☉廣西百色祈福高級(jí)中學(xué) 陸逢波

探一題多解，究多題一解
——2017年高考全國(guó)卷解幾題解法探究

☉廣西百色祈福高級(jí)中學(xué) 陸逢波

一題多解是指同一個(gè)問題沿著不同途徑，運(yùn)用不同的知識(shí)和方法去思考，以探求多種答案、尋找多種解法的思維方式.而多題一解則恰好相反，是針對(duì)不同的問題在解決問題的過程中用到了同樣的方法的思維方式.高考試題是命題專家精心雕琢的經(jīng)典“作品”，它源于教材，又高于教材，體現(xiàn)命題者的命題思路、難度和考試方向，是高考復(fù)習(xí)的最好訓(xùn)練素材.中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)高考真題進(jìn)行一題多解、多題一解的探究活動(dòng)，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和集中性思維、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；有利于加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解、深化和方法的掌握，從而提高高考復(fù)習(xí)的效益.本文以2017年高考全國(guó)課標(biāo)卷理科解析幾何試題為例，探究一題多解及多題一解在高考中的應(yīng)用，供讀者參考.

一、一題多解探究

例1（2017年全國(guó)課標(biāo)卷Ⅰ理科第10題）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為（ ）.

（A）16 （B）14 （C）12 （D）10

分析1：由拋物線定義知，|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p，再用“基本不等式”求最值.

解法1：設(shè)直線l1方程為y=k1（x-1），

同理，直線l2與拋物線的交點(diǎn)滿足

當(dāng)且僅當(dāng)k1=-k2=1（或-1）時(shí)，取得等號(hào).

分析2：利用對(duì)稱性，當(dāng)A與D，B與E關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，|AB|+|DE|最小.

解法2：直線l1，l2互相垂直，l1與C交于A、B兩點(diǎn)，l2與C交于D、E兩點(diǎn)，要使|AB|+|DE|最小，則A與D，B與E關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)DE的斜率為1，直線l2的方程為y=x-1，聯(lián)立方程組則y2-4y-4=0，y1+y2=4，y1y2=-4，

所以|AB|+|DE|的最小值為2|DE|=16.

分析3：利用參數(shù)法，把A、B的坐標(biāo)用參數(shù)表示出來，用兩點(diǎn)間距離公式表示|AB|、|DE|，再用“基本不等式”求最值.

解法3：設(shè)l1∶x=my+1代入直線方程得

因?yàn)閘1⊥l2，上式m用替換得

當(dāng)且僅當(dāng)m=±1時(shí)，取等號(hào)，故選A.

分析4：利用焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，快速求解.

解法4：設(shè)直線l1的傾斜角為θ，則l2的傾斜角為根據(jù)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可得

因?yàn)?＜sin22θ≤1，所以當(dāng)θ=45°時(shí)，|AB|+|DE|的值最小，最小值為16.

例2（2017年全國(guó)卷Ⅲ理科第12題）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若，則λ+μ的最大值為（ ）.

分析1：利用坐標(biāo)法，把λ+μ用P點(diǎn)坐標(biāo)表示，令-y+1，轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離小于半徑，求出最值.

解法1：以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A（0，1），B（0，0），D（2，1），P（x，y）.

分析2：利用坐標(biāo)法，把λ+μ表示為三角函數(shù)，轉(zhuǎn)化為三角問題，求出最值.

解法2：以A為原點(diǎn)，AB，AD所在直線分別為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（1，0），C（1，2），D（0，2），可得直線BD的方程為2x+y-2=0.

二、多題一解探究

2017年全國(guó)高考課標(biāo)卷3套理科試題中的三道解析幾何大題，考查的內(nèi)容、角度不盡相同，涉及直線、圓、橢圓相關(guān)的軌跡問題和直線過定點(diǎn)問題，但這3道題均可以統(tǒng)一用一種數(shù)學(xué)思想方法——參數(shù)法解答.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點(diǎn).

解：（1）由于兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，所以由題設(shè)知C經(jīng)過P3、P4兩點(diǎn)，又P（11，1），不可能同時(shí)在橢圓上，因此可得橢圓經(jīng)過點(diǎn).代入橢圓方程得a=2，b=1，所以所求的橢圓方程為

（2）直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為A（2cosθ，sinθ），B（2cosθ，-sinθ），

則直線l的方程為x=2，不合題意.

所以直線l的方程為y=k（x-2）-1.綜合上述，直線過定點(diǎn)（2，-1）.

例4（2017年全國(guó)卷Ⅱ理科第20題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足

（1） 求點(diǎn)P的軌跡方程；

所以點(diǎn)的軌跡方程x2+y2=2.

設(shè)橢圓左焦點(diǎn)F（-1，0），

所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.

例5（2017年全國(guó)卷Ⅲ理科第20題）已知拋物線C：y2=2x，過點(diǎn)（2，0）的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓.

（1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；

（2）設(shè)圓M過點(diǎn)P（4，-2），求直線l與圓M的方程.

將拋物線方程代入直線方程，得t2-mt-1=0.

根據(jù)韋達(dá)定理得t1+t2=m，t1t2=-1.

所以O(shè)A⊥OB，即原點(diǎn)O在圓M上.

（2）由于圓M過點(diǎn)P（4，-2），因此AP⊥BP.

設(shè)AP與BP的斜率分別為k1，k2，則

當(dāng)m=1時(shí)，M（3，1），半徑OM=%1 0，圓M的方程為

1.陸逢波.回歸原點(diǎn) 以退為進(jìn)——一道高考解幾題的化歸探究［J］.都市家教，2017（17）.

2.陸逢波.一道2017年高考試題的解法探究與拓展［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（下旬），2017（11）.