廣東省仁化縣仁化中學(512300) 金海兵

一、問題提出

在學習完必修5第一章正、余弦定理后進行了一次單元測試,其中一題的講評引發(fā)了筆者的思考,現(xiàn)將講評過程中的師生對話摘錄如下:

由于難度不大,請生1回答解題思路.

師:你是如何想到用正弦定理的?

生1:此前已經(jīng)總結過條件中含兩邊及一邊的對角或兩角一邊時用正弦定理.

生2:直接使用余弦定理可快速求出:

師:你是如何想到使用余弦定理的?

生2:教輔書中有類試題型.

師:對生2的自學能力表示贊賞,我們能從此題中總結出此類問題的解法嗎?

生3:已知兩邊及一邊的對角解三角形正、余弦定理均可使用.

此時生4提出了疑惑:此處的結論似乎讓之前已經(jīng)總結的結論變得混亂,如已知三邊或兩邊及夾角用余弦定理解,能用正弦定理嗎?

突如其來的提問打亂了原有的教學設計,一直都要求學生牢記正、余弦定理各自使用的題型,解題過程中對號入座,而對定理之間的關系及能解決的題型未做深層次的思考,課后筆者針對此問題做了進一步的思考.

二、問題的思考

思考一 已知兩角一邊的情況能否用余弦定理解決?

以上解法可以推廣到一般情況.

思考二 已知兩邊及夾角的情況能否用余正弦定理解決?

以上解法可以推廣到一般情況.

思考三 已知三邊能否用正弦定理解三角形?

2、由余弦定理推導正弦定理:

以上解法可以推廣到一般情況.

綜上可以發(fā)現(xiàn):教學中所總結的已知兩角一邊、兩邊及一邊對角用正弦定理,已知三邊、兩邊及夾角用余弦定理,只是針對特定題型提出的最簡單方法,便于學生快速解題,事實上四種題型都可以通過單獨一個定理來解決.

思考4 通過上述思考可以發(fā)現(xiàn),能用正弦定理解決的問題同樣能用余弦定理解決,同樣的能用余弦定理解決的問題也能用正弦定理來解決,區(qū)別在于步驟的多少及計算的繁雜程度,也就是說,正、余弦定理本質(zhì)上并沒有區(qū)別,只是表示的形式有所不同,筆者通過推導及查找相關資料,得到了正余弦定理的等價性證明.

同理可證:

三、點滴體會

數(shù)學學習強調(diào)探究,通過多方位、多角度、多途徑觀察和解決問題,能夠激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情,能夠進一步增強學生對數(shù)學基本概念基本定理的理解,能夠提高學生處理問題的能力,能夠指引我們發(fā)現(xiàn)問題、定理的內(nèi)在聯(lián)系,因此在平時學習數(shù)學的過程中,要善于多角度、全方位地分析與思考問題,以達到拓寬思路、發(fā)展創(chuàng)新思維的目的.隨著廣東高考使用全國卷,對于學生的思維能力有了較高的要求,所以教學中再按照以前的一個定理三點注意進行只會把知識教死,不利于學生思維的拓展,教師要以此為契機加強自身業(yè)務水平的鉆研,加深對定理的理解,把知識教活,學生才會變通,相信只要學生能抓住了定義、定理的本質(zhì),無論是考廣東卷還是全國卷都能取得優(yōu)異成績.