林美琳

摘 要：在高中數(shù)學(xué)中使學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解題是幫助學(xué)生順利解決數(shù)學(xué)問題的一個(gè)有效的方法。對于高中階段的某些數(shù)學(xué)問題，使用極限思想來解決能使解題過程更加清晰明了。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用極限思想進(jìn)行教學(xué)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑之一。

關(guān)鍵詞：極限思想 高中數(shù)學(xué) 教學(xué)

極限思想不僅是一種應(yīng)用在解題上的方法，同時(shí)還是一種重要的思維方式，在高中數(shù)學(xué)階段占據(jù)著重要的地位。極限思想是微積分的基本思想，在新課程改革中將微積分放在了高中數(shù)學(xué)課程的重要位置上，并且在內(nèi)容上都體現(xiàn)出了極限思想這一數(shù)學(xué)思想，說明了極限思想在高中數(shù)學(xué)階段的重要性。本文從極限的定義出發(fā)，闡述了極限思想的內(nèi)涵，并結(jié)合高中數(shù)學(xué)教材中的內(nèi)容，介紹了極限思想在數(shù)列、函數(shù)和解析幾何中的應(yīng)用，具體講解在其解題過程中是怎樣運(yùn)用極限思想的。[1]

一、極限與極限思想解讀

1.極限的定義

極限的定義在人教A版教材中并沒有直接給出，只在選修課本中定義導(dǎo)數(shù)時(shí)用到了極限符號(hào)，但極限思想的應(yīng)用卻經(jīng)常要用到?？紤]到高中學(xué)生在對形式化極限概念上存在認(rèn)知困難的情況，我們首先來了解一下函數(shù)的極限：當(dāng)x趨近于無窮時(shí)，函數(shù)f（x）存在一個(gè)無限接近的值，公式表示為x∞，f（x）=a，a就是函數(shù)f（x）的極限。數(shù)列的極限定義與極限定義與函數(shù)類似：在無窮數(shù)列{}中，若n趨近于正無窮時(shí)，的項(xiàng)也無限地與某一個(gè)常數(shù)接近，即|-a|近似于0，那么就說數(shù)列的極限為a。

通過上面極限在函數(shù)與數(shù)列中的兩種定于我們可以看出極限就是某一個(gè)變量在變大或者變小的過程中逐漸向某一個(gè)確定的數(shù)值移動(dòng)、卻不能得到的過程，可以看出極限是一種對過程變化的描述。了解極限的定義是正確使用極限思想的基礎(chǔ)。[2]

2.極限思想的內(nèi)涵

極限思想是人們很早就在使用的一種數(shù)學(xué)思想，在過去的“窮竭法”和“二分法”中都蘊(yùn)含著極限思想。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中使用極限思想。更重要的是要培養(yǎng)學(xué)生具備使用極限思想進(jìn)行思考和研究問題的能力，通過問題中的信息構(gòu)造出對應(yīng)的數(shù)列或者函數(shù)f（x），從而根據(jù)定義解決問題。

極限思想的科學(xué)使用可以幫助學(xué)生用發(fā)展的眼光看待問題和處理學(xué)習(xí)、現(xiàn)實(shí)中的問題，幫助學(xué)生完成思想上的跨越，對提升學(xué)生解決實(shí)際問題的能力具有十分重要的幫助。當(dāng)學(xué)生在面對某些難以解決的實(shí)際問題時(shí)，可以借鑒數(shù)學(xué)思想中的極限思想方法，將原本局限在一個(gè)點(diǎn)上的問題擴(kuò)展到一個(gè)區(qū)間上進(jìn)行研究，這個(gè)時(shí)候再回到起始的位置來研究這個(gè)問題，可以取得更好的效果。

二、極限思想的具體運(yùn)用

1.極限思想在數(shù)列中的應(yīng)用

數(shù)列是現(xiàn)如今高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要的組成部分，同時(shí)也是讓很多教師和學(xué)生困擾的一個(gè)內(nèi)容。在數(shù)列的運(yùn)算過程中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)無從下手的情況，而極限思想其實(shí)可以為解決這些問題提供很好的思路。下面，我們使用一些例題來探討極限思想在數(shù)列中的實(shí)際應(yīng)用范圍。

例題1：（2010年全國卷）已知數(shù)列{}中，=1，=c-

（1）設(shè)c=，=，求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式

（2）求使不等式<<3成立的c的取值范圍

分析：問題（1）略過，在這道題的第二個(gè)小問題中要求學(xué)生求出未知數(shù)的取值范圍，根據(jù)題目我們首先確定的是未知數(shù)c只存在于=c-這個(gè)式子之中，而是為止的，因此，要想直接地得出c的取值范圍是十分困難的，所以需要學(xué)生另辟蹊徑，找到合適的解決方法。可以使用極限思想來解決這個(gè)問題，可以針對和分別使用求極限的方式，因?yàn)楫?dāng)n無窮大時(shí)，兩者是相等的，因此，可以得出一個(gè)等式，求得的取值范圍。這種問題是利用極限思想求解的一種典型的問題，需要引起教師和學(xué)生的重點(diǎn)關(guān)注，利用極限思想的方法使這個(gè)問題簡單化。

解題步驟：由題干<<3可以首先確定an是一個(gè)遞增的數(shù)列，且因?yàn)?1，所以數(shù)列是正的，有上界為3，因此，我們可以根據(jù)極限的定義推斷出是存在的，那么不妨先設(shè)=m，則=m，且1

從上述問題可以看出在數(shù)列中求取值范圍的問題時(shí)可以利用到極限思想的使用，在求解這類問題時(shí)，首先需要學(xué)生細(xì)心地觀察數(shù)列的變化趨勢，將可以得到的條件列出來，如是否是等比數(shù)列、是遞增還是遞減、是正數(shù)還是負(fù)的、是否有界等，然后再結(jié)合極限的定義和已知的定義來利用極限思想解決問題。[3]

2.極限思想在函數(shù)中的應(yīng)用

極限與函數(shù)有著密不可分的關(guān)系，高中函數(shù)學(xué)習(xí)過程中有很多問題需要使用極限思想來解決，在極限的定義中也用到了專門用來解釋函數(shù)極限的內(nèi)容。作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，尤其是在新課程改革的環(huán)境下，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決函數(shù)問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的大勢所趨，因此，教師必須要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用極限思想解決函數(shù)問題的方法。下面，我們先來探索一下利用極限思想解決函數(shù)問題的一般思路。

例題2（2011山東高考數(shù)學(xué)題）已知函數(shù)f（x）=+x-b（a>0且a≠1），當(dāng)2

分析：因?yàn)閎是一個(gè)常數(shù)，我們可以很輕易地看出函數(shù)f（x）是單調(diào)遞增的，如果函數(shù)的零點(diǎn)∈（n，n+1）則f（n）<0，那么f（n+1）>0就是恒成立的，而當(dāng)a無限趨近于2并且b無限趨近于3的時(shí)候，f（n）是在無限趨近于+n-3的，所以，我們可以得出+n-3是小于等于0的，同理也可以得出+（n+1）-4≥0，根據(jù)題設(shè)的條件n∈，最終得到n=2的結(jié)論。

通過上面的例題我們可以看出極限思想在函數(shù)問題中經(jīng)常會(huì)用到的形式。一是在遇到求函數(shù)的取值范圍的問題時(shí)經(jīng)常會(huì)用到極限思想，學(xué)生可以先將函數(shù)可以取到的值放大到極限然后再求出范圍；另外還有像上述例題2這種求零點(diǎn)的問題時(shí)，要根據(jù)零點(diǎn)存在性的原則，將未知數(shù)的值取到極限從而得到相應(yīng)的函數(shù)的解析式，進(jìn)而最終得到想要求取的值。

在函數(shù)問題中利用極限思想可以很好地將復(fù)雜的問題簡單化，幫助學(xué)生迅速地掌握問題的解決方法。

3.極限思想在解析幾何中的應(yīng)用

解析幾何問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，涉及到解析幾何的問題一般很容易理解，但是卻因?yàn)橛?jì)算量的問題，學(xué)生很容易出錯(cuò)。解析幾何問題的求解的特點(diǎn)就是用代數(shù)的方法求解題目中的幾何問題，學(xué)生在解決這類問題時(shí)要盡量地避免因?yàn)檫\(yùn)算量過大而產(chǎn)生的影響解題速度和精準(zhǔn)度的問題。利用極限思想可以幫助學(xué)生很好地優(yōu)化解析幾何中運(yùn)算量過大的問題。

例題3（2012天津高考數(shù)學(xué)題）設(shè)橢圓+=1（a>b>0）的左右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)p在橢圓上且是異于A、B的一個(gè)點(diǎn)，O為原點(diǎn)坐標(biāo)。

（1）若直線AP與BP的斜率之積為-，求橢圓的離心率；

（2）若|AP|=|OA|，證明直線OP的斜率k滿足|k|>

分析：問題（1）略過，在這道解析幾何問題中，學(xué)生理解起來一般非常地簡單，按照一般的方法：找出k與離心率e之間的關(guān)系，再根據(jù)離心率的范圍是0

這道題的具體解題過程如下：做出一個(gè)以A為圓心、 OA為半徑的圓O，假設(shè)圓O與圓A相交于點(diǎn)N，所以可以得出|AO|=|AP|=|AN|=|ON|=a的結(jié)論，并且根據(jù)圖形可以得出三角形AOM是一個(gè)等邊三角形，所以∠AOM為60度，根據(jù)題目中的條件a>b>0，可以得出當(dāng)點(diǎn)P，N在x軸的上方時(shí)，<=-；當(dāng)點(diǎn)P，N在x軸的下方時(shí)>=-，根據(jù)上述結(jié)論最終可以得出證明直線OP的斜率k滿足|k|>。

在解答這道問題時(shí)主要用到的是利用橢圓的短軸在無限接近于長軸的過程中會(huì)呈現(xiàn)出一種橢圓趨近于圓的狀態(tài)，即將圓作為一種特殊的處于極限狀態(tài)的橢圓來解答這個(gè)問題，最終只運(yùn)用了少量的計(jì)算就解決了這個(gè)問題。這樣，通過極限思想的使用極大的簡化了在解析幾何中的運(yùn)算量，使問題變得簡單起來。

總結(jié)：綜上所述，可以看出極限思想在高中數(shù)學(xué)知識(shí)中有著廣泛的應(yīng)用，不僅是在數(shù)列、函數(shù)、解析幾何中，在立體幾何問題的解決中也有著巨大的優(yōu)勢。總之，在整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中為學(xué)生傳授極限思想的使用，不僅能使題目的解析更加簡潔，使解題思路豁然開朗，還能有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。利用高觀點(diǎn)解決高中數(shù)學(xué)問題是新時(shí)期素質(zhì)教育下新課程標(biāo)準(zhǔn)提出的一個(gè)重點(diǎn)要求，需要得到廣大高中數(shù)學(xué)教師的充分認(rèn)識(shí)，而極限思想則是高觀點(diǎn)應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)的典型代表，幫助學(xué)生掌握極限思想這個(gè)有利的數(shù)學(xué)工具，能讓學(xué)生更加輕松快樂地面對高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，更加自信地應(yīng)對未來高考。

參考文獻(xiàn)：

[1]邵一丹.高中數(shù)學(xué)關(guān)于極限思想的內(nèi)容梳理及其教學(xué)研究[D].陜西師范大學(xué)，2017.

[2]方澤昱.高中數(shù)學(xué)解題過程中極限思想的運(yùn)用體會(huì)[J].經(jīng)貿(mào)實(shí)踐，2016（23）：213.

[3]郭嬋嬋.極限思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].教育教學(xué)論壇，2014（35）.