張昆 羅增儒

【摘 要】 ?數(shù)學解題教學設計的一般程序分為三個部分：教師針對某個數(shù)學問題盡可能多地獲得解決的思路;確定解題過程的關鍵環(huán)節(jié);依據(jù)學生發(fā)生解題認識的心理環(huán)節(jié)及其過渡性中介，經(jīng)由選擇教學法的加工，設計具體的解題教學流程.教師悉心地完成上述三個互相關聯(lián)的步驟，在課堂上依據(jù)學生具體的生成情況，加以適當?shù)恼{(diào)整，就會最大限度地提高解題教學的有效性，保質(zhì)保量地完成數(shù)學解題教學任務.

【關鍵詞】 ?數(shù)學解題;解題教學：教學設計;關鍵環(huán)節(jié)

從某種程度上可以說，數(shù)學教學設計的過程就是將作為學術形態(tài)的數(shù)學知識轉(zhuǎn)化為教學形態(tài)的數(shù)學知識的過程.數(shù)學教學設計是一項結(jié)構(gòu)性的整體工程，它的構(gòu)成要素主要體現(xiàn)在互相關聯(lián)的三個側(cè)面：理解所要傳授的具體數(shù)學知識結(jié)構(gòu)所呈現(xiàn)的環(huán)節(jié)及其聯(lián)結(jié)中介的可能組成序列（簡稱“教材分析”）;把握學生萌發(fā)數(shù)學知識（環(huán)節(jié)及其聯(lián)結(jié)中介）的心理環(huán)節(jié)（呈現(xiàn)的是觀念形態(tài)）及其過渡性中介（簡稱“學情分析”）;通過創(chuàng)造性工作找到溝通這兩種組成環(huán)節(jié)及其聯(lián)結(jié)（或過渡性）中介的切合點（簡稱“教學法分析”）.由此教師可以設計出合適的數(shù)學教學過程（如圖1） [1].那么，如何依據(jù)學生發(fā)生數(shù)學知識的心理環(huán)節(jié)及其過渡性中介進行數(shù)學解題教學設計呢？

1 教師獲得問題解決的巧妙思路

在數(shù)學解題教學中，與學生相比，我們教師具有強大的數(shù)學現(xiàn)實，通過深入思考，往往會發(fā)現(xiàn)非常巧妙的解決問題的邏輯思路，此時，如果教師直白地將這種邏輯思路直接地“下載”給學生，就會造成數(shù)學解題活動教育價值的極大損失.因此，好的數(shù)學解題教學設計在于教師想方設法將這種邏輯過程轉(zhuǎn)化為學生發(fā)現(xiàn)解題思路的心理過程，也就是將形成解題過程的邏輯環(huán)節(jié)及其聯(lián)結(jié)中介轉(zhuǎn)化為學生萌生這一思路的心理環(huán)節(jié)及其過渡性中介，使這一思路邏輯過程的環(huán)節(jié)及其聯(lián)結(jié)中介仿佛是學生從他自己心靈深處發(fā)生的.這是數(shù)學解題教學設計的真正要緊的地方，教師的努力也需要圍繞著這一轉(zhuǎn)化過程展開.我們看一個具體解題教學的例子.

例1 （2010年全國高考湖北卷理科題22） 已知函數(shù)f（x）=ax+ b x +c（a>0）的圖象在點 1，f（1） 處的切線方程為y=x-1.

（Ⅰ）用a表示出b，c;

（Ⅱ）若f（x）≥lnx在 1，+SymboleB@ 上恒成立，求a的取值范圍;

（Ⅲ）證明：1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 n >ln 1+n + n 2 n+1?? n≥1 .

分析 請讀者自行尋找結(jié)論（Ⅰ）為：b=a-1，c=1-2a;結(jié)論（Ⅱ）為：a∈? 1 2 ，+SymboleB@ .

關于問題（Ⅲ），筆者通過長時間的思考，發(fā)現(xiàn)了一條巧妙思路：記1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 n > ln 1+n + n 2 n+1?? n≥1 為不等式①，仔細審視不等式①，發(fā)現(xiàn)這個不等式左邊的形式可以記為1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 n =∑ n ?k=1 ?1 k ②.

由于ln n+1 =∑ n ?k=1 ?ln k+1 -lnk ③， n 2 n+1? =∑ n ?k=1 ??1 2k - 1 2 k+1?? ④，由③、④相加，知ln n+1 + n 2 n+1? =∑ n ?k=1 ?[lnk+1-lnk]+? 1 2k - 1 2 k+1??? ⑤.于是，仔細觀察比較①、②與⑤的具體特點，知只要證明 1 k >ln k+1 -lnk+ 1 2k - 1 2 k+1? ⑥，對于⑥進行移項、合并同類項，知等價于證明 1 2k + 1 2 k+1? >ln 1+ 1 k? ⑦就達到了目的.

對于函數(shù)f（x）=ax+ b x +c（a>0），且b=a-1，c=1-2a，又且當a∈? 1 2 ，+SymboleB@ 時，f（x）≥lnx在 1，+SymboleB@ 上恒成立，并且不難得到當x>1時，f（x）>lnx.取a= 1 2 ，當x>1時，則有 x 2 - 1 2x >lnx⑧.在⑧中，取x= k+1 k? ，知 k+1 2k - k 2 k+1? >ln 1+ 1 k?? ⑨.比較不等式⑦與⑨，只要證明 k+1 2k - k 2 k+1? ≥ 1 2k + 1 2 k+1? 就行了.對此，我們不難通過計算，得 k+1 2k - k 2 k+1? = 1 2k + 1 2 k+1? ，從而由⑨成立得到⑦成立.

這道題的思路我們已經(jīng)找到了，這條思路不同于當年高考命題者所提供的參考答案，計算簡潔，方法優(yōu)雅，具有較好的創(chuàng)新性.如果將這種答案不加以教學法的加工與處理，而直接“交給”學生，那就將會失去數(shù)學解題過程的很多促進學生思維品質(zhì)、數(shù)學能力發(fā)生與發(fā)展的教學價值，也不會幫助學生在解題中生成有用的數(shù)學觀念，及欣賞解題過程中的數(shù)學美感.為了更好地發(fā)揮數(shù)學解題教學的價值，我們應該首先從解答過程確定促進學生諸多心理品質(zhì)發(fā)生與發(fā)展的關鍵環(huán)節(jié)，然后，再考慮對此進行教學設計.

2 數(shù)學解題思路中的關鍵環(huán)節(jié)的確定

眾所周知，數(shù)學問題解題的過程，就是建立題設條件之間的聯(lián)系而構(gòu)成問題結(jié)論的過程，在解題過程中，題設條件與結(jié)論之間的貫通是由學生已經(jīng)掌握了前在的數(shù)學知識作為橋梁的 [2].依據(jù)這種視角來看，仿佛是解題者前在的數(shù)學知識解決了問題（數(shù)學問題、或者生活中的問題），但是，問題的本質(zhì)不是這樣的，其中，我們必須看到：

其一，這種前在的數(shù)學知識是相對而言的，作為人類的數(shù)學知識與作為個體的數(shù)學知識，在解決問題時起著不同的作用.在數(shù)學解題教學過程中，教師是人類數(shù)學知識的代言人，教師將可以解決的數(shù)學問題或利用數(shù)學知識解決的生活中的問題，轉(zhuǎn)化為培養(yǎng)學生相關心理品質(zhì)的資源與力量.因此，在數(shù)學解題教學的過程中，數(shù)學教師需要首先幫助學生掌握解決某個問題所需要的知識，因為，如果學生目前的認知結(jié)構(gòu)中還不具有如此的數(shù)學知識，他是不可能解決這一數(shù)學問題的.我們設想對于學生而言，這在教科書中所出現(xiàn)的數(shù)學問題，或者數(shù)學高考題，一般情況下通過課程的安排，學生已經(jīng)掌握了這樣的數(shù)學知識，至于針對某學生個體的特殊情況，需要具體的教授這個學生的教師單獨考慮.

其二，只具有解決某個問題的數(shù)學知識還是不能解決問題的，因為，雖然是數(shù)學知識架設起從題設條件到問題結(jié)論的橋梁，但是，作為人類的數(shù)學知識如果不與學生個體相結(jié)合，那么，對于學生而言，這種知識還是客觀的，不能為他所用，他還依然不能解決問題.人類的數(shù)學知識只有與具體個體的意識結(jié)構(gòu)相結(jié)合，這才是屬于具體個體的數(shù)學知識，這種數(shù)學知識對于這個個體才是有效的，才能支配知識去分析問題與解決問題.

其三，雖然個體擁有解決某問題的數(shù)學知識，但是在將這種數(shù)學知識運用到具體問題中的過程中，這一知識總是被個體征調(diào)的，形成知識運動的動力來源于個體思維活動的能動性，就是說，解題時，知識是僵死不動的，總是被個體支配的，問題解決的關鍵性環(huán)節(jié)就是在調(diào)整、調(diào)動與整合問題題設條件，知識要在這些題設條件的應用中得其所置，這種個體在問題題設的適當位置中安置知識的過程，必須由個體的思維能動性作用才能實現(xiàn)，它需要在個性化的數(shù)學觀念的指令下，才能實現(xiàn).

其四，發(fā)現(xiàn)決定問題的本質(zhì)結(jié)構(gòu)，從而利用數(shù)學知識獲得解決問題思路的過程，就在于從作為題設條件的外在信息中選擇并確定出支點信息.這種選擇的過程又是外在信息與已經(jīng)內(nèi)化、并保存在意識結(jié)構(gòu)中的數(shù)學知識之間的互相吸引，相互誘導，相互調(diào)整，從而實現(xiàn)數(shù)學知識對基于支點信息、并在支點信息“凝聚核”的作用下，將外在諸多信息進行結(jié)構(gòu)化的信息封裝過程，如圖2所示.在這一整套的發(fā)現(xiàn)思路及采取行動驗證發(fā)現(xiàn)的過程中，數(shù)學觀念起著關鍵性的作用.

[JZ] 圖2 數(shù)學解題思維環(huán)節(jié)框架圖

其五，由于個體產(chǎn)生解決問題的行動不是無緣無故的，也不是盲目試誤的過程，而是思維活動通過圖2所示的一整套探究過程，對題設條件外在信息與個體已經(jīng)掌握的數(shù)學知識之間進行醞釀，從而萌生了某些數(shù)學觀念，個體解決問題的行動就是在這些（通過競爭，選擇出的主導性的）數(shù)學觀念指導下進行的.正是數(shù)學觀念的作用，既可以調(diào)動外在問題的題設條件的信息，又可以調(diào)動內(nèi)在解題數(shù)學知識，從而可以將這兩者關聯(lián)起來解決問題.

如此分析，我們可以確定解題教學的關鍵環(huán)節(jié)就在于個體如何取得指導操作題設條件行動的數(shù)學觀念（一種指令）.長期數(shù)學解題與教學經(jīng)驗使我們認識到，學生在習得數(shù)學知識的同時，總是在萌生數(shù)學觀念，這其中有些數(shù)學觀念由于經(jīng)常使用，在解決問題時，個體可以信手拈來，不需要在新出現(xiàn)的問題背景的現(xiàn)場中即興萌發(fā)了，而是成了某種自覺的行為，當此之時，在教師的教學中，就不構(gòu)成解題教學的關鍵環(huán)節(jié);而某些決定問題本質(zhì)的數(shù)學觀念在搜索解題思路中卻不是輕而易舉地可以得到的，此時，教師在解題教學設計時必須幫助學生現(xiàn)場萌生這種數(shù)學觀念 [3].這就構(gòu)成了解題教學設計的關鍵環(huán)節(jié)，確定解題教學設計關鍵環(huán)節(jié)的依據(jù)也就由此而生.

3 數(shù)學解題關鍵環(huán)節(jié)教學設計的構(gòu)想與行動

就本例而言，教師設計這道解題教學的過程可以劃分為如下幾個環(huán)節(jié)：首先，從教師自己所定位的解題思路中確定關鍵環(huán)節(jié)（通過前面的分析，我們已經(jīng)做到了）;其次，追蹤獲得問題思路時處理關鍵環(huán)節(jié)的數(shù)學觀念的源頭;再次，揣摩并模擬學生萌生處理關鍵環(huán)節(jié)指令的心理活動過程 [4].針對例1我們所獲得的思路而言，教師依次確定教學設計的關鍵環(huán)節(jié)在于兩個“數(shù)學觀念”的形成：（1）由（Ⅰ）、（Ⅱ）兩問所建立起來的不等式⑧將要應用到第（Ⅲ）問的不等式①中;（2）由②作為基礎，經(jīng)由③、④而獲得等式⑤，我們不妨稱之為“求繁”的數(shù)學觀念，事實上，它是在不等號（等號）所連接的兩個式子應該具有“對等”的結(jié)構(gòu)，或者更進一步地說，是在學生關于數(shù)學“對稱美”的審美意向作用下而萌生的“對等”結(jié)構(gòu)而建立起來的“求繁”的數(shù)學觀念.

對于（1）中的這種數(shù)學觀念，學生通過長期解答數(shù)學題，已經(jīng)有了很深刻的體驗，因而，它是比較容易發(fā)生的，于是，在教學設計時，滲透這種具體的數(shù)學觀念就不作為非常重要的教學目標了;對“求繁”的數(shù)學觀念在解題思路的發(fā)現(xiàn)中起著指導技術性操作的指令作用，然而，在學生的數(shù)學現(xiàn)實中，這項數(shù)學觀念確是比較難以萌生的，原因在于求簡是數(shù)學解題思維的主旋律，它的逆向性思維“求繁”受到思維定勢的影響，卻不容易產(chǎn)生了，因此，本例的教學設計就是要圍繞著針對“求繁”的數(shù)學觀念展開.關于這種“求繁”的數(shù)學觀念的萌生，有時是經(jīng)過長期的醞釀而形成的靈感的閃現(xiàn)，這種靈感的過程就連心理學家也難以說清楚，教師對學生解題時心理的起承轉(zhuǎn)合的行為產(chǎn)生的心理環(huán)節(jié)過程也是難以清楚揣摩到的.

可以說，這些構(gòu)成了教師設計數(shù)學解題教學的創(chuàng)造性能力的非常重要的一項教學目標，滲透“求繁”的數(shù)學觀念就是解決這道題的最為關鍵的價值所在.如果數(shù)學教師在設計數(shù)學解題教學時心中不能對學生探究問題思路過程的那種深陷重圍的痛楚，舉步維艱的困惑，欲行又止的困局切體的理解，那就很難急學生之所急，想學生之所想.教師就必然會只滿足于自己的講清楚，如此，學生很難舉一反三.因此，教師不僅要理解學生的知識基礎，還要了解他們的思維方式與認識特點，基于此，把解題思路獲得的曲折的思維過程作必要的設計，不只是講教師加工整理好了的思維捷徑 [5].筆者在帶領學生解決這道題的教學時，就是圍繞著滲透“求繁”的數(shù)學觀念而展開，下面是筆者課堂教學的實錄：

師：要證明不等式1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 n >ln 1+n + n 2 n+1?? n≥1 ①成立，大家有什么想法？

生1：如果獲得不等式左邊的前n項和的一個表達式，對問題的解決會帶來很多好處，可是，我經(jīng)過試探，很難找到這樣的一個表達式（作為教師的筆者心理非常清楚，不等式①的左邊是一個發(fā)散數(shù)列）.

師：生1的這種想法，雖然在技術上我們難以得到執(zhí)行，但是，我們可以分析生1想法的來源.他可能是這樣想的：對于“不等號”（“等號”）也是一樣，它們所連接的兩邊具有一種對等關系，他發(fā)現(xiàn)不等式①的這種形式不是對等的，加之以在“求簡”的數(shù)學觀念指令下，想到了求不等式①左邊的一個表達式.可惜，我們辦不到.怎么辦？

生2：我們可以倒著想，既然①的左邊的代數(shù)式不能直接相加得到一個結(jié)果，從而得到一個與①的右端形成一個“對等”的形式，那么，我想把①的右邊轉(zhuǎn)化為一個n項和的形式，如此也就形成了不等號的左右兩邊的“對等”形式了.但是，具體如何實現(xiàn)，我沒有想好.

師：大家試探生2同學的這種觀念是否可以實現(xiàn)？

說明，正如研究者分析中所產(chǎn)生的，在生2形成的觀念的指令下，同學們找到了等式③、④，經(jīng)由③、④又獲得等式⑤，于是，要證明①成立，只要證明 1 2k + 1 2 k+1? >ln 1+ 1 k? ⑦成立就行了.

師：如何證明不等式⑦成立呢？

生3：第（Ⅱ）問提供的不等式肯定會起作用了.

說明：生3完整地給出了不等式①證明的思路.見解答的過程.

這種教學設計，數(shù)學教師對生1發(fā)生的數(shù)學觀念的解釋，揭示萌生“對等”的數(shù)學觀念的過程是非常重要的，正是學生萌發(fā)出了這一數(shù)學觀念的指令，形成了生2的處理這道題關鍵環(huán)節(jié)的技術性手段——萌生了“求繁”的數(shù)學觀念.這個關鍵環(huán)節(jié)必須通過教師教學設計促使學生自己從自己的意識結(jié)構(gòu)中生發(fā)出來，而不能“下載”給學生.這是實現(xiàn)數(shù)學解題教學的教育價值的最為重要的地方.

4 數(shù)學解題教學設計的一般程序

由這個例子我們可以歸納數(shù)學解題教學設計的一般程序：（1）教師針對某個數(shù)學問題盡可能多的獲得解決的思路，教師最好的獲得思路的方式是自己解題，因為，基于自己解題得到的思路，他會對自己的思路活動過程了如指掌，容易把握萌生某些數(shù)學觀念的來源，從而容易發(fā)現(xiàn)解決問題的關鍵環(huán)節(jié)，教師抄別人解答的結(jié)果，就不可能對解題思路發(fā)現(xiàn)的過程具有如此深刻的體會;（2）確定解題過程的關鍵環(huán)節(jié).解題過程的關鍵環(huán)節(jié)的主要標識就是指令問題思路中某些疑難步驟的數(shù)學觀念是如何萌生的，這些基本上都是學生難以發(fā)生合適的數(shù)學觀念的地方，它形成了培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的最佳資源;（3）依據(jù)學生發(fā)生數(shù)學知識的心理環(huán)節(jié)及其過渡性中介，經(jīng)由選擇教學法的加工，設計具體的解題教學流程.

5 簡要結(jié)語

一位數(shù)學教師如果沒有數(shù)學解題能力，他一定不可能成為非常優(yōu)秀的數(shù)學教師;一位數(shù)學教學即使具有非常好的解題能力，他也未必一定能成為非常優(yōu)秀的數(shù)學教師.數(shù)學解題能力構(gòu)成了優(yōu)秀數(shù)學教師的一項非常重要的必要條件，另一個非常重要的必要條件就是數(shù)學教師必須具備將解題能力轉(zhuǎn)化為他的教學能力，對此，他需要特別關注學生發(fā)生數(shù)學問題思路的某些關鍵環(huán)節(jié)時學生的心理環(huán)節(jié)及其過渡性中介生成，從而設計教學過程循循善誘，引導學生依靠自己的認知結(jié)構(gòu)的力量，重新萌生這種思路的關鍵環(huán)節(jié)，而不是將教師自己所得到的結(jié)果和盤托出地“下載”給學生，這其中，幫助學生萌生數(shù)學觀念是數(shù)學教師在設計解題教學時需要特別注意的問題.對此，我們數(shù)學教師要思之再思，慎之 又慎.

參考文獻

[1] 張昆，曹一鳴.完善數(shù)學教師教學行為的實現(xiàn)途徑[J].數(shù)學教育學報，2015，23（1）：33-37.

[2] 張昆，張乃達. 集中條件：數(shù)學解題的關鍵——教學設計的視角[J]. 中學數(shù)學（高中版），2016（2）：9-12.

[3] ?張昆，羅增儒. 數(shù)學解題教學設計研究——指向滲透數(shù)學觀念的視點[J]. 中學數(shù)學雜志，2017（11）：15-18.

[4] 張乃達，過伯祥.張乃達數(shù)學教育——從思維到文化[M].濟南：山東教育出版社，2007：186.

[5] 張昆.怎樣備好數(shù)學課[J].中學教研（數(shù)學），1998（12）：4.