☉江蘇省徐州市第三中學(xué) 趙 勇

奇、偶項為不同數(shù)列型問題的探究

☉江蘇省徐州市第三中學(xué) 趙 勇

在處理奇數(shù)項與偶數(shù)項為不同類型的數(shù)列求通項公式或前n項和中，由于學(xué)生在進行奇、偶討論時經(jīng)常會錯把n當(dāng)成了奇數(shù)項數(shù)列、偶數(shù)項數(shù)列的項數(shù)，從而產(chǎn)生錯解.下面通過舉例，對此類問題進行詳細探究，以期對學(xué)生解答此類問題有所有助，從而有效避錯.

題目已知由整數(shù)組成的數(shù)列｛an｝各項均不為0，其前n項和為Sn，且a1=a，2Sn=anan+1.

（1）求a2的值；

（2）求｛an｝的通項公式；

（3）若n=15時，Sn取得最小值，求a的值.

一、通項問題

第（1）問，較為簡潔，直接利用賦值法即可求解.

因為2Sn=anan+1，所以2S1=a1a2，即2a1=a1a2，因為a1=a≠0，所以a2=2.

第（2）問，給出與前n項和Sn有關(guān)的關(guān)系式，通常利用公式求解.本題也不例外.

因為2Sn=anan+1，所以2Sn-1=an-1a（nn≥2），兩式相減，得到2an=a（nan+1-an-1）.因為an≠0，所以an+1-an-1=2.所以｛a2k-1｝，｛a2k｝都是公差為2的等差數(shù)列.

此時學(xué)生易給出錯誤答案：

原因是機械地套用了等差數(shù)列通項公式，錯誤地認(rèn)為奇數(shù)項與偶數(shù)項的項數(shù)均為n.

為了充分認(rèn)識錯誤的原因，我們可列舉數(shù)列的有限項，當(dāng)n為奇數(shù)時，如取n=11，得a，2，a+2，4，a+4，6，a+6，8，a+8，10，a+10，則奇數(shù)項為a，a+2，a+4，a+6，a+8，a+10，共6項，并不是10，項數(shù)所以當(dāng)n為奇數(shù)時，

同理，當(dāng)n為偶數(shù)時，如取n=10，得a，2，a+2，4，a+4，6，a+6，8，a+8，10，則偶數(shù)項為2，4，6，8，10，共5項，項數(shù)為所以當(dāng)n為偶數(shù)時

二、求和問題

奇數(shù)項與偶數(shù)項為不同類型的數(shù)列求和問題，應(yīng)對奇數(shù)項與偶數(shù)項分別求和，再相加.求解中注意對奇數(shù)項數(shù)列與偶數(shù)項數(shù)列項數(shù)的準(zhǔn)確把握.

三、求最值

數(shù)列的最值問題，以等差數(shù)列為例，若首項為正，且公差小于0，則前n項和有最大值，此時n的值可由an≥0求解.同理，若首項為負(fù)，且公差大于0，則前n項和有小值，此時n的值可由an＜0求解.當(dāng)然也可以利用前n項和的二次函數(shù)性質(zhì)來求解.

第（3）問，方法1：因為2Sn=anan+1，由（2）知，an=

注意到所有奇數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列是一個單調(diào)遞增的，所有偶數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列是一個單調(diào)遞增的.

當(dāng)n為偶數(shù)時，an＞0，所以此時Sn＞Sn-1，所以S15為最小值等價于S13≥S15，S15≤S17，所以a14+a15≤0，a16+a17≥0，所以14+15+a-1≤0，16+17+a-1≥0，解得-32≤a≤-28.

因為數(shù)列｛an｝是由整數(shù)組成的，所以a∈｛-32，-31，-30，-29，-28｝.

又因為an≠0，所以對所有的奇數(shù)n，an=n+a-1≠0，所以a不能取偶數(shù)，所以a=-31，或a=-29.

方法2：因為S15為最小值，此時n為奇數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知道，有，解得-32≤a≤-28.

因為數(shù)列｛an｝是由整數(shù)組成的，所以a∈｛-32，-31，-30，-29，-28｝.

又因為an≠0，所以對所有的奇數(shù)n，an=n+a-1≠0，所以a不能取偶數(shù)，所以a=-31，或a=-29.

經(jīng)檢驗，此時Sn為最小值，所以a=-31，或a=-29.

變式探究：若數(shù)列｛an｝滿足an+1+（-1）nan=2n-1，則數(shù)列｛an｝的前60項和為__________.

解析：本題是填空題，故可以采用歸納的方法來尋找解題規(guī)律，當(dāng)然它也可以用迭代法來求解.

由題意可知，a2-a1=1，a3+a2=3，a4-a3=5，a5+a4=7，…，所以a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，…，從第一項開始，依次取2個相鄰奇數(shù)項的和等于2，從第二項開始，依次取2個相鄰偶數(shù)項的和構(gòu)成以8為首項，以16為公差的等差數(shù)列，所以

綜上，解決奇數(shù)項與偶數(shù)項為不同數(shù)列問題的思想方法主要有分類討論思想、整體思想和等價轉(zhuǎn)化思想，具體求解中，通常需要利用列舉、合情推理或迭代的方法來尋找相鄰幾項的規(guī)律，進而明確數(shù)列問題的本質(zhì).