隨意提出的問題,不能使學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中形成完整的知識體系和思維過程.例題的設(shè)計和課后評價性問題的設(shè)計也要有梯度、緊扣核心概念的主題,不能看到一道所謂的“好題”就選作例題,要明確是否有助于學(xué)生對概念的理解與掌握,問題不在于“多”、“難”而在于“精”“準(zhǔn)”.