黃河清

[摘 要]讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù).研究提高學(xué)生獨立思考的能力策略具有重要的現(xiàn)實意義.通過訓(xùn)練學(xué)生“下結(jié)論”“復(fù)述”“變式”“提問”“感悟”，可有效提高學(xué)生獨立思考的能力.

[關(guān)鍵詞]獨立思考能力；高中數(shù)學(xué)；策略

[中圖分類號] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1674-6058（2018）32-0001-04

數(shù)學(xué)是思維的體操.著名數(shù)學(xué)家波利亞在談到數(shù)學(xué)課的目的時，最為強(qiáng)調(diào)的就是兩點：一是教會學(xué)生思考；二是培養(yǎng)學(xué)生的興趣、好奇心、毅力、意志、情感等非智力因素.這里的“思考”包括兩個方面：一是指“有目的的思考”；二是既包括“形式的”思維，又包括“非形式的”思維.即“教學(xué)生證明問題，也教他們猜想問題”.

事實上，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心價值，就在于高水平的思維訓(xùn)練.具體來說，就是學(xué)會“想”問題.但是，“想”什么？怎樣“想”？ 這需要通過一定的手段去加以訓(xùn)練.

一、訓(xùn)練“下結(jié)論”

“下結(jié)論”是有目的思考的結(jié)果.對課堂上出現(xiàn)的每一個問題（無論是教師提出的還是學(xué)生提問的），都要求學(xué)生力爭迅速形成“自己”的想法.

學(xué)生可以通過觀察、猜想或直覺思維，迅速給出自己的結(jié)論.結(jié)論正確與否并不是最重要的，關(guān)鍵它是學(xué)生“自己”的想法.這樣的鍛煉非常重要，是提高獨立思考能力必須經(jīng)過的一道“坎”.在解題中，“看條件下結(jié)論”是學(xué)生進(jìn)行推理、判斷的基礎(chǔ).

[例1]觀察右圖，你能從中發(fā)現(xiàn)哪些結(jié)論？你能否發(fā)現(xiàn)以下眾多的結(jié)論？

（1）函數(shù)定義域為R；

（2）函數(shù)值域為R；

（3）函數(shù)圖像過原點；

（4）對應(yīng)方程有三個根.一零根，一正根，一負(fù)根；

（5）正根絕對值比負(fù)根絕對值大；

（6）函數(shù)值有正、有負(fù)（存在很多不等式）；

（7）函數(shù)有極大值、極小值；

（8）函數(shù)無最大值、最小值；

（9）函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性；

（10）函數(shù)具有凹凸性.

……

教師堅持不懈地進(jìn)行“下結(jié)論”的訓(xùn)練，學(xué)生就會逐步開闊眼界，能看到原來看不到的東西，想到原來想不到的東西，從而逐步提升分析問題和解決問題的能力.

二、訓(xùn)練“復(fù)述”

“復(fù)述”本質(zhì)上是一種轉(zhuǎn)化.對于課堂上學(xué)習(xí)的知識，學(xué)生要能用自己的語言表達(dá)出來，這是非常重要的.每個人都有自己的思維“圖式”，學(xué)習(xí)的意義在于不斷豐富和完善自身的思維結(jié)構(gòu).特別是數(shù)學(xué)的語言比較抽象，學(xué)生要把符號語言、圖形語言很好地“翻譯”為文字語言，能“講”得出來，并不是一件容易做到的事，只有通過長期堅持訓(xùn)練才能做好.

很多學(xué)生對知識常常 “只能意會不能言傳”.這是很多學(xué)生解題表達(dá)時常思維不清的重要原因——“講”不清楚.因此，對于課堂上教學(xué)的知識，教師要注重訓(xùn)練學(xué)生用自己的語言表達(dá)出來.“復(fù)述”是提升學(xué)生獨立思考能力的重要手段.

[例2] 請用“自己”的語言復(fù)述“曲線的方程”與“方程的曲線”概念.

定義：在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程f（x， y）=0的實數(shù)解建立了如下關(guān)系：

（1）曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解；

（2）以方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點.

那么，這個方程叫曲線的方程，這條曲線叫方程的曲線.

復(fù)述：

（1）這兩個條件反映的是“曲線上的點” 和“以方程的解為坐標(biāo)的點”的關(guān)系.既“不多” 又“不少”， 剛合適！

條件1：說明“曲線上的點”不多于“以方程的解為坐標(biāo)的點”， 即說明曲線上的點都適合條件，“無一例外”.

條件2：說明“曲線上的點”不少于“以方程的解為坐標(biāo)的點”， 即說明適合條件的所有點都在曲線上，“毫無遺漏”.

（2）定義的集合表述. 曲線可以看成點的集合，記為C；一個二元方程的實數(shù)解可以看成點的坐標(biāo)，其解集也描述了一個點集，記為F.

[條件1：C?F條件2：F?C?C=F， 即C={（x， y）|F（x， y）=0}].

可見，加強(qiáng)“復(fù)述”訓(xùn)練，學(xué)生能用自己特有的思維方式去理解和記憶知識，所學(xué)知識就會內(nèi)化為他們自身的學(xué)習(xí)系統(tǒng)，就會成為富有價值的知識.

三、訓(xùn)練“變式”

變式，是指相對于某種范式（即數(shù)學(xué)教材中具體的數(shù)學(xué)思維成果，含基礎(chǔ)知識、知識結(jié)構(gòu)、典型問題、思維模式等）的變化形式.它是解題思維展開的一種重要途徑.

訓(xùn)練變式，就是要學(xué)生注重觀察有關(guān)概念、性質(zhì)、公式、題型等是如何從簡單演變派生到復(fù)雜的，從中理解變式的基本思想，學(xué)會歸納解決問題的方法、策略、技巧，熟練地掌握變式的思維方法，它對提高學(xué)生的辯證思維能力，促進(jìn)學(xué)生不斷地向思維的自覺領(lǐng)悟階段轉(zhuǎn)變，具有不可替代的作用.

變式，常常通過以下方式進(jìn)行.

（1）語言變式

數(shù)學(xué)語言通常有以下形式：文字語言、圖形語言、符號語言.從某種意義上來說，數(shù)學(xué)解題就是不斷實施語言的轉(zhuǎn)化，從中發(fā)現(xiàn)解題思路，進(jìn)而求解的過程.鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換能力是十分重要的.

（2）圖形變式

教師要注重訓(xùn)練學(xué)生將圖形由標(biāo)準(zhǔn)位置改變?yōu)榉菢?biāo)準(zhǔn)位置，由基本圖形改變?yōu)榉腔緢D形，這種訓(xùn)練能加強(qiáng)學(xué)生對概念的本質(zhì)特征的理解.教師還要注重以基本圖形為“生長點”，將其引申變換為組合圖形而得到變式題組，以此培養(yǎng)學(xué)生的想象能力、變換能力及創(chuàng)新意識.

（3） 概念變式

它包括反映該概念本質(zhì)屬性的各種變化形式，如符號表示、等價說法、圖形變式及反面實例等.

（4） 定理變式

數(shù)學(xué)定理揭示了幾個概念之間的某種本質(zhì)聯(lián)系，是經(jīng)過嚴(yán)格論證的數(shù)學(xué)命題.掌握定理就意味著要明確定理的結(jié)構(gòu)特征（條件和結(jié)論），弄清定理的來龍去脈、推理方法和適用范圍.改變條件或改變結(jié)論，會產(chǎn)生怎樣的命題？該命題正確嗎？定理的逆命題是否成立？定理的等價命題有哪些？這些都是定理變式.

（5） 公式變式

與定理變式相類似，公式變式更注重符號表示和式子結(jié)構(gòu).改變公式的式子結(jié)構(gòu)，可得到各種變式.

如，由公式 [tan（α+β）=tanα+tanβ1-tanα?tanβ] ，可得

[tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanα?tanβ）].它的一大特征是出現(xiàn)“兩項的和與積”， 其直接的應(yīng)用如例3.

[例3]求[tan17°+tan43°+3tan17°?tan43°]的值.

解：[tan17°+tan43°+3tan17°?tan43°]

[=tan（17°+43°）（1-tan17°?tan43°）+3tan17°?tan43°]

[=tan60°（1-tan17°?tan43°）+3tan17°?tan43°]

[=3（1-tan17°?tan43°）+3tan17°?tan43°]

[=3]

（6） 題目變式

題目變式即一題多變.其實質(zhì)是問題結(jié)構(gòu)的變式.從一道例（習(xí)）題出發(fā)，運(yùn)用逆向或橫向思維，通過改變題目的條件，變數(shù)字、變字母、變符號等手段，使原題變成一組變式題.通過研究這組變式題，形成完整的知識結(jié)構(gòu).

[例4]已知數(shù)列[{an} ， 其中a1=1 ， an+1=an+1 （n∈N*） ]，①求它的通項公式.

若著眼于此題的條件變更及結(jié)論變更，可提出如下問題.

變式1： 把①式中的“1”改為n，即[an+1=an+n .]②

求它的通項公式.

解：[∵an+1-an=n ， a2-a1=1， a3-a2=2 ，…，an-][an-1=n+1 .]

將以上n-1個式子相加，得an-a1=1+2+…+（n-1）[=n（n-1）2 ，][∴an=n（n-1）2+1 .]

變式2： 把①式中的“1”改為2 n-1，即[an+1=an+2n-1]，③求它的通項公式.

同變式1的解法得出答案：[an=2n-1 .]

小結(jié)：形如[an+1=an+f（n）]的遞推關(guān)系式，常用疊加的思想方法，化歸為等差或等比數(shù)列求和.

變式3：把①式中an前面的系數(shù)變化，如改成2，即

[an+1=2an+1]，④求它的通項公式.

解： [∵an+1=2an+1 ，][∴an+1+1=2（an+1） ，（?）]

[∴an+1+1an+1=2 .]

[∴{an+1} ]是以首項為a1+1=2，公比為2的等比數(shù)列.

[∴an+1=2?2n-1=2n ，∴an=2n-1 .]

注：（[?]）式中的“1”是湊配而來的，也可用待定系數(shù)法確定.

小結(jié)：形如[an+1=can+d （c≠0， c≠1， d≠0） ]的遞推關(guān)系式，采用湊配方法或待定系數(shù)法.設(shè)[an+1+l=c（an+l） ，則 an+1=can+cl-l，]與原遞推式比較得[（c-1） l=d ， l=dc-1]，再用構(gòu)造法，將其化歸為等比數(shù)列問題.

變式4：將④式中的常數(shù)換成一個冪，比如[an+1=2an-3n ，] ⑤求它的通項公式.

解法1：仿照變式3中解法，將遞推式變形為[an+1+3n+1=2（an+3n）]，則湊配成一個{an+3n}的等比數(shù)列，由此得到[an=2n+1-3n .]

解法2：把遞推式⑤兩邊同除以[3n+1]，得[an+13n+1=23·an3n-13 ，]再把[an3n]看成一個整體，令[cn=an3n ， 則 cn+1=23cn-13 .] 這就回到類似于④式的遞推形式，可用待定系數(shù)法配湊成等比數(shù)列解之，這是求解這類問題的通法.

小結(jié)：形如[an+1=can+dn （c≠0， c≠1， d≠0） ]的遞推關(guān)系式，可采用類似于處理⑤式的湊配方法，用構(gòu)造法化歸為等比數(shù)列問題.

變式5：將①式中[an+1 、 an 換成倒數(shù) ， 即 1an+1=1an+1 ，]將此式化簡，得[an=an+1+anan+1 ]，即 [an+1=an1+an .] ⑥

遞推式⑥可湊配成倒數(shù)的遞推關(guān)系式，轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列解之.

變式6： 將⑥式改為 [an+1=3an1+an .] ⑦

⑦式可化為[an+1+anan+1=3an ，]兩邊同除以[an+1an ，]得[1an+1=3an+1 ，]即 [1an+1=13·1an+13 .]

令[bn=1an ， 則 bn+1=13bn+13]，回到類似于④式的遞推形式，再湊配成等比數(shù)列求解.

小結(jié)：形如[an+1=manb+can ]（其中m、b、c均為非零常數(shù)）的遞推關(guān)系，采用湊配成倒數(shù)的思想方法，化歸為等差、等比數(shù)列問題.

我們知道數(shù)列{an}，如果滿足關(guān)系式 [an+1=qan（q≠0） ，]⑧則數(shù)列為等比數(shù)列.

變式7：將⑧式中的q改為[nn+1]，即 [an+1=nn+1an ，] ⑨ 求[an].

解法1：[∵an+1an=nn+1 ，][∴ a2a1=12 ， a3a2=23 ， a4a3=34 ， … ， anan-1=n-1n ，]