史俊峰
【摘 要】高中數(shù)學(xué)是一項邏輯性、理論性較強的學(xué)科,對培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng),拓展學(xué)生理性思維,促進學(xué)生全面發(fā)展具有重要意義。立體幾何作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點內(nèi)容,不僅是教育教學(xué)重點,也是學(xué)生學(xué)習(xí)難點,對立體幾何問題解析方法的掌握,有利于提升高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量與效率?;诖?,本文筆者結(jié)合自身學(xué)習(xí)經(jīng)驗,對高中數(shù)學(xué)立體幾何問題解析方法進行了研究,以期為關(guān)注這一話題的人提供幫助,促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量的提升。
【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);立體幾何;解析方法
引言
幾何學(xué)作為實際物體結(jié)構(gòu)、形狀、位置關(guān)系、大小研究的數(shù)學(xué)學(xué)科,對學(xué)生空間認(rèn)知能力、思維想象力、推理證明能力的培養(yǎng)與提升具有重要作用。因此,在認(rèn)知立體幾何結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上,應(yīng)用數(shù)學(xué)語言進行關(guān)系表述,運用解析方法進行幾何問題處理,是我們學(xué)習(xí)的重點也是難點?;诖?,筆者針對立體幾何問題,在學(xué)習(xí)總結(jié)上提出了以下幾種解析方法,以供參考。
1.認(rèn)識并理解立體幾何結(jié)構(gòu)規(guī)律
幾何問題是數(shù)學(xué)學(xué)科領(lǐng)域中的重點問題,立體幾何問題的學(xué)習(xí),是認(rèn)知三維空間圖形,培養(yǎng)空間思維創(chuàng)造能力、事物推理能力的重要手段與途徑。作為高中必修課程中的關(guān)鍵知識點,對立體幾何結(jié)構(gòu)的認(rèn)知與理解,是解析立體幾何問題的關(guān)鍵。對此,我們在原有數(shù)學(xué)平面幾何基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上,應(yīng)通過觀察與聯(lián)想,對空間幾何具有一定的認(rèn)知,從而為以后立體幾何問題的分析與解答奠定基礎(chǔ)。
例如,在長方體的學(xué)習(xí)中,首先應(yīng)明確認(rèn)知長方體的組成結(jié)構(gòu),并對空間中長方體各點、線、面位置關(guān)系具有明確的認(rèn)知與了解。其次,運用數(shù)學(xué)符號語言,對長方體中點、線、面平行、垂直關(guān)系進行表述,加深自身對立體幾何性質(zhì)與相關(guān)判定的掌握與運用,如用字母a表示線段“線線垂直”表示為“a■⊥a■”。與此同時,在掌握其基本性質(zhì)與定理的基礎(chǔ)上,對空間幾何體表面積、體積等計算公式與方法進行掌握,用以為后期復(fù)雜的立體幾何問題的求解奠定基礎(chǔ),保證思維的清晰,能夠在最短時間內(nèi)找到與之相符的性質(zhì)、判斷定理與公式,從而提升解題效率。
2.采用向量法進行立體幾何問題解析
由向量法的定義:“如果直線l與平面a垂直,那么在直線l上區(qū)向量a,則可以說a垂直于平面a,用數(shù)字符號表示,則記作a⊥a,同時向量a叫做平面a的法向量”。通常情況下,在線面垂直問題、線面平行問題、線線垂直問題、面面垂直問題等中應(yīng)用,具有良好的效果。因此,在立體幾何問題解析中,可應(yīng)用向量法解析“異面直線距離”問題、“點到直線的距離”問題以及“直線與平面成角”等問題。
2.1應(yīng)用向量法解“異面直線間的距離”立體幾何問題
關(guān)于異面直線間的距離:在異面直線l■、l■中,E、F分別為a、b上的兩個點(如圖所示),■直線l■、l■的法向量,那么異面直線l■、l■上E、F兩點間的距離則可表示為:D=■。與此同時,如果設(shè)θ為異面直線l■、l■的夾角,■,■為直線l■、l■的向量,則有cosθ=■。
圖1異面直線間的距離
例1如圖2,在四棱錐P-ABCD中,線段PD垂直于地面矩形ABCD,其中點E在線段AB上,線段PE與線段EC垂直。已知PD=■,AE=1/2,CD=2。求:異面直線PD與EC之間的距離。
圖2
解:以D點為坐標(biāo)原點,建立x、y、z之間坐標(biāo)系。假設(shè),DA=a,則有點A為(a,0,0),點B為(a,2,0),點C為(0,2,0),點D為(0,0,0),點P為(0,■,0),點E為(a,■,0)。
由題意可知,PE⊥EC,所以P■·E■=0,故可解得a=■。所有可知,D■·E■=0,則有DE⊥EC,又因為DE⊥PD,則DE為直線PD與EC的公垂線,帶入公式,可解得DG=1,因此,異面直線PD與EC之間的距離為1。
2.2應(yīng)用向量法解“點到直線的距離”立體幾何問題
例2,如圖3所示,ABCD是邊長為4的正方形,其中E、F分為線段AD與AB的中點。已知GC與平面ABCD垂直,且GC長為2。求:點P到平面EFG的距離。
解:以C為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的x、y、z直角坐標(biāo)系,由GC=2??傻肁(4,4,0),B(0,4,0),C(0,0,0),D(4,0,0),E(4,2,0),G(0,0,2),F(xiàn)(2,4,0)。
假設(shè)關(guān)于平面EFG的法向量■的坐標(biāo)為(x,y,z),
則有■·E■=(x,y,z)·(-2,2,0)=0 ①
■·G■=(x,y,z)·(2,4,-2)=0 ②
由①②可得x=y,z=3y。
所以■=(y,y,3y),故可求得d=■=■。
因此,點P到平面EFG的距離為■。
2.3應(yīng)用向量法解“直線與平面成角”立體幾何問題
例3,如圖3所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,其中線段PA垂直于底面ABCD,且PA=AD=4,AB=2,點O為AC的中點。如果以O(shè)為原點,AC長為直徑做球,且球面與PD相交于點M,與PC相交于點N。求:直線CD與平面ACM所成角的值。
圖3
解:以A為坐標(biāo)原點,建立如圖3所示的x、y、z直角坐標(biāo)系,其中AB、AD、AP分為在x、y、z軸上,由PA=AD=4,AB=2可知,A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),P(0,0,4),M(0,2,2)。
假設(shè)關(guān)于平面ACM的法向量■的坐標(biāo)為(x,y,z),根據(jù)■⊥A■,■A■可得到 2x+4y=0,令z=1,則可得■(2,-1,
2y+2z=0
1)。用α表示直線CD與平面ACM所成的角,結(jié)合相關(guān)公式可得sinα=■,代數(shù)數(shù)值可解得直線CD與平面ACM所成角的大小為■。endprint
3.基于函數(shù)思想解答立體幾何問題
函數(shù)思想是“數(shù)學(xué)型”問題解決中的典型思想,它是在辯證主義觀念下通過事物之間的聯(lián)系與變化,進行數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系分析,并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)或函數(shù)關(guān)系式,借助函數(shù)所具有的性質(zhì)、概念,實現(xiàn)對數(shù)學(xué)問題的分析與轉(zhuǎn)化,從而解決數(shù)學(xué)問題??梢哉f函數(shù)思想的運用,不僅是對函數(shù)本質(zhì)內(nèi)涵(定義)的理解,也是通過這種理解去觀察、發(fā)現(xiàn)、處理并解決問題。因此,在高中立體幾何問題解析中,可通過應(yīng)用函數(shù)思想,探尋問題中存在的函數(shù)解析式,通過構(gòu)建函數(shù)關(guān)系,運用函數(shù)性質(zhì)進行問題轉(zhuǎn)化,從而達到“由難變簡”、“由繁化簡”的目標(biāo),進行求解。與此同時,也可將函數(shù)思想與方程思想(從數(shù)學(xué)問題中存在的數(shù)量關(guān)系出發(fā),建立數(shù)學(xué)模型,構(gòu)成方程、方程與不等式/組、不等式/組等)有機結(jié)合,在相互轉(zhuǎn)化與連接中進行問題的解析。
例4,在長方體中,已知頂點A相連的三條棱長之和≤為1,表面積為16/27。求:該長方體的體積的最值。
解:依據(jù)長方體性質(zhì),設(shè)長方體三條棱長的大小分為a,b,c,則長方體的體積為V=abc。
根據(jù)題意可知:a+b+c=1①,2(ab+bc+ac)=■②,
結(jié)合①,②可得出bc=■-(ab+ac)=■-a-a■
因此,長方體體積V(a)=abc=a■-a■-■a
又因為b+c=1-a,bc=■-a-a■
a的范圍為■≤a≤■
故b,c是方程t■-(1-a)t+■-a-a■=0的實根,因此有Vn(a)=3a■-2a+■。可解的長方體的體積最值分別為■、■。
結(jié)論
總而言之,學(xué)習(xí)并掌握立體幾何知識,是我們高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點內(nèi)容。在認(rèn)知立體幾何結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上,學(xué)會用數(shù)學(xué)語言進行幾何關(guān)系的表述,有利于我們進一步理解立體幾何問題。在數(shù)學(xué)知識融合運用下,采用向量法、函數(shù)法進行立體幾何問題的解析具有良好的效果。只有準(zhǔn)確掌握立體幾何問題解析方法,并在此基礎(chǔ)上進行靈活運用,立體幾何問題將不再成為困擾我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的障礙。
【參考文獻】
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