☉江蘇省新沂市高級(jí)中學(xué) 王登平

偏文類(lèi)學(xué)生數(shù)學(xué)教學(xué)輔助策略探索

☉江蘇省新沂市高級(jí)中學(xué) 王登平

全新的課程改革正在醞釀，新的課程標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)于2017年初制定完畢，對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科而言，文理科分科正在這一輪課程改革中逐步取消，有些省份走在課程改革試點(diǎn)前沿（如浙江、上海已經(jīng)取消文理分科）.但對(duì)于學(xué)生而言，卻不會(huì)因?yàn)槲睦矸挚频娜∠鴽](méi)有層次差別，有些學(xué)生依舊是偏理型的人才，而有些學(xué)生則依舊擁有偏文類(lèi)的特點(diǎn).如何面對(duì)文理分科取消后的數(shù)學(xué)教學(xué)？如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中將偏文類(lèi)學(xué)生與偏理類(lèi)學(xué)生一起教學(xué)？面對(duì)解題困擾時(shí)，教師如何掌控這一教學(xué)難點(diǎn)？這些都成為數(shù)學(xué)教學(xué)新面臨的疑惑點(diǎn).

筆者認(rèn)為新的教學(xué)起點(diǎn)，新的契機(jī)，要有新的嘗試.可以從幾個(gè)方面來(lái)思考偏文類(lèi)學(xué)生數(shù)學(xué)教學(xué)的一些輔助策略，將這一策略實(shí)施到位，有助于偏文類(lèi)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得一定的成功感.本文結(jié)合教學(xué)片斷和案例與大家一起交流.

一、注重學(xué)情，因材施教

偏文類(lèi)學(xué)生與偏理類(lèi)學(xué)生最大的不同在于其感性化程度較高，理性化抽象思維較弱.對(duì)于偏文類(lèi)學(xué)生的教學(xué)正是要基于學(xué)生的這一重要特性，進(jìn)行不同的教學(xué)設(shè)計(jì)，從知識(shí)理解的角度設(shè)計(jì)一定的感性部分，逐步將知識(shí)上升為理性層面，以求獲得知識(shí)的鞏固和理解.

案例1對(duì)定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x），其相關(guān)式子f（a+x）=f（b-x）與f（a+x）+f（b-x）=0的理解.

分析：不少偏文類(lèi)學(xué)生對(duì)于這種側(cè)重抽象含義的數(shù)學(xué)表達(dá)式理解存在困難，其一，懼怕抽象式；其二，不理解；其三，因?yàn)檫@種循環(huán)造成了實(shí)際問(wèn)題中也無(wú)法面對(duì)這些抽象表述，從而無(wú)法獲得學(xué)習(xí)的快樂(lè).筆者認(rèn)為對(duì)于偏理類(lèi)學(xué)生，我們更多的是依照教師自身多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合抽象表述進(jìn)行一番思考即可.但是對(duì)于偏文類(lèi)學(xué)生而言，這一招幾乎沒(méi)用，因?yàn)槠涓緹o(wú)法直接進(jìn)入理性思考的層面，因此針對(duì)學(xué)情因材施教才是關(guān)鍵.將其分為三個(gè)步驟進(jìn)行教學(xué)：

（1）思考特殊關(guān)系式，令a=b=0，表達(dá)式f（x）=f（-x）表達(dá)的含義是什么？顯然說(shuō)明定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于x=0（即y軸）對(duì)稱(chēng).

（2）對(duì)于表達(dá)式f（a+x）=f（b-x），首先令x=1、x=2、x=3等多個(gè)變量取值，觀測(cè)不同變量帶來(lái)的影響，可以發(fā)現(xiàn)f（a+1）=f（b-1）、f（a+2）=f（b-2）、f（a+3）=f（b-3）等，顯然其說(shuō)明定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）其圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng).

圖1

（3）進(jìn)一步從更高層面的理性角度思考，對(duì)于f（a+x）=f（b-x）中，a、b為兩個(gè)常數(shù)，對(duì)定義域?yàn)镽的函數(shù)而言，即x任意變化情況下，我們作出其圖像（如圖1）.

抽象式f（a+x）=f（b-x）所表示的含義：自變量x1=a+x與x2=bx到它們的中點(diǎn)等距離，且（fx）=（fx），考慮到變量12的任意性，因此自變量x1=a+x與x2=b-x到它們的中點(diǎn)永遠(yuǎn)等距離，且函數(shù)值一定相等，從而可知定義域?yàn)镽的函數(shù)（fx）圖像關(guān)于直線成軸對(duì)稱(chēng).

同理：對(duì)f（a+x）+f（b-x）=0所表示的含義，也可以分為三步驟進(jìn)行，思考教學(xué)中最基本的奇函數(shù)概念及其性質(zhì)，即該表達(dá)式中a=b=0，因此獲得了f（x）+f（-x）=0的更進(jìn)一步的理解，對(duì)于更為一般性的表達(dá)式f（a+x）+f（b-x）=0，正是可以從這樣的視角首先思考；最后理性環(huán)節(jié)的思考可以與上述第三步驟一樣作出其圖像（如圖2）.抽象式f（a+x）+f（b-x）=0所表示的含義：自變量x1=a+x與x2=b-x到它們的中點(diǎn)等距離，且f（x1）+f（x2）=0，即函數(shù)值互為相反數(shù)，由自變量的任意性，x1=a+x與x2=b-x的函數(shù)值互為相反數(shù)，從而可知函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng).

圖2

變式：對(duì)定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x），其相關(guān)式子f（x+a）=f（x-b）的含義又說(shuō)明什么呢？

分析：顯然本問(wèn)題的結(jié)論是思考函數(shù)的周期性，但是偏文類(lèi)學(xué)生往往又和第一個(gè)問(wèn)題類(lèi)型混淆.建議學(xué)生從特殊情形入手思考，取a=b=0，顯然為恒等式；取a=b=1，則f（x+1）=f（x-1），顯然與上述軸對(duì)稱(chēng)和中心對(duì)稱(chēng)均不相同，從一個(gè)角度再輔助偏文類(lèi)學(xué)生思考，再次嘗試令x=1、x=2、x=3，發(fā)現(xiàn)可得f（2）=f（0）、f（3）=f（1）、f（4）=f（2）等一系列值，這恰意味著周期性的體現(xiàn).可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步進(jìn)行理性證明，令x-b=t，則f（x+a）=f（x-b）?f（t+a+b）=f（t），由周期的定義可知，定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）的周期為|a+b|.

可見(jiàn)，對(duì)于偏文類(lèi)學(xué)生的教學(xué)要特別注重學(xué)生的感性思維，可以適當(dāng)?shù)貙⑤^難的數(shù)學(xué)抽象知識(shí)分割學(xué)習(xí)、逐步深入，大大舒緩了偏文類(lèi)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程、提高了學(xué)習(xí)的積極性，將注重學(xué)情的教學(xué)設(shè)計(jì)結(jié)合螺旋式上升的教學(xué)過(guò)程，則符合偏文類(lèi)學(xué)生學(xué)習(xí)認(rèn)知心理，是有效的教學(xué).

二、強(qiáng)調(diào)特殊，注重歸納

與偏理類(lèi)學(xué)生不同的是，偏文類(lèi)學(xué)生更要注重從特殊到一般的歸納推理方式，而不是演繹推理.這與偏文類(lèi)學(xué)生的思維特征緊密相關(guān)，因?yàn)槠念?lèi)學(xué)生思維的層次性不夠，這就要求教學(xué)中更好的方式是首先獲取問(wèn)題的答案，然后回頭思考怎么獲得一般性的過(guò)程.從特殊到一般，是歸納推理的典型運(yùn)用.

案例2已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若2f′（x）＞f（x）對(duì)任意的x∈R成立，則3f（2ln2）與2f（2ln3）的大小關(guān)系為_(kāi)__________.

分析：本題為導(dǎo)數(shù)運(yùn)用問(wèn)題，其本意是從構(gòu)造類(lèi)的角度思考導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，但是對(duì)于偏文類(lèi)的學(xué)生而言，其根本未能意識(shí)到這一知識(shí)使用的層面，因此可以換一個(gè)角度首先思考答案的判斷.因?yàn)?f′（x）＞f（x），對(duì)任意的x∈R，令f（x）=ex，顯然f（x）滿足題意，因此3f（2ln2）=3e2ln2=12＜2f（2ln3）=2e2ln3=18，因此3f（2ln2）＜2f（2ln3）.對(duì)于偏文類(lèi)學(xué)生來(lái)說(shuō)，答案的判斷顯然獲得了成功，從應(yīng)試角度來(lái)說(shuō)已經(jīng)成功.新課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出了要學(xué)生獲得適合其自身發(fā)展的數(shù)學(xué)，因此對(duì)于不少偏文類(lèi)學(xué)生而言，能掌握這種特殊化的問(wèn)題解決思想，已經(jīng)是一種足夠的數(shù)學(xué)，就如天津師大王光明教授所說(shuō)：“沒(méi)有必要人人都去研究形式化的數(shù)學(xué)過(guò)程和結(jié)論，獲得適合自身發(fā)展的數(shù)學(xué)才是關(guān)鍵和必需的.”

最終確定了問(wèn)題的答案，對(duì)于偏文類(lèi)學(xué)生而言，也可以讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)知識(shí)運(yùn)用的合理性，一般性的方式方法怎么尋求解決之道.本題是典型的函數(shù)構(gòu)造類(lèi)，考慮到選項(xiàng)中的數(shù)值，將3（f2ln2），2（f2ln3）變形為比較這兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系，因此容易想到構(gòu)造函數(shù)，研究其導(dǎo)數(shù)又對(duì)任意的x∈R時(shí)2f′（x）＞（fx）成立，因此2f′（2lnx）-（f2lnx）＞0，故g（′x）＞0成立，所以g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù).又2＜3，故g（2）＜g（3）? （f2ln2）＜ （f2ln3），即3（f2ln2）23＜2（f2ln3）.另外，本題的函數(shù)構(gòu)造不僅僅只有一種，還可以是有興趣的讀者可以再類(lèi)似推理思考.筆者對(duì)這樣的問(wèn)題的教學(xué)建議是，運(yùn)用典型的歸納推理思想，從特殊到一般，這正是偏文類(lèi)學(xué)生適合的、喜歡的方式.

三、強(qiáng)化代數(shù)，善用圖形

偏文類(lèi)的學(xué)生對(duì)問(wèn)題的一般思路更偏重運(yùn)算的角度，即代數(shù)化，對(duì)于圖形思維的角度考量不多，也不善于思考.筆者以為正是因?yàn)槠念?lèi)學(xué)生這樣的普遍特點(diǎn)，我們教學(xué)更要重視思考，以偏文類(lèi)學(xué)生的特點(diǎn)為切入點(diǎn)，強(qiáng)化其所需的代數(shù)運(yùn)算能力，進(jìn)一步開(kāi)發(fā)其圖形思考的方面，力爭(zhēng)從數(shù)與形兩個(gè)角度對(duì)不同偏文類(lèi)學(xué)生進(jìn)行加強(qiáng).

案例3向量a，b，c滿足，則|c|的最大值等于______.

分析：偏文類(lèi)學(xué)生的思考主要是從數(shù)量積基本運(yùn)算的視角出發(fā)，由題意，由（a-c）·又，所以，化簡(jiǎn)得|c|2≤2+（a+b）·c≤2+|a+b·||c|=2+|c|，得|c|2-|c|-2≤0?|c|≤2，即最大模長(zhǎng)為2.顯然這種教學(xué)方式偏文類(lèi)學(xué)生比較喜歡，因?yàn)樽⒅氐氖菙?shù)量積運(yùn)算和均值不等式，但是能算到底的學(xué)生并不是太多，因此也要向?qū)W生滲透圖形的思路.

另法：向量a，b滿足夾角120°，且a-c與b-c的夾角是60°，以四點(diǎn)共圓來(lái)建構(gòu)圖形.如圖3，設(shè)則∠AOB=120°，∠ACB=60°，可知點(diǎn)C的軌跡是優(yōu)弧上一動(dòng)點(diǎn)，顯然當(dāng)點(diǎn)C為優(yōu)弧中點(diǎn)時(shí)取到最大值，即為O，A，B，C四點(diǎn)所在圓的直徑.易得，在△ABC中，由正弦定理知

圖3

限于篇幅，本文就偏文類(lèi)學(xué)生數(shù)學(xué)教學(xué)提出了符合新課程理念教學(xué)的三個(gè)輔助視角，即概念教學(xué)的多步驟、層次性，解題教學(xué)的特殊化、歸納推理，解題思想中的強(qiáng)化代數(shù)、善用圖形等，這些都是偏文類(lèi)學(xué)生沒(méi)有完全做到位或者欠缺的.因此，筆者以教學(xué)實(shí)踐中的思考做了一番不成熟的總結(jié)，懇請(qǐng)讀者繼續(xù)補(bǔ)充指正，引導(dǎo)偏文類(lèi)學(xué)生進(jìn)一步在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上獲得高效和有效的途徑.

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