張清良??

摘要：本文針對(duì)少數(shù)民族預(yù)科學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀，通過利用分部積分法的教學(xué)探究，引導(dǎo)他們進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，培養(yǎng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主觀能動(dòng)性、學(xué)習(xí)興趣和數(shù)學(xué)思維等。我們認(rèn)為探究性學(xué)習(xí)對(duì)激發(fā)預(yù)科生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)熱情、提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量具有一定的實(shí)際意義。

關(guān)鍵詞：預(yù)科學(xué)生；探究性學(xué)習(xí)；分部積分法

探究性學(xué)習(xí)是一種自主探索學(xué)習(xí)。它通常是指在教師的引導(dǎo)下，為學(xué)生針對(duì)教學(xué)過程的探索而開展的探究性學(xué)習(xí)，是教育教學(xué)改革的需要，也是實(shí)施素質(zhì)教育的需要。在這種探究性學(xué)習(xí)過程中，需要學(xué)生通過自己的親身體驗(yàn)、動(dòng)手操作、合作交流，主動(dòng)去發(fā)現(xiàn)問題，并創(chuàng)造性地解決問題。因此，這種探究性學(xué)習(xí)可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)精神和實(shí)踐動(dòng)手能力，也“具有更強(qiáng)的問題性、實(shí)踐性和解決問題性”，也可以說這是探究性學(xué)習(xí)的核心。

一般來說，少數(shù)民族預(yù)科學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較薄弱，提高預(yù)科生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，并很好地掌握吸收老師在課堂上所教授的數(shù)學(xué)知識(shí)，是當(dāng)今預(yù)科教育老師所面臨的重要問題。在推進(jìn)教學(xué)教改的活動(dòng)中，筆者發(fā)現(xiàn)在習(xí)題課講解中開展探究性學(xué)習(xí)，往往會(huì)取得很好的教學(xué)效果。下面讓我們介紹“在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用分部積分法探索探究性學(xué)習(xí)”。

一、 引導(dǎo)學(xué)生課前復(fù)習(xí)

1. 常用湊微分：-1x2dx=d1x，1xdx=2dx等

2. 微分公式應(yīng)用：cosxdx=dsinx等

二、 分組進(jìn)行學(xué)習(xí)討論如下

1. 引導(dǎo)學(xué)生觀察

對(duì)于某些不定積分的計(jì)算，如∫xexdx，∫xlnxdx，∫arctanxdx，∫excosxdx等，基本沒有公式可循，也不便用換元法求解，常用另外一種積分方法求解。

設(shè)u（x），v（x）有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，由微分公式，有

d（uv）=udv+vdu

移項(xiàng)整理后，可得

udv=d（uv）-vdu

兩邊求不定積分，有

∫udv=∫d（uv）-∫vdu

這個(gè)公式稱為分部積分公式。

2. 引導(dǎo)學(xué)生探究

實(shí)例1：求∫xcosxdx

解：設(shè)u=x，dv=cosxdx=dsinx，則v=sinx，

∫xcosxdx=∫xdsinx

=x·sinx-∫sinxdx

=xsinx+cosx+c

但如果設(shè)u=cosx，則dv=xdx，即v=x22

∫xcosxdx=∫cosxdx22

=x22·cosx-∫12x2（-sinx）dx

=x22cosx+∫12x2sinxdx

右端的積分比原積分更不容易求出，因此這種設(shè)法不好。恰當(dāng)?shù)倪x取u，v很重要，一般應(yīng)注意：

（1）選取的v要容易求得出；

（2）∫vdu比∫udv容易積出，或者繼續(xù)分部積分容易求出結(jié)果。

實(shí)例2：求∫excosxdx

解：

∫excosxdx=∫cosxdex

=excosx-∫exdcosx

=excosx+∫exsinxdx

=excosx+∫sinxdex

=excosx+exsinx-∫exdsinx

=excosx+exsinx-∫excosxdx

∴∫excosxdx=12ex（cosx+sinx）+c

在本例的求解過程中，我們發(fā)現(xiàn)若需多次用到分部積分法，則要求每一次都是對(duì)同一類型的函數(shù)湊成微分。反之，如果用不同的函數(shù)湊成微分，是求不出積分的。例如：

∫excosxdx=∫exdsinx

=exsinx-∫sinx·exdx

=exsinx-∫sinxdex

=exsinx-exsinx+∫excosxdx

=∫excosxdx

實(shí)例3：求∫sec3xdx

解：

∫sec3xdx=∫secxsec2xdx

=∫secxdtanx

=secxtanx-∫tanxdsecx

=secxtanx-∫tanx·secxtanxdx

=secxtanx-∫secx（sec2x-1）dx

=secxtanx-∫sec3xdx+∫secxdx

=secxtanx-∫sec3xdx+lnsecx+tanx+c

∴∫sec3xdx=12secxtanx+lnsecx+tanx+c

在計(jì)算某些積分時(shí)，往往要同時(shí)使用換元積分法和分部積分法才能完成計(jì)算。

實(shí)例4：求∫e3xdx

解：令3x=t，則dx=3t2dt

∫e3xdx=3∫t2etdt

=3∫t2det

=3（t2et-∫etdt2）

=3（t2et-∫2tetdt）

=3（t2et-2∫tdet）

=3（t2et-2tet+2∫etdt）

=3t2et-6tet+6et+c

=3e3x（3x2-23x+2）+c

在本例中，我們用到了兩種計(jì)算不定積分的基本方法（換元積分法和分部積分法）。它告訴我們在求解不定積分的時(shí)候，往往會(huì)用到多種不同的積分方法。因此，我們要熟悉這些方法的典型類型以及典型解法，在解題時(shí)能夠選擇合適的方法來求解。

三、 學(xué)生分組總結(jié)的探究結(jié)論

分部積分法總結(jié)：

1. ∫p（x）exdx湊微分為∫p（x）dex。

2. ∫p（x）sinxdx，∫p（x）cosxdx分別湊微分為∫p（x）dcosx，∫p（x）dsinx。

3. ∫p（x）lnxdx，把p（x）dx湊微分，如：∫x2lnxdx=∫13lnxdx3。

4. 對(duì)于∫p（x）·反三角函數(shù)·dx，把p（x）dx湊微分。

5. ∫eaxsinbxdx，∫eaxcosbxdx可分別湊微分為∫eaxdcosbx，∫eaxdsinbx，或∫sinbxdeax和∫cosbxdeax。

6. 若需多次用到分部積分法，要求每一次都是對(duì)于同一類型的函數(shù)湊成微分。

7. 在計(jì)算某些不定積分時(shí)，要同時(shí)使用換元積分法和分部積分法。

四、 結(jié)論

在鞏固原有基礎(chǔ)知識(shí)的前提下，開展探究性學(xué)習(xí)，可以大大提高學(xué)生的主觀能動(dòng)性，讓學(xué)生能夠靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)定理。這不但讓學(xué)生主動(dòng)參與到教學(xué)過程當(dāng)中，還激發(fā)了他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。探究性學(xué)習(xí)首先強(qiáng)調(diào)學(xué)生要積極思考、主動(dòng)鉆研；其次強(qiáng)調(diào)老師的正確引導(dǎo)。它對(duì)我們的教學(xué)活動(dòng)具體十分重要的意義。用于開展探究性學(xué)習(xí)的題材有很多，只要我們能夠認(rèn)真分析，積極鉆研，注意收集，結(jié)合學(xué)生實(shí)際情況，就能很好地推進(jìn)它。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊志文.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中開展探究性學(xué)習(xí)的幾點(diǎn)思考[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2001，（11）：10-12.

[2]寧連華.數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)研究的特點(diǎn)及其思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2005，14（4）：28-30.

[3]黃旭玲，等.數(shù)學(xué)教學(xué)中的研究性教學(xué)策略[J].數(shù)學(xué)與管理，2006，（21）：88-89.

作者簡介：

張清良，湖南省吉首市，吉首大學(xué)民族預(yù)科教育學(xué)院。endprint