吳焚供+張然然

摘要：不同課程的知識結(jié)構(gòu)、課程特點和學(xué)習(xí)目標(biāo)各有不同，所以針對不同的課程開展自主學(xué)習(xí)的方法也各有不同。本文針對數(shù)學(xué)分析課程，從如何端正學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、提高學(xué)生的聽課效率到學(xué)生對概念的理解、對定理的學(xué)習(xí)、知識點的聯(lián)結(jié)等方面，進行深入的探討，闡述了在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中，學(xué)生該如何有效地開展自主學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析；知識結(jié)構(gòu)；課程特點；自主學(xué)習(xí)

“教學(xué)”由“教”與“學(xué)”組成?！敖獭迸c“學(xué)”是個有機的整體。在大學(xué)階段的教學(xué)中，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)顯得更加重要。課堂之中教師“教”的效率高不高，很大程度上取決于課堂之外學(xué)生自主學(xué)習(xí)的效率高不高。學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)也是教學(xué)目標(biāo)的重要組成部分。自主學(xué)習(xí)具有能動性、反饋性、調(diào)節(jié)性、遷移性、有效性等特征。有效的自主學(xué)習(xí)應(yīng)該包含以下五個方面：制訂學(xué)習(xí)目標(biāo)；確定學(xué)習(xí)內(nèi)容和進度；選擇學(xué)習(xí)方法；監(jiān)督學(xué)習(xí)過程；評估學(xué)習(xí)效果。數(shù)學(xué)分析課程的知識結(jié)構(gòu)和課程特點決定了學(xué)生學(xué)習(xí)方法的不同。

數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程，可以培養(yǎng)學(xué)生在分析、推理、計算等方面的能力，扎實的數(shù)學(xué)分析功底是學(xué)好后續(xù)課程的必要前提。在數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)分析課程常常是剛?cè)氪髮W(xué)的數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的一只攔路虎。與高中課程相比較，數(shù)學(xué)分析的特點是概念、定理繁多，知識量大而且高度抽象。面對新的學(xué)習(xí)對象，大多數(shù)學(xué)生很難較快地調(diào)整學(xué)習(xí)方法。不少學(xué)生在上過一周課之后就急切希望教師推薦相關(guān)的參考書和習(xí)題集，他們希望通過反復(fù)練習(xí)大量的習(xí)題掌握知識，但這是一種低效且錯誤的學(xué)習(xí)方法。也有學(xué)生上課努力聽講，課下積極求問，投入了大量的時間，但學(xué)習(xí)成績?nèi)匀徊桓?。教師?yīng)該如何提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的效率呢？

結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣、學(xué)生在學(xué)習(xí)中可能出現(xiàn)的一些誤區(qū)以及數(shù)學(xué)分析課程自身的特點，本文從以下五個方面探討提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)效率的措施。

一、轉(zhuǎn)變依賴思想，提高主動性

在教學(xué)實踐中，大多數(shù)學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度是被動的，對授課教師有很強的依賴性。教師常常能感覺到他們對“知識”的理解是“教材里出現(xiàn)的，而且教師在課堂上講解過的”。有時候連簡單的舉一反三和類比遷移他們也不想花費時間進行思考。例如，在教材第一章中介紹反三角函數(shù)時，教師一般只仔細講解反正弦函數(shù)的定義和性質(zhì)，并交代學(xué)生通過類比可以知道反余弦、反正切和反余切函數(shù)的情況。然而，在后續(xù)學(xué)習(xí)中用到反余弦的時候，有的學(xué)生會說沒有學(xué)過這一部分知識。又如，教師講解了1+tan2x=sec2x以及和差化積公式之后，下次如果需要用到類似的公式時，絕大多數(shù)學(xué)生會認為這是新知識，沒學(xué)過。這些很小的例子，反映的是學(xué)生長期養(yǎng)成的依賴教師進行被動學(xué)習(xí)的習(xí)慣。學(xué)習(xí)應(yīng)該以解決疑問和困惑為導(dǎo)向，而非以完成作業(yè)為目標(biāo)。學(xué)生對知識的獲取也不能僅限于教材和課堂上，特別是在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中，有很多的細節(jié)是需要學(xué)生自己去推敲和探索的，對知識的歸納、對比等任務(wù)都必須由學(xué)生自己來完成，豐富的知識和龐大的體系決定了教師要進行方法的介紹和思路的引領(lǐng)，因此，學(xué)生一定要改變高中的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

二、提高聽課的效率

初學(xué)數(shù)學(xué)分析的學(xué)生大多會在一兩個月后就難以跟上教師的節(jié)奏，有的學(xué)生反映上課時知識量大，一個定理的證明過程中某個知識點沒聽懂，后面就都聽不懂了。久而久之，部分學(xué)生會喪失對學(xué)習(xí)的興趣，甚至有的學(xué)生放棄聽課。失去教師引領(lǐng)的學(xué)生在學(xué)習(xí)時難免要走彎路。課堂聽課的效率取決于學(xué)生課前的預(yù)習(xí)和課后的復(fù)習(xí)是否到位。那么，學(xué)生課前應(yīng)該怎樣預(yù)習(xí)，課后又應(yīng)該如何復(fù)習(xí)才能提高課堂聽課的效率呢？

數(shù)學(xué)分析知識量大，概念定理多，而且定理建立在概念的基礎(chǔ)上，概念與概念間聯(lián)系緊密，定理證明的邏輯推理嚴密。學(xué)生課前的預(yù)習(xí)主要是對新課中用到的已學(xué)過的概念和定理進行復(fù)習(xí)，在預(yù)習(xí)中發(fā)現(xiàn)無法理解的內(nèi)容應(yīng)該標(biāo)記出來，帶著問題聽課，而看得懂的也可以多想想為什么要這樣做，為什么這樣是對的。學(xué)生在課堂上要及時做好筆記，把知識框架、重點、難點、易錯點、受到的啟發(fā)以及新的理解記下來，但不要照抄板書。聽課的主要任務(wù)是帶著問題與教師交流。學(xué)生在聽課時應(yīng)重視教師講解的思路。例如，在教師證明一個定理的時候，學(xué)生應(yīng)該聽清楚教師準備怎么證明，先證什么，再證什么，為什么這樣證明。學(xué)生在聽課的過程中如果有某個細節(jié)暫時沒弄明白，可以先跳過，緊跟教師的思路，不應(yīng)該一直執(zhí)著于某個細節(jié)，細節(jié)處可課后自己再推敲。

課堂上聽課的重點，不僅要聽懂教師講的知識，還應(yīng)觀察教師如何分析問題，模仿教師表述問題的方式，盡可能自己分析問題，使自己表述問題的方式更加專業(yè)和嚴謹。學(xué)生在課后應(yīng)對新授課內(nèi)容進行總結(jié)，如還有不懂的地方應(yīng)該積極向教師提問，不要放過任何疑問。除此之外，學(xué)生還應(yīng)該把新知識與舊知識進行對比、歸類、總結(jié)，在回顧課堂筆記的過程中，聯(lián)系前一章節(jié)的內(nèi)容，不僅梳理知識脈絡(luò)、排除疑問，還可以將知識內(nèi)化吸收。例如，在學(xué)完數(shù)列收斂的柯西準則之后，學(xué)生除了理解并掌握如何利用柯西收斂準則證明數(shù)列收斂和發(fā)散之外，還可以與前面所學(xué)的數(shù)列收斂的必要條件、充分條件（單調(diào)有界原理）、定義等知識點進行歸納，總結(jié)出到目前學(xué)習(xí)階段為止，證明或者判斷一個數(shù)列收斂或者發(fā)散可以用的方法。只有常常對比和總結(jié)整理，學(xué)生才能將這些知識在自己的思維中構(gòu)成一個連接緊密的體系，在理解的基礎(chǔ)上使自己牢固掌握所學(xué)的知識。再如，在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)概念時，學(xué)生要認識到導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上就是函數(shù)極限，所以判斷導(dǎo)數(shù)是否存在本質(zhì)上就是判斷函數(shù)極限是否存在，而左右導(dǎo)數(shù)實質(zhì)上就是某種函數(shù)的左右極限。由此可知，所有用于判斷函數(shù)極限是否存在的方法都可以用來判斷導(dǎo)數(shù)是否存在，而不是僅僅依賴導(dǎo)數(shù)的定義。

課后的總結(jié)和歸納是對學(xué)習(xí)的深化。數(shù)學(xué)分析對于剛上大學(xué)的學(xué)生來說是高度抽象的，課后對教材的反復(fù)推敲也是極為重要的。許多學(xué)生在高中階段養(yǎng)成了輕視教材的習(xí)慣，這是自主學(xué)習(xí)中的一個重大誤區(qū)。高中階段記住公式、反復(fù)做題強化的方法在大學(xué)階段是低效且不可行的。學(xué)生不應(yīng)僅滿足于“知其然”，更應(yīng)該徹底理解教材，努力追求“知其所以然”。要做到“知其所以然”，學(xué)生必須重視教材，將抽象的概念和定理形象生動地重構(gòu)出來！endprint

三、做好概念的理解

概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)分析知識體系的基本元素，概念學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)中的重中之重。在數(shù)學(xué)分析課程的學(xué)習(xí)中，教師要提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，最重要的就是使學(xué)生重視概念學(xué)習(xí)，掌握學(xué)習(xí)概念的方法和技巧。大多數(shù)學(xué)生經(jīng)過高中階段的學(xué)習(xí)之后，形成了重視解題而輕視教材、輕視概念理解的習(xí)慣。這是一個非常普遍的誤區(qū)。李邦河院士曾指出：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也。”在概念的理解中，正反的對比、細節(jié)的推敲是深挖概念內(nèi)涵、揭示概念本質(zhì)的有效方法。

例如，數(shù)列極限的概念可以說是整個數(shù)學(xué)分析課程中最重要的，也是學(xué)生接觸到的第一個高度抽象的概念。要理解好數(shù)列收斂“ε-N”的定義，首先，應(yīng)該從正面來理解定義中每個符號的含義，要理解ε是任意小的整數(shù)、N對ε的依賴性等。其次，要理解定義所刻畫的本質(zhì)，即不管給定多么小的正數(shù)ε，都存在一個比較大的項N，從這一項以后的數(shù)列的所有的項與常數(shù)a的距離都能小于任意小的正數(shù)ε。在理解這個本質(zhì)之后，再對定義中的一些細節(jié)進行更仔細的推敲。例如，定義N∈N+中的可以修改為N>0，“|an-a|<ε”與“|an-a|≤ε”沒有本質(zhì)區(qū)別等。此外，教師在講解例子時應(yīng)突出ε和N的關(guān)系。

在概念的學(xué)習(xí)中，應(yīng)多從概念的相反的角度來加深對概念的理解。以“ε-N”定義為例，也就是要弄清楚數(shù)列{an}不以a為極限時應(yīng)該如何定義，通過對收斂的定義的否定，可以得到：ε0>0，N>0，n0>N，使得|an-a|≥0，則{an}不以a為極限。正反的對比能讓學(xué)生對定義的內(nèi)在邏輯和細節(jié)之處有更全面的認識。教材中還給出了一個較為直觀的定義，即數(shù)列收斂的幾何定義：任給ε>0，若在U（a，ε）之外數(shù)列{an}中的項至多只有有限個，則稱數(shù)列{an}收斂于a。這為理解收斂的概念提供了另一個不同的角度，當(dāng)然也可以從這個角度歸納出：若存在ε0>0，使得U（a，ε0）之外有數(shù)列{an}的無窮多項，則數(shù)列{an}不收斂于a。

總之，概念的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)的重點，學(xué)生必須通過正反對比，緊抓細節(jié)，使抽象的概念形象化，用自己的語言去概括每一個新學(xué)的概念，使記憶建立在理解之上。

四、做好定理的學(xué)習(xí)

在數(shù)學(xué)分析課程的學(xué)習(xí)中，幾乎每節(jié)新課都有新的定理。定理是學(xué)習(xí)的重點及難點，學(xué)生應(yīng)該在理解中掌握，在運用中熟練。如何才能做好定理的理解和熟練掌握呢？由于定理是由概念組成的，因此要想理解并掌握好定理就必須先熟悉概念和概念間的聯(lián)系。除此之外，從定理本身所承載的知識和思想方法來看，學(xué)生還應(yīng)該從兩個方面來對待定理的學(xué)習(xí)。一是對定理內(nèi)容本身的理解，二是對定理證明的理解。

學(xué)生在學(xué)習(xí)定理的時候常常會進入一個誤區(qū)，把學(xué)習(xí)的重點放在對定理證明的理解上，忽視對定理內(nèi)容的理解。這個定理的條件和結(jié)論是什么？它在敘述一個什么樣的規(guī)律或者什么樣的現(xiàn)象？能否用形象的圖像把這一規(guī)律或現(xiàn)象描述出來？這個定理與其他學(xué)過的知識有什么聯(lián)系，它有什么用？學(xué)生只有理解了這些問題之后，再去理解證明的思想方法才是有意義的。

如何才能理解好定理的內(nèi)容呢？以下三個方面是教學(xué)實踐中學(xué)生掌握得比較差但卻對定理學(xué)習(xí)格外重要的。

1.明確定理的條件與結(jié)論，深挖定理內(nèi)涵，總結(jié)運用定理解決實際問題的方法

例如在學(xué)習(xí)“單調(diào)有界原理”這一章節(jié)的知識時，教師對定理敘述如下：定理（單調(diào)有界原理）在實數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限。實際上，深入思考這一定理，會發(fā)現(xiàn)這個定理指的是：單調(diào)遞增有上界的數(shù)列極限存在且極限為其上確界；單調(diào)遞減有下界的數(shù)列極限存在且極限為其下確界。同時還應(yīng)該認識到定理的條件“單調(diào)有界”僅是數(shù)列收斂的充分條件，而非必要條件。在清楚這個定理的內(nèi)涵之后，便可知道單調(diào)有界的數(shù)列的極限與數(shù)列的界的關(guān)系。再結(jié)合教材給出的例子，學(xué)生可以總結(jié)出利用這個定理來證明數(shù)列收斂的一般步驟。其中，證明數(shù)列有界的時候常常可以先假定數(shù)列有極限，通過遞推關(guān)系確定極限值，再去證明該極限值是數(shù)列的確界。

2.利用圖形將定理描述的現(xiàn)象，具體形象地表達出來

例如，在學(xué)習(xí)羅爾中值定理時，定理的條件是：第一，函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；第二，函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；第三，在區(qū)間端點處有f（a）=f（b）。定理的結(jié)論是：至少存在一個ζ∈（a，b），使得f（ζ）=0。首先，學(xué)生要知道這三個條件是定理結(jié)論成立的充分條件，當(dāng)這三個條件同時滿足時，定理結(jié)論必定成立，但這個條件并非必要的，即結(jié)論成立時，函數(shù)未必需要同時滿足三個條件。此外，這三個條件只要有一個不滿足，結(jié)論都有可能不成立。針對這些細節(jié)，教師在教授這個定理的時候應(yīng)該具體舉出形象直觀的例子，把這些細節(jié)通過圖像直觀地顯示出來。

3.多進行小結(jié)與對比，用自己的語言敘述定理所描述的現(xiàn)象

定理的學(xué)習(xí)除了使學(xué)生明確定理的條件、結(jié)論，并將定理所描述的現(xiàn)象和規(guī)律盡量用圖像形象地描述出來之外，還應(yīng)該使學(xué)生用自己的語言準確地描述、總結(jié)并與已學(xué)知識進行對比，把所學(xué)定理放到已學(xué)知識模塊里面去理解。例如，在學(xué)習(xí)數(shù)列的柯西收斂準則時，學(xué)生要記住柯西收斂準則很容易，但在不理解的前提下記住任何結(jié)論都是毫無意義的。如果能理解ε是任意小的正數(shù)，N是相對于ε而存在的正整數(shù)且一般數(shù)值較大，那教師可以用自己的語言把柯西收斂準則敘述為：數(shù)列收斂當(dāng)且僅當(dāng)無論給定多么小的正數(shù)ε，都會相應(yīng)地存在一個足夠大的正整數(shù)N，從這一項以后數(shù)列的任何兩項之間的距離都能小于任意小的ε。

學(xué)生用自己的語言將所學(xué)定理表述出來，是其知識內(nèi)化的一個必要過程。當(dāng)然，學(xué)生要掌握好這些知識，還需要將定理放到已學(xué)的知識模塊里面進行聯(lián)系和對比?？挛魇諗繙蕜t是判斷數(shù)列收斂的充要條件，那判斷數(shù)列收斂的必要條件、充分條件是什么？判斷收斂發(fā)散還有哪些方法？用柯西收斂準則判斷數(shù)列收斂與直接用定義判斷收斂相比有什么便利之處？做這樣一些聯(lián)系和對比對于定理的理解和整個知識點的聯(lián)通是非常有益的。endprint

五、知識點的串聯(lián)和小結(jié)

數(shù)學(xué)分析內(nèi)容豐富，概念定理繁多，所以教師多進行知識模塊的梳理、小結(jié)，概念間的對比、聯(lián)系，才能使學(xué)生有效鞏固新學(xué)知識，編織出扎實的知識網(wǎng)絡(luò)。

例如在學(xué)習(xí)函數(shù)極限概念的時候，教師一般將函數(shù)分為六種極限過程：xx0，xx0+，xx0-，、x∞，x+∞，x-∞。學(xué)生在初次接觸這一知識時，一般都會對這六個不同極限過程的函數(shù)極限的定義產(chǎn)生混淆。學(xué)生在學(xué)完這些概念之后如果能對定義本身進行正反對比，對定義之間進行橫向?qū)Ρ?，其對細?jié)的理解便會得到加深。例如，通過對比limxx0f（x）=∞與limx∞f（x）=A的定義，便能更清楚地發(fā)現(xiàn)用數(shù)學(xué)語言描述x充分地接近x0和∞的不同，以及刻畫f（x）無限地接近A和∞的不同，也即用任意小的正數(shù)ε來刻畫f（x）與A的接近程度。學(xué)生通過前面數(shù)列定義的學(xué)習(xí)，對這一點不難理解，為了描述“xx0”，引入正數(shù)δ，x要實現(xiàn)充分地接近x0，所以這個正數(shù)δ應(yīng)該是一個比較小的數(shù)。在描述“x∞”時，引入正數(shù)M，x要實現(xiàn)充分地接近無窮大，那么|x|應(yīng)該大于一個比較大的數(shù)M。通過這樣的對比，學(xué)生便能對定義中符號的含義和邏輯關(guān)系有更深入的理解，只有在理解的基礎(chǔ)上才能實現(xiàn)深刻的記憶。

數(shù)學(xué)分析的知識結(jié)構(gòu)是建立在眾多的概念之上的，學(xué)生沒有把握好概念的本質(zhì)，則難以理解和記住眾多的結(jié)論。而概念間的聯(lián)系如果沒有清晰地建立起來，那知識點便是孤立的，這樣建立起來的知識結(jié)構(gòu)也不可能牢固。如果學(xué)生能夠養(yǎng)成對知識點進行梳理和總結(jié)的習(xí)慣，則不難發(fā)現(xiàn)幾乎整個數(shù)學(xué)分析的知識系統(tǒng)就是用極限這一主線串起來的。學(xué)生所學(xué)的重要的概念，如函數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、定積分、瑕積分、無窮積分、級數(shù)等，這些歸根結(jié)底都是某種特殊的函數(shù)極限或者數(shù)列極限，所以學(xué)好數(shù)學(xué)分析的關(guān)鍵在于學(xué)好極限。

六、結(jié)語

數(shù)學(xué)分析這一門課程在整個數(shù)學(xué)學(xué)科各專業(yè)的學(xué)習(xí)中都是非常重要的。學(xué)生學(xué)習(xí)好這一課程，除了為后續(xù)專業(yè)學(xué)習(xí)打下堅實的理論基礎(chǔ)，更重要的是應(yīng)該以這門課的知識作為一個載體，從其中學(xué)會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法。學(xué)生希望學(xué)好數(shù)學(xué)分析，但學(xué)好數(shù)學(xué)分析不僅僅要求學(xué)生掌握這門課的知識，還要通過學(xué)習(xí)不斷地提高分析問題、解決問題的能力，提高學(xué)習(xí)的能力，提升思維的品質(zhì)才是數(shù)學(xué)分析這門課程的根本目標(biāo)。

參考文獻：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]匡繼昌.數(shù)學(xué)教學(xué)要重視基本概念的深入理解[J].數(shù)學(xué)通報，2008（9）：17-20.

[3]龐維國.自主學(xué)習(xí)：學(xué)與教的原理與策略[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2003.

[4]湯敬安，吳玲英.“自主學(xué)習(xí)”的定義與理論研究[J].陜西教育（高教），2007（12）：61-62.

[5]周炎根，桑青松.國內(nèi)外自主學(xué)習(xí)理論研究綜述[J].合肥師范學(xué)院學(xué)報，2007，25（1）：100-104.endprint