摘 要：新課程增加了導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容，給解析幾何增加了新穎的題型，圓錐曲線中與切線有關(guān)的問題在高考中也頻繁出現(xiàn)，對圓錐曲線的一類切線問題進(jìn)行探索，體現(xiàn)圓錐曲線的統(tǒng)一性和和諧性。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；切線；數(shù)學(xué)

在高中數(shù)學(xué)中，解析幾何所涉及的數(shù)學(xué)知識多，數(shù)學(xué)思想豐富，計(jì)算量大而成為高考得分率偏低的主要原因。如何對解析幾何的學(xué)習(xí)形成有效的措施，是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的師生不可回避的問題。新課程增加了導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容，給解析幾何增加了新穎的題型，圓錐曲線中與切線有關(guān)的問題在高考中也頻繁出現(xiàn)。本文主要對高考中出現(xiàn)的有關(guān)圓錐曲線的切線的問題探討本人的一點(diǎn)認(rèn)識。

一、 知識回顧

（一） 過圓錐曲線上一點(diǎn)的切線方程

1. 過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)M（x0，y0）的切線方程：

xx0+yy0=r2

2. 設(shè)P（x0，y0）為橢圓x2a2+y2b2=1上的點(diǎn)，則過該點(diǎn)的切線方程為：

xx0a2+yy0b2=1

3. 設(shè)P（x0，y0）為雙曲線x2a2-y2b2=1上的點(diǎn)，則過該點(diǎn)的切線方程為：

xx0a2-yy0b2=1

4. 設(shè)P（x0，y0）為拋物線y2=2px上的點(diǎn)，則過該點(diǎn)的切線方程為：

yy0=p（x+x0）

（二） 圓錐曲線的切點(diǎn)弦方程

1. 設(shè)P（x0，y0）為圓x2+y2=r2外一點(diǎn)，則切點(diǎn)弦的方程為：

xx0+yy0=r2

2. 設(shè)P（x0，y0）為橢圓x2a2+y2b2=1外一點(diǎn)，過該點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)為A，B則弦AB的方程為：

xx0a2+yy0b2=1

3. 過P（x0，y0）為雙曲線x2a2-y2b2=1的兩條作兩條切線，則切點(diǎn)弦方程為：

xx0a2-yy0b2=1

4. 設(shè)P（x0，y0）為拋物線y2=2px開口外一點(diǎn)，則切點(diǎn)弦的方程為：

yy0=p（x+x0）

對切線方程和切點(diǎn)弦方程的推導(dǎo)可用隱函數(shù)求導(dǎo)或用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等方法推理，在此不再累述。

例1 過橢圓C：x24+y2=1的右準(zhǔn)線l上任意一點(diǎn)M引橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)為A、B.求證：直線AB恒過一定點(diǎn)。

【解】（1）設(shè)M-（434）（t∈R），A（x1，y1），B（x2，y2），則AM的方程為x1x4+y1y=1

∵點(diǎn)M在MA上 ∴33x1+ty1=1① 同理可得33x2+ty2=1②

由①②知AB的方程為33x+ty=1，即x=3（1-ty）③

易知右焦點(diǎn)F（3，0）滿足③式，故AB恒過橢圓C的右焦點(diǎn)F（3，0）。

二、 類比推理

1. 已知拋物線y2=2py的焦點(diǎn)為F，A，B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且AF=λFB（λ>0），過A，B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M，則FM⊥AB，并且點(diǎn)M在準(zhǔn)線上。

2. 已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）右焦點(diǎn)為F2，A，B為橢圓的兩動(dòng)點(diǎn)，且AF2=λF2B（λ>0），過A，B兩點(diǎn)分別作橢圓的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M，則F2M⊥AB，并且點(diǎn)M在右準(zhǔn)線上。

3. 已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>b>0）右焦點(diǎn)為F2，A，B為雙曲線的兩動(dòng)點(diǎn)，且AF2=λF2B（λ>0），過A，B兩點(diǎn)分別作雙曲線右支的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M，則F2M⊥AB，并且點(diǎn)M在右準(zhǔn)線上。

由此，我們可以得出，過圓錐曲線的焦點(diǎn)F，任作一直線，與曲線交于AB兩點(diǎn)，曲線在這兩點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)為M，則M在這焦點(diǎn)對應(yīng)的準(zhǔn)線上，且FM⊥AB。

作者簡介：

陳華，福建省南平市光澤二中。endprint