☉江蘇省沭陽高級中學(xué) 錢文奇

例談高中解題的幾種策略

☉江蘇省沭陽高級中學(xué) 錢文奇

數(shù)學(xué)解題的教與學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容，數(shù)學(xué)解題能力是學(xué)生數(shù)學(xué)的核心能力，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的著重點(diǎn).在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，解題是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要部分，也是很多學(xué)生困惑的地方.因?yàn)閷W(xué)生總感覺聽懂了，題卻解不出來.下面筆者結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)歷，談?wù)劯咧薪忸}的幾種策略，以期拋磚引玉.

策略一、挖掘題目隱含條件

在求解數(shù)學(xué)問題的過程中，有些題目條件設(shè)置得很隱蔽，若不能很好挖掘使用，就很難正確解出結(jié)果.這就要求我們在解題中有意識地注意挖掘隱含條件，充分利用好所給的條件解題.

1.挖掘概念中的隱含條件

不少數(shù)學(xué)問題往往會在數(shù)學(xué)概念上設(shè)置障礙，若學(xué)生對概念理解不深刻，就很難觀察到其中隱含的障礙.因此要解決好這類問題，必須對概念深入理解.

例1 已知l1：2x+my-2=0，l2：mx+2y-1=0，并且l1⊥l2，則m=______.

錯(cuò)解：有些同學(xué)認(rèn)為l1⊥l2，則有k1·k2=-1，而由無解.

上述學(xué)生解錯(cuò)的原因就在于對線線垂直概念的不理解.結(jié)論“l(fā)1⊥l2，則k1·k2=-1”的前提的兩條直線的斜率都存在.因此需要對斜率不存在的情況進(jìn)行討論.

正解：若m=0，顯然l1⊥l2；若m≠0，則由l1⊥l2，得k1·k2=-1，而由矛盾，m不存在.于是m=0.

2.挖掘解題思維中的隱含條件

有的問題若按照常規(guī)思路來解決，則往往過程繁雜，無法解出.這時(shí)就需要轉(zhuǎn)換思維，充分利用條件，有效解決問題.

例2設(shè)集合A=｛（x，y）|x=n，y=an+b，n∈Z｝，B=｛（x，y）|x=m，y=3m2+15，m∈Z｝，C=｛（x，y）|x2+y2≤144｝，問是否存在實(shí)數(shù)a，b，使下列條件同時(shí)成立？（1）A∩B≠?；（2）（a，b）∈C.

錯(cuò)解：由條件（1）

在x∈Z時(shí)有解，消去y，得

由條件（2）（a，b）∈C，得

此題中常規(guī)思路就是將x視為變量，（a，b）視為常量，于是把①式視為關(guān)于x的一元二次方程，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x有整數(shù)解的問題，按照此思路，大多數(shù)同學(xué)束手無策，望而卻步，無法正確解出結(jié)果.不妨轉(zhuǎn)換思維角度，將（a，b）視為變量，把x視為常量，則可以將原問題轉(zhuǎn)化為直線與圓面在整數(shù)范圍內(nèi)是否有公共點(diǎn)的問題.于是由d=得（x2-3）2≤0，從而只有顯然與x∈Z矛盾，故滿足條件的a，b不存在.

正解：由于（1）A∩B≠?；（2）（a，b）∈C同時(shí)成立，有解且a2+b2≤144，

即3x2-ax+15-b=0有解且a2+b2≤144，

則Δ=a2-12（15-b）=a2+12b-180≥0，且a2+b2≤144，

即180-12b≤a2≤144-b2，

故180-12b≤144-b2?b2-12b+36≤0，即（b-6）2≤0，

因此存在a，b滿足條件.

策略二、跨越思維斷層處障礙

在高中數(shù)學(xué)解題中，常常會有以下情景：遵循課本上所教講的概念、公式、方法等，但是用著用著就會突然出現(xiàn)頭腦里一片空白的情況.再去翻閱資料，會有一些提示，按照提示，問題就很容易解決，但是我們當(dāng)時(shí)就是無法想出這個(gè)提示，即無法跨越這個(gè)思維的高度，也就是思維在這個(gè)點(diǎn)出現(xiàn)了斷層.下面通過一道題談?wù)勅绾慰缭竭@種思維斷層處的障礙.

例3設(shè)函數(shù)曲線y=（fx）在點(diǎn)（1，（f1））處的切線方程為y=e（x-1）+2.

（1）求a，b；

（2）證明：（fx）＞1.

解：（1）函數(shù)（fx）的定義域?yàn)椋?/p>

由題意得（f1）=2，f（′1）=e，故a=1，b=2.

設(shè)函數(shù)g（x）=xlnx，則g（′x）=1+lnx，所以當(dāng)）時(shí)，g（′x）＜0，

故h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在［1，+∞）上單調(diào)遞減，從而h（x）在（0，+∞）上的最大值為

綜上所述，當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞h（x），即（fx）＞1.

學(xué)生拿到此題，都能想到用求導(dǎo)解決，但是很多學(xué)生在把（fx）＞1轉(zhuǎn)化為再變形成，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得令g（′x）=0，到這步后大多數(shù)學(xué)生無法解出，就是想不到將lnx與ex分離，即所謂出現(xiàn)了思維斷層.在平時(shí)的教學(xué)中，應(yīng)該要時(shí)刻警惕概念教學(xué)中的“滑過現(xiàn)象”，在解題中不斷積累獲取信息的能力，重視解題過程的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生不斷積累解題經(jīng)驗(yàn)，加強(qiáng)教學(xué)反思，提高學(xué)生的解題能力.

策略三、注重解題后的反思與優(yōu)化

解題過程中，學(xué)生較大限度地發(fā)揮了自身的數(shù)學(xué)水平，解題后老師及時(shí)了解學(xué)生的主要解題思路和解題阻滯點(diǎn)，在解法基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)好優(yōu)化方案，挖掘出試題的本質(zhì)特征，優(yōu)化學(xué)生的解題方法，從而提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力.

例4設(shè)函數(shù)（fx）=x|x-a|+b，a，b∈R.

（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)（fx），x∈［1，2］的值域；

（2）對于給定的實(shí)數(shù)a（a≥2），存在實(shí)數(shù)b，對于任意實(shí)數(shù)x∈［1，2］，都有不等式|（fx）|≤1恒成立，求實(shí)數(shù)a

2的取值范圍.

針對第（2）問，學(xué)生作業(yè)中的解法如下：

解法1：由于，故由閉區(qū)間上二次函數(shù)的性質(zhì)

圖1

解法2：由于，故命題“存在實(shí)數(shù)b對于任意實(shí)數(shù)x∈［1，2］，都有不等式|（fx）恒成立”等價(jià)于“當(dāng)

由于二次函數(shù)最值必在x=1，2，a處取到，據(jù)此展開2討論

故a的取值范圍為2≤a≤3或3＜a≤4，即2≤a≤4.

圖2

圖3

這兩種解法，可操作性強(qiáng)，但是運(yùn)算量大，解題過程復(fù)雜，學(xué)生真正解出的很少.因此解題后可以引導(dǎo)學(xué)生對這兩種解法進(jìn)行優(yōu)化.

解法1的優(yōu)化：

同理利用不等式運(yùn)算性質(zhì)消去b，由④⑥可得2≤a≤6；由⑤⑥可得2≤a≤4，取三者交集得2≤a≤4.

故a的取值范圍為2≤a≤4.

運(yùn)用必要條件先縮小參數(shù)范圍，減少了分類討論的情況，大大簡化了原解法.

由此可見，題后反思是學(xué)生所思和所想的自然延伸，跟隨思維的發(fā)展進(jìn)程，師生不斷進(jìn)行提煉和優(yōu)化，這種由表及里、由粗到細(xì)，伸展不同方向的觸角的解題分析方法，對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力是大有裨益的.