盧瑤瑤

[摘 要]學(xué)生在認(rèn)識乘法分配律時(shí)，往往孤立地看兩個(gè)算式，或從代數(shù)結(jié)果一致的角度感受相等關(guān)系。對于兩個(gè)代數(shù)式之間建立相等關(guān)系的深層次原因，教材不曾揭示，這樣一來，學(xué)生也就無法深刻認(rèn)識到分配律從形式到內(nèi)涵上的本質(zhì)規(guī)律，對此，只有采用直觀式教學(xué)才能解決問題。

[關(guān)鍵詞]直觀；教學(xué)；本質(zhì)；直觀式教學(xué)；乘法分配律；數(shù)學(xué)本質(zhì)

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）35-0026-02

弗賴登塔爾認(rèn)為：學(xué)習(xí)的最佳捷徑是實(shí)踐。通過二次創(chuàng)造獲取的知識、形成的技能要比被動灌輸接受，掌握得更牢固，提取運(yùn)用時(shí)也更加及時(shí)順利。弗賴登塔爾曾經(jīng)說：“如果有可能，將學(xué)生置身于具體生動的情境中，進(jìn)行直觀地學(xué)習(xí)，學(xué)到什么是什么。不做任何強(qiáng)加解釋，也不進(jìn)行任何引導(dǎo)歸納，更不形成公式法則?！备ナ系闹庇^教學(xué)法，令筆者茅塞頓開。

一、教材模式的不足

為了備好“乘法分配律”這一課，筆者參考了許多教案，發(fā)現(xiàn)一個(gè)普遍存在的做法，就是從猜想分配律公式到舉例驗(yàn)證其合理性，通過完全歸納法概括出一般定律。蘇教版教材四年級下冊也是借助相關(guān)情境圖來闡述分配律規(guī)則的：

第一步，從買5件皮夾克和5條長褲的總價(jià)入手，運(yùn)用兩種方法列出兩個(gè)算式，然后用等號連接建立等式；

第二步，通過觀察對比等式兩邊的算式形態(tài)，分析推導(dǎo)其中的邏輯關(guān)聯(lián)，初步提出公式；

第三步，按照原型仿寫算式，通過比較計(jì)算結(jié)果的大小，證實(shí)這種聯(lián)系的普遍性；

第四步，用代數(shù)式表達(dá)規(guī)律。

這一學(xué)習(xí)流程，要求學(xué)生理性思維能力具有一定水準(zhǔn)，思考問題細(xì)致周全、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，注意力長時(shí)間集中。然而面對這一學(xué)習(xí)流程，學(xué)生往往心緒不寧，焦躁不安，缺乏耐心，較易松懈。更為重要的是，從猜想到求證的過程中，學(xué)生的思維習(xí)慣是將等號左右兩邊的算式隔離后再分析，只關(guān)注結(jié)果的一致引起的相等關(guān)系，從結(jié)果一致反推出算式的相同。這一過程中，學(xué)生對分配律的認(rèn)識是呆板和狹隘的，學(xué)生無法動態(tài)推演分配變化的過程，未能深入領(lǐng)會其真正的內(nèi)涵，思維活動“程序化”就像是走過場。如此一來，學(xué)生也就無法在腦海里將分配律的外在格式和內(nèi)在精要貫通起來，造成的后果是麻木地套用公式，這進(jìn)一步加大了學(xué)習(xí)乘法分配律的難度。

二、直觀式教學(xué)初探

1.復(fù)習(xí)引入

師（出示兩個(gè)長方形，長和寬分別為4、3厘米和5、2厘米）：請求出圖1中兩個(gè)長方形面積之和。

生1：可以把兩個(gè)長方形拼接起來，計(jì)算組合圖的總面積。

師：大家按面積公式列式[4×3+5×2]后，計(jì)算可分三步，前兩步先分別求出兩個(gè)長方形的面積，再相加求總面積。

從長方形面積公式入手，將代數(shù)題型轉(zhuǎn)化為直觀幾何題，在兩個(gè)長方形面積之和的具體直觀情境中，學(xué)生一步步經(jīng)歷乘法分配律的生成過程。

2.探索規(guī)律

師：現(xiàn)在對圖形做一些變動，將第二個(gè)長方形的寬度變?yōu)?厘米。大家再列式求這兩個(gè)長方形的面積之和。

學(xué)生很快列出算式并算出結(jié)果：[4×3+5×3=12+15=27（cm2）]。

師：大家做得很對，太棒了！那么還有沒有不同的做法？現(xiàn)在數(shù)據(jù)變了，兩個(gè)長方形的寬度相同，組合圖的形狀也發(fā)生了變化，第二次組合圖與第一次組合圖有所區(qū)別。

（學(xué)生分小組合作探究）

師：如圖2，此時(shí)組合圖從整體上看就是一個(gè)大長方形，兩個(gè)長方形的寬度一樣，都為3厘米，所以沿寬拼貼，剛好讓長“共線”，于是新的長為4+5=9（cm），寬仍為3厘米，得出[（5+4）×3=27（cm2）]。

師：回過頭來看圖1，能否使用新方法計(jì)算？

生2：不行！

師：仔細(xì)對比前后兩幅圖，知道其中的原因嗎？

生3：圖1中的兩個(gè)長方形沒有等長的邊，無法組合成新矩形，而圖2中兩個(gè)長方形的寬度相等，導(dǎo)致長可以在一條直線上，剛好組合成一個(gè)新長方形。

師：如果將圖1中的第二個(gè)長方形的長度稍作改變，使之解答可用新方法。該怎么改？

生4：將第二個(gè)長方形的長度由5厘米改為4厘米，這樣就能將兩個(gè)長方形的長合并起來，可以得到一個(gè)新的長方形（如圖3）。

列式：[4×（3+2）=20（cm2）]。

師：兩種方法所求的是同一個(gè)大長方形的面積，也就是兩個(gè)小長方形面積之和，于是得到[4×3+5×3=（4+5）×3]，[4×3+4×2=4×（3+2）]。

師（指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察等號左右兩邊）：下述哪個(gè)算式可以用第二種方法計(jì)算？判斷后請作圖檢驗(yàn)。 [8[×]8+5[×5]][8[×]3+3[×5]][8[×]3+3[×5]][8[×]3+3]

學(xué)生討論、畫圖檢驗(yàn)后，整理算式為：

[8×3+3×5=（8+5）×3]

[8×3+3=（8+1）×3]

三、滲透數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)最本質(zhì)的東西是抽象，抽象是創(chuàng)造的基礎(chǔ)。

乘法分配律比交換律和結(jié)合律更加復(fù)雜。按照教材的設(shè)計(jì)思路講授，學(xué)生就會將注意力分散于兩種代數(shù)式上，不會深入反思為什么二者相等，是不是所有的面積組合都可以運(yùn)用新方法計(jì)算。學(xué)生學(xué)習(xí)伊始就依賴于新算法，甚至執(zhí)迷于新算法，喪失了繼續(xù)深究與鑒別的動力。本課的設(shè)計(jì)改變了教材提出的由情境到猜想的模式，逐步出示兩種方法，簡單復(fù)習(xí)之后，馬上提出形式相近的變式，學(xué)生立刻警覺：運(yùn)用第二種算法是有前提條件的，那就是兩個(gè)矩形必須有一條等長的公共邊。對這一前提條件的清醒認(rèn)識，有利于凸顯分配律中左右兩個(gè)算式的本質(zhì)聯(lián)系。

分配律的表述比較多，沒有統(tǒng)一范式，因此學(xué)生總結(jié)分配律時(shí)就有很大的發(fā)揮空間。但無論哪種表達(dá)式，都少不了對其進(jìn)行語言描述。教材將乘法分配律歸納為字母表示形式“[（a+b）×c=a×c+b×c]”，從舉例驗(yàn)證到字母歸納，自始至終都是在數(shù)字演算上做文章，學(xué)生很容易沉淪在抽象思維的泥潭里。本課設(shè)計(jì)，從改變長方形的長和寬的長度引出兩種面積算法，趁勢引發(fā)學(xué)生思考哪種情形才適合用新方法，并借助畫圖操作與合理聯(lián)想，賦抽象的“分配”予具體的幾何線條，使枯燥的學(xué)習(xí)變得生動有趣起來。

現(xiàn)在的數(shù)學(xué)課堂因?yàn)檫^度追求理性思維，大幅縮減直觀教學(xué)，軟件演示代替了手工操作，理性推理代替了感性體驗(yàn)，學(xué)生思維負(fù)擔(dān)增加，學(xué)習(xí)樂趣直線下降，這不得不引起教師的警惕和深思。

（責(zé)編 童 夏）