東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)(523120) 王鐵成

1.問(wèn)題的呈現(xiàn)與提出

例 東莞市2017屆高三第二次模擬考試(文數(shù))第20題:已知橢圓C:=1(a＞b＞0)的離心率是且經(jīng)過(guò)點(diǎn),橢圓C的右頂點(diǎn)為A.

求(I)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

閱卷完成以后,我所教的兩個(gè)班(89人)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1-1:

表1 -1 學(xué)生成績(jī)統(tǒng)計(jì)表

一道如此常規(guī)的圓錐曲線(xiàn)題目考出了如此不常規(guī)的結(jié)果,得分大跌眼鏡.于是我借“市二?！钡泥孱^和63名學(xué)生進(jìn)行了談話(huà)得出如表1-2的情況.

學(xué)生困惑歸類(lèi)如下:

(i)審題不給力,題目中的點(diǎn)(包括定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn))過(guò)多,無(wú)法提取有用信息.

(ii)找不準(zhǔn)切入點(diǎn),斜率與動(dòng)點(diǎn)之間的聯(lián)系,太過(guò)復(fù)雜,無(wú)法搭橋.

(iii)運(yùn)算素養(yǎng)低,擔(dān)心運(yùn)算量過(guò)大,影響其他題目的作答.

總之給學(xué)生的感覺(jué)是解析幾何試題是“繁”“雜”“難”.

2.問(wèn)題的分析與解決

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開(kāi)解題,一方面學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和掌握往往通過(guò)解題來(lái)表達(dá)和完善,另一方面數(shù)學(xué)問(wèn)題也是展現(xiàn)數(shù)學(xué)方法、錘煉數(shù)學(xué)思維、提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體,因此解題是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不可或缺部分.波利亞教授在《怎樣解題》里把解題分為:弄清題意、擬定計(jì)劃、執(zhí)行計(jì)劃,回顧.鑒于學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的不足,多數(shù)學(xué)生陷入辨不清的運(yùn)算泥沼里無(wú)功而返,我先帶領(lǐng)學(xué)生“弄清題意”和“擬定計(jì)劃”,即有什么用什么,求什么找什么,一起繪制較為簡(jiǎn)潔的思維導(dǎo)圖.建立了所有已知量和未知量的聯(lián)系,清晰明了的展示題目的整個(gè)解決過(guò)程,用圖示解決學(xué)生的困惑(i)(ii).

表1 -2 學(xué)生答題情況統(tǒng)計(jì)表

2.1 導(dǎo)圖指路,歷學(xué)生之所難

有了上述思維導(dǎo)圖的明晰指示,學(xué)生迫不及待看到這就是平常解題的“基本套路”.于是很多學(xué)生開(kāi)始設(shè)直線(xiàn)PQ的方程,與橢圓方程聯(lián)立,開(kāi)始一本正經(jīng)的算,算了一會(huì)學(xué)生有的抬頭一片欣欣然,有的愁眉苦臉,算不到.此時(shí)教師要站在學(xué)生的角度適時(shí)分析點(diǎn)撥.這就像從這里去深圳,雖然設(shè)置好了導(dǎo)航,但是還是要去實(shí)施,這其中是要做好多工作的.這是解析幾何最基本的思想—坐標(biāo)思想,即由數(shù)學(xué)運(yùn)算解決幾何圖形的問(wèn)題.有的學(xué)生設(shè)了方程y=k(x-1),忽略了什么問(wèn)題?學(xué)生1回答:沒(méi)有考慮斜率不存在的情況.很好,如何避免呢?學(xué)生2:可以單獨(dú)討論,也可以將直線(xiàn)方程設(shè)成.好,我們就按著學(xué)生2的思路一起往下算,我請(qǐng)了學(xué)生3和學(xué)生4在黑板上算,其他學(xué)生邊算邊監(jiān)督.以下是學(xué)生3和學(xué)生4的板書(shū):

4分鐘后學(xué)生3和學(xué)生4完成了思維導(dǎo)圖的設(shè)定的計(jì)劃,但是題目還要求范圍呢?誰(shuí)來(lái)解決接下來(lái)的問(wèn)題?怎么解決?學(xué)生5回答說(shuō):我采用了導(dǎo)數(shù)的方法,出乎我的意料,跳出了標(biāo)準(zhǔn)答案的基本不等式法.于是在班級(jí)里,兩組學(xué)生使用導(dǎo)數(shù)法,另兩組學(xué)生,使用基本不等式法求k得范圍.學(xué)生5補(bǔ)充板演:

學(xué)生6則按老師的提示用基本不等式得到結(jié)果.

當(dāng)直線(xiàn)PQ的斜率的為0時(shí),R與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,AR的斜率是0,所以直線(xiàn)AR的斜率的取值范圍是.最后統(tǒng)計(jì)學(xué)生做題結(jié)果時(shí),我們發(fā)現(xiàn),整個(gè)過(guò)程用時(shí)大約10分鐘,求范圍時(shí)用導(dǎo)數(shù)方法做的有24人次,做對(duì)的有15人,其余在求導(dǎo)畫(huà)圖時(shí)出了問(wèn)題(沒(méi)有注意到當(dāng)m＜0時(shí),k＜0;m＞0時(shí),k＞0)求最值不準(zhǔn).用基本不等式方法做的有20人次,作對(duì)的有7人,因?yàn)閷?duì)m的正負(fù)處理不了,想不到加絕對(duì)值等.到這我想,對(duì)于困惑(i)(ii)基本解決.如果我們僅僅告訴學(xué)生:聯(lián)立,基本不等式就過(guò)去了,那么學(xué)生下次學(xué)生還會(huì)錯(cuò),不會(huì)有任何改變.只有我們稚化思維,帶領(lǐng)學(xué)生一起去經(jīng)歷探索、發(fā)現(xiàn),嘗試解決問(wèn)題,不斷的反思和深化,才能把這種能力在學(xué)生心中埋下種子,醞釀、發(fā)芽、生根,從而生成數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

2.2 成嶺成峰,探學(xué)生之所想

“橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同”,從不同角度看問(wèn)題會(huì)有不同的感受;“條條大路通羅馬”,到達(dá)目的地的方式不止一個(gè).換一種視角去觀察,換一種方式去思考,換一種心境去感悟,也許會(huì)有意外的驚喜.我的總結(jié)話(huà)音剛落,學(xué)生7站起來(lái)說(shuō):“我們的困惑(i)就是點(diǎn)坐標(biāo)里變量多,有什么辦法可以減少參變量呢?”我愣一下,雖然可能會(huì)沖淡本節(jié)課主題,但還是決定不要磨滅學(xué)生7的瞬間的美妙思維.我說(shuō)那我們就一起探索一下吧.高中階段,我們學(xué)過(guò)哪些內(nèi)容可以減少變量呢?參數(shù)方程是個(gè)不錯(cuò)的選擇.學(xué)生8說(shuō):“那是選擇直線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程還是橢圓的參數(shù)方程?”,你說(shuō)呢?學(xué)生8思索了一下說(shuō):“直線(xiàn)的,因?yàn)橹本€(xiàn)PQ不過(guò)原點(diǎn),選擇橢圓P、Q點(diǎn)需要兩個(gè)角來(lái)表達(dá),而直線(xiàn)就用參數(shù)t就可以了”,好,我們來(lái)試一下,老師寫(xiě),你們指點(diǎn)并監(jiān)督.

設(shè)P,Q點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,點(diǎn)R所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t0,

這個(gè)結(jié)果是我沒(méi)有想到的,最后的斜率表達(dá)式居然這樣簡(jiǎn)單、漂亮,對(duì)于解決困惑(iii)的幫助非常大.疏于預(yù)設(shè),精彩生成,應(yīng)該就源自于此吧.課堂教學(xué)價(jià)值取向的最重要一點(diǎn)就是:是否提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).提高學(xué)生的核心素養(yǎng)并不是一句空話(huà),而是需要去實(shí)踐,最好的載體當(dāng)然就是課堂,這是一場(chǎng)沒(méi)有預(yù)約的美麗.

2.3 深入淺出,思學(xué)生之所惑

文獻(xiàn)[1]說(shuō)作為教育數(shù)學(xué)的解析幾何應(yīng)該具有:會(huì)用運(yùn)動(dòng)變化的思想處理數(shù)學(xué)問(wèn)題和現(xiàn)實(shí)問(wèn)題,提升學(xué)生的學(xué)習(xí)力,增強(qiáng)他們的探究能力和創(chuàng)新意識(shí),利于發(fā)展學(xué)生的科學(xué)精神、理性精神、創(chuàng)新精神,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).對(duì)于此類(lèi)型題,關(guān)注完基本解法后,我們還可以做如下導(dǎo)圖:

2.3.1 點(diǎn)差法求R點(diǎn)的軌跡方程

如果我們深入一個(gè)層次思考這個(gè)問(wèn)題,從運(yùn)動(dòng)變化的角度去思考問(wèn)題,按上圖的思路去思考問(wèn)題,怎樣求R得軌跡方程?學(xué)生9回答:“可以采用解法1的聯(lián)立,然后消掉參數(shù)m,但是消參運(yùn)算量會(huì)很大,不如直接使用解法1.注意到R是PQ的中點(diǎn),我們可以采用點(diǎn)差法.”很好,分析的條理清晰.下面我們一起來(lái)實(shí)現(xiàn)學(xué)生9的思路.

第(II)問(wèn) 設(shè)P(x1,y1),P(x2,y2),R(x0,y0),則有點(diǎn)差法有

2.3.2 常用結(jié)論求R點(diǎn)的軌跡方程

文獻(xiàn)[2]里談到,若點(diǎn)P是“有心圓錐曲線(xiàn)”的弦AB的中點(diǎn),其中AB不平行于對(duì)稱(chēng)軸且不過(guò)曲線(xiàn)中心O,則kAB·kPO=e2-1,稱(chēng)作是圓錐曲線(xiàn)中的垂徑定理(用點(diǎn)差法證明).

設(shè)R(x0,y0)由圓錐曲線(xiàn)中的垂徑定理,由kPQ·kOR=e2-1得-1得到-=0以下同解法3.

著名教育家蘇霍姆林斯基說(shuō):在科學(xué)知識(shí)的大海里,我們所教給學(xué)生的教科書(shū)里的那點(diǎn)基礎(chǔ)知識(shí),應(yīng)當(dāng)只是滄海一粟.教師的高度與學(xué)識(shí)決定學(xué)生的高度與學(xué)識(shí),深入學(xué)習(xí),奉行深入淺出的教學(xué)信條,如果學(xué)生采用了解法(2)(3)(4),學(xué)生的困惑(iii)還是困惑嗎?考試中,解析幾何的試題應(yīng)該會(huì)從得分的失地轉(zhuǎn)為分?jǐn)?shù)的增長(zhǎng)點(diǎn).

3.問(wèn)題的探究與反思

第斯多惠說(shuō)“一名壞的教師奉送真理,一名好的教師教人發(fā)現(xiàn)真理”.文獻(xiàn)[3]談到“將數(shù)學(xué)作為一個(gè)現(xiàn)成的產(chǎn)品來(lái)教,留給學(xué)生活動(dòng)的唯一機(jī)會(huì)就是所謂的應(yīng)用,其實(shí)就是做問(wèn)題.這不可能包含真正的數(shù)學(xué),強(qiáng)有力做問(wèn)題的只是一種模仿的數(shù)學(xué)······長(zhǎng)期以來(lái)所教的沉悶的模仿數(shù)學(xué),不是有效的數(shù)學(xué),而是無(wú)價(jià)值的數(shù)學(xué).”如果僅僅滿(mǎn)足于上述,本題的教育價(jià)值難以得到體現(xiàn).

3.1 仿射變換,“圓”來(lái)完美

我們中學(xué)的解析幾何體系中,除直線(xiàn)外,最簡(jiǎn)單的曲線(xiàn)就是圓.另外在初中我們有學(xué)過(guò)很多平面幾何的優(yōu)美定理,對(duì)于降低解析幾何運(yùn)算量至關(guān)重要.如何聯(lián)系橢圓和圓之間的關(guān)系呢?學(xué)生都有知識(shí)儲(chǔ)備,但是無(wú)法提取應(yīng)用的內(nèi)容是:選修的仿射坐標(biāo)變換.橢圓=1經(jīng)過(guò)s=x,t變換成圓s2+t2=a2,在圓中完成相關(guān)量的運(yùn)算之后,通過(guò)逆變換回到橢圓中.如下圖

3.2 溯源探流,趨于通透

本題的背景是橢圓,最簡(jiǎn)單的聯(lián)想是:

1.背景換成圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)動(dòng)點(diǎn)R軌跡又是什么?

在軟件GeoGebra的支持下,可以清晰地“看”到軌跡的變化過(guò)程:

命題2已知圓C:x2+y2=r2,過(guò)點(diǎn)B(m,0)(m/=0)的直線(xiàn)交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),則線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)R的軌跡是以O(shè)B為直徑的圓(或者圓的一部分)如圖2.

圖1

圖2

圖3

圖4

命題4已知拋物線(xiàn)C:y2=2px,過(guò)點(diǎn)B(m,0)(m/=0)的直線(xiàn)交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),則線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)R的軌跡是頂點(diǎn)為B的拋物線(xiàn).如圖4.

囿于篇幅,命題證明略(可使用點(diǎn)差法證明)

波利亞說(shuō),“好問(wèn)題類(lèi)似于采蘑菇,采到一個(gè)后還應(yīng)四處看看,也許還有更多.”通過(guò)不斷地變換背景,變化定點(diǎn)的坐標(biāo),在發(fā)現(xiàn)“蘑菇群”的同時(shí)也構(gòu)建了一個(gè)命題網(wǎng)絡(luò),例如我們改變求AR的斜率為求線(xiàn)段長(zhǎng).于學(xué)生而言,登高望遠(yuǎn),收獲的不僅僅是知識(shí),更重要的是享受了成功的喜悅.在“源與流”的探尋中,思維水平和解題境界有了真切的提升(命題推廣中的類(lèi)比合情推理,直觀想象與邏輯推理的相互關(guān)照等),切實(shí)在學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的同時(shí),生成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).