徐沙沙

【摘要】在學習“對稱圖形——圓”之前，學生已經學習了圖形的平移、圖形的對稱、圖形的旋轉等，積累了一定的數學活動經驗.而對圓的一些主要性質的研究又是以對稱、旋轉變化為基礎的.圓既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，圓還具有旋轉不變性，這些特征是研究圓的有關性質的基礎.點與圓的位置關系的研究，反映了數與形之間的內在聯(lián)系.因此，理解圓的有關概念和經歷探索點與圓的位置關系的活動過程，可以增強學生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.以下是筆者關于蘇科版2.1圓第1課時的教學設計與探究.

【關鍵詞】圓；點與圓的位置關系；數形結合；數學游戲；合作學習

一、生活中的圓

歡迎同學們走進數學課堂！

（一）試一試

請大家找出下列圖片中相同的圖形.

（二）想一想

生活中還有哪些物體是圓形的呢？

設計意圖：學生從奧運五環(huán)、套圈游戲、自行車車輪三幅圖片中容易找出相同的圖形——圓.接著，教者追問生活中還有哪些物體是圓形的呢？設計這兩個“找圓”問題，意在讓學生感受到圓在生活中廣泛存在，進而引入新課——這節(jié)課我們就來進一步探究圓的相關知識.

二、新知探究

我們如何把剛才所找到的圓畫出來呢？

（一）畫一畫

請大家畫一畫，并思考你畫的圓唯一嗎？

（1）畫半徑OP為2 cm的圓；

（2）畫以點O為圓心的圓；

（3）畫以點O為圓心，半徑OP為2 cm的圓.

思考：確定一個圓需要幾個要素？分別是什么呢？（確定一個圓的兩個要素是：圓心和半徑）

（二）圓的描述性定義

如圖所示，在平面內把線段OP繞著端點O旋轉一周，端點P運動所形成的圖形叫作圓.其中，點O叫作圓心，線段OP叫作半徑.以O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”.

思考：圓具有怎樣的對稱性呢？（軸對稱圖形、中心對稱圖形）

設計意圖：學生通過新知探究的畫一畫環(huán)節(jié)，體會確定一個圓的條件是圓心和半徑.圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，兩者缺一不可，據此歸納出圓的描述性定義.

（三）比一比

下面我們進入“飛鏢游戲”環(huán)節(jié)，首先請同學們回答一下平時我們玩飛鏢游戲的規(guī)則是什么？

（1）飛鏢的落點與圓有哪幾種位置關系？

（2）落點到圓心距離與圓的半徑大小關系有哪幾種？

思考：點與圓的位置關系.（如果⊙O的半徑為r，點P到圓心O的距離為d，那么，點P在圓內，則dr.）

（四）圓的集合性定義

思考：平面上的一個圓把平面上的點分成哪幾部分？（圓上的點，圓內的點和圓外的點）

圓上各點到圓心（定點）的距離都等于半徑（定長）；到圓心距離等于半徑的點都在圓上，也就是說：圓是到定點距離等于定長的點的集合.圓的內部可以看成是到圓心的距離小于半徑的點的集合；圓的外部可以看成是到圓心的距離大于半徑的點的集合.

思考：角的平分線可以看成是哪些點的集合？線段的垂直平分線呢？

設計意圖：通過輕松愉快的“飛鏢游戲”探索點與圓的位置關系，從而得出圓的集合性定義.這種把一個幾何圖形看成是滿足某種條件的點的集合的思想，在幾何中是十分重要的.教者適時地拓展提問學生前面學習過的角的平分線和線段的垂直平分線相關知識，加深了學生對幾何圖形集合性定義的理解.

三、嘗試與交流

請大家完成練一練和議一議部分.

（一）練一練

（1）⊙O的半徑10 cm，A，B，C三點到圓心的距離分別為8 cm，10 cm，12 cm，則點A，B，C與⊙O的位置關系是：點A在；點B在；點C在.

（2）已知⊙O的半徑為5 cm.

① 若OP=3 cm，那么點P與⊙O的位置關系是點P在⊙O；

② 若OP=cm，那么點P與⊙O的位置關系是點P在⊙O上；

③ 當OP時，點P在圓外.

（二）議一議

如下圖所示，已知點P，Q，且PQ=2 cm.

（1）畫出下列圖形：

到點P的距離等于1 cm的點的集合；

到點Q的距離等于1.5 cm的點的集合.

（2）在所畫圖中，到點P的距離等于1 cm，且到點Q的距離等于1.5 cm的點有幾個？在圖中將它們表示出來.

（3）在所畫圖中，到點P的距離小于或等于1 cm，且到點Q的距離大于或等于1.5 cm的點的集合是怎樣的圖形？在圖中將它表示出來.

設計意圖：教者在議一議之前編排練一練的目的在于鞏固點與圓的位置關系.因其反映了數與形之間的內在聯(lián)系：由圖形的位置關系決定數量關系，由數量關系判定圖形的位置關系.這里的數形結合，既是重要的知識內容，又是重要的思想方法.通過“議一議”活動，引導學生再次經歷用集合的觀點理解圖形的過程.應強調的是，這里滲透了一種常用的數學思想方法——交集法.

四、素養(yǎng)提升

布魯納指出：“掌握基本的數學思想方法，能使數學更易于理解和記憶，領會基本的數學思想和方法是通向遷移大道的‘光明之路.”請大家合作完成快樂套圈和思維拓展部分.

（一）快樂套圈

（1）同學們，小時候我們都玩過套圈游戲.小朋友們?yōu)槭裁匆驹谕粭l直線上呢？

（2）如果只剩下一只紅色的小象，小朋友們該如何站隊呢？

（3）如果有四個小朋友恰好站在了矩形的四個頂點上，此時僅有的一只紅色小象該放在哪里才能保證游戲的公平性呢？

（二）思維拓展

已知，如圖所示，BD，CE是△ABC的高，M是BC的中點.試問：點B，C，D，E在以點M為圓心的圓上嗎？

設計意圖：“快樂套圈”環(huán)節(jié)三個問題層層遞進，其中第（2）（3）兩小題之間一定意義上又存在問題和結論互換，可以培養(yǎng)學生的逆向思維能力.同時，第（3）題為后面安排“思維拓展”部分做鋪墊，鞏固所學新知——圓是到定點（圓心）的距離等于定長（半徑）的點的集合.

五、教學反思

數學教學不但要使學生掌握知識，而且要使學生掌握思想方法，發(fā)展學生的思維品質.本節(jié)內容蘊含了重要的數學思想方法——數形結合.教者通過“飛鏢游戲”活動引導學生有意識地反思知識形成過程中所蘊含的數形結合思想.本節(jié)課立足數學的本質，做到精講精練，讓數學還原于生活，讓數學回歸于生活是教者的終極目標.

【參考文獻】

[1]徐成祥.在活動中生成在活動中發(fā)展——《圓》的教學設計與反思[J].中學數學，2013（22）：9-11.

[2]陳紅雁.“直線和圓位置關系（第1課時）”教學設計[J].中小學數學：初中版，2017（Z1）：41-43.

[3]李玉榮.一組最值難題“圓”來如此容易[J].中學數學，2015（12）：90-91.