呂芳妮

【摘要】數(shù)學(xué)是思維的“體操”.數(shù)學(xué)變式教學(xué)是對小學(xué)生數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的一種重要方式，它能有效地培養(yǎng)和訓(xùn)練小學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性、敏捷性、靈活性、批判性、創(chuàng)造性和邏輯性.

【關(guān)鍵詞】變式教學(xué)；小學(xué)生；數(shù)學(xué)思維

變式是指交替使用同類事物的各種不同形式，即從不同的角度來舉例說明事物的本質(zhì)特征.變式教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一種重要方法，可以作為鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、形成數(shù)學(xué)能力的最直接的強化訓(xùn)練.通過數(shù)學(xué)變式教學(xué)，可以提高小學(xué)生的觀察能力、概括能力以及解題的應(yīng)變能力等多種基本數(shù)學(xué)能力，同時也能培養(yǎng)和訓(xùn)練小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

一、數(shù)學(xué)變式教學(xué)的理論基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)變式教學(xué)，是很多教師喜愛和關(guān)注的一種教學(xué)方法，是建立在深厚的理論基礎(chǔ)之上的，歸納起來主要有以下三個方面.

（一）認(rèn)識論基礎(chǔ)

辯證唯物主義認(rèn)為：認(rèn)識是主體對客體的能動反映，即主體以一定的思維方式或者方法整理感性材料，對來自客體的信息進(jìn)行“重組”和“建構(gòu)”，形成理性材料，從而表達(dá)客體的過程.對一個概念定理等要達(dá)到深刻的理解和認(rèn)識，意味著對它們的各個側(cè)面進(jìn)行充分認(rèn)識，也就是要不斷地變更所提供材料或呈現(xiàn)問題的方式，使事物的非本質(zhì)特征時隱時現(xiàn)，而事物的本質(zhì)特征卻保持不變.因此，為了讓學(xué)生深刻而全面地理解與掌握數(shù)學(xué)概念、公式、定理等，教師有必要采取數(shù)學(xué)變式教學(xué)的方法.

（二）教育心理學(xué)基礎(chǔ)

皮亞杰認(rèn)為，同化是指主體將其所遇到的外界信息直接納入自己現(xiàn)有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的過程.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，影響同化過程的一個重要因素是新知與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相應(yīng)概念之間的“潛在距離”，而數(shù)學(xué)變式教學(xué)能夠起到縮短“潛在距離”、銜接新舊知識的橋梁作用.順應(yīng)這一過程是通過主體根據(jù)外界信息主動修正自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)而實現(xiàn)的，這就要調(diào)動學(xué)習(xí)者的積極性.數(shù)學(xué)變式教學(xué)能改變數(shù)學(xué)單調(diào)乏味的呈現(xiàn)方式，使數(shù)學(xué)知識以一種新穎的方式呈現(xiàn)在學(xué)生面前，讓學(xué)生耳目一新，興趣盎然，為同化過程的順利進(jìn)行創(chuàng)設(shè)了有利條件.

從心理學(xué)上來說，變換問題的條件意味著給學(xué)生的思維活動提供不同的背景和前提.問題條件的變化會促使學(xué)生分析出問題最本質(zhì)的部分，也就是不變的部分，并對問題進(jìn)行概括和分類，這樣就要使學(xué)生完成從一道習(xí)題向另外一道在本質(zhì)上相類似的習(xí)題的遷移.從外表上來看，這是一種“變換—遷移”的依存關(guān)系；但是從深層上來看，則是從心理學(xué)上揭示出內(nèi)部的“分析—概括”的依存關(guān)系，而后者是學(xué)生進(jìn)行變式的內(nèi)部心理機(jī)制.

（三）數(shù)學(xué)知識本身的要求

數(shù)學(xué)知識的高度的抽象性和應(yīng)用的具體性之間的矛盾往往需要用變式來解決.在教學(xué)過程中，如果將概念、公式等還原到客觀事實之中，在豐富多樣的實際例子和模型中選擇含有新概念、新思想萌芽或者雛形的生活實際現(xiàn)象，適時地引入課堂，使實際情境數(shù)學(xué)化，從而幫助學(xué)生循序漸進(jìn)地完成認(rèn)知過程.

重要的或者基本的數(shù)學(xué)思想方法的理解與掌握，需要通過足夠的變式訓(xùn)練教學(xué)才能實現(xiàn).在現(xiàn)在的教材安排中，數(shù)學(xué)知識是一條明線，而相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法是蘊含在數(shù)學(xué)知識中的一條暗線，就像溶解在水里的鹽一樣不容易被發(fā)現(xiàn)，這就需要教師的細(xì)心引導(dǎo).教師只有通過精心設(shè)計各種符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律、符合實際需要的變式，從不同的角度促進(jìn)學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)知識，才能真正地把深奧的數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)化到學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去.

數(shù)學(xué)思維是人腦和數(shù)學(xué)對象交互作用并且按照一般的思維規(guī)律認(rèn)識數(shù)學(xué)規(guī)律的過程.它的表現(xiàn)是學(xué)生從原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過觀察、類比、聯(lián)想、猜想等一系列數(shù)學(xué)思維活動，立體式地展示問題、提出過程，在溫故知新的聯(lián)想過程中產(chǎn)生強烈的求知欲望，盡可能地參與概念的形成和結(jié)論的發(fā)展過程，并掌握觀察、實驗、歸納、演繹、類比、聯(lián)想、一般化與特殊化等思考問題的方法.教師只有通過精心設(shè)計各種變式，從各個角度促進(jìn)學(xué)生的理解與掌握，才能培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

二、用變式教學(xué)激活小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

（一）通過變式教學(xué)，溝通數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)和訓(xùn)練小學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性

引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行抽象分析，把具體問題上升為一般的數(shù)學(xué)問題，啟發(fā)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，長期堅持，學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性會得到鍛煉.

例如，一個正方形的邊長擴(kuò)大3倍，它的周長擴(kuò)大（ ）倍.

變式1：一個正方形的邊長擴(kuò)大3倍，它的周長擴(kuò)大（ ）倍，它的面積擴(kuò)大（ ）倍.

變式2：一個正方形的邊長擴(kuò)大a倍，它的周長擴(kuò)大（ ）倍，它的面積擴(kuò)大（ ）倍.

變式3：一個圓的半徑長擴(kuò)大a倍，它的周長擴(kuò)大（ ）倍，它的面積擴(kuò)大（ ）倍.

（二）通過變化一些題目的條件和結(jié)論，充分發(fā)揮知識結(jié)構(gòu)間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化功能，培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維的敏捷性

例如，原計劃30天生產(chǎn)360臺機(jī)器，實際20天完成，實際每天比原計劃多生產(chǎn)多少臺？

變式1：生產(chǎn)360臺機(jī)器，原計劃每天生產(chǎn)12臺，實際每天生產(chǎn)18臺，實際可提前多少天？

變式2：原計劃30天生產(chǎn)360臺機(jī)器，實際每天多生產(chǎn)6臺，實際多少天完成？

變式3：生產(chǎn)360臺機(jī)器，實際每天生產(chǎn)18臺，結(jié)果提前10天完成，原計劃每天生產(chǎn)多少臺？

變式4：生產(chǎn)360臺機(jī)器，實際20天完成，每天比原計劃多生產(chǎn)6臺，原計劃多少天完成？

變式5：生產(chǎn)360臺機(jī)器，原計劃每天生產(chǎn)12臺，實際提前10天完成，實際每天生產(chǎn)多少臺？

變式6：生產(chǎn)一批機(jī)器，原計劃30天完成，實際20天完成.實際每天比原計劃多生產(chǎn)6臺，這批機(jī)器有多少臺？

變式7：生產(chǎn)一批機(jī)器，原計劃每天生產(chǎn)12臺，實際每天生產(chǎn)18臺，結(jié)果提前10天完成，這批機(jī)器有多少臺？

變式8：生產(chǎn)360臺機(jī)器，原計劃完成的時間是實際的1.5倍，實際每天比原計劃多生產(chǎn)6臺，實際多少天完成？

變式9：生產(chǎn)360臺機(jī)器，實際每天生產(chǎn)的是原計劃的1.5倍，實際提前6天完成，原計劃每天生產(chǎn)多少臺？

變式10：生產(chǎn)360臺機(jī)器，實際完成的天數(shù)是原計劃的23，實際每天比原計劃多生產(chǎn)6臺，原計劃多少天完成？

變式11：要生產(chǎn)360臺機(jī)器，原計劃每天生產(chǎn)的是實際的23，實際提前10天完成，實際每天生產(chǎn)多少臺？

（三）在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過變式教學(xué)啟發(fā)學(xué)生多角度思考問題，鼓勵學(xué)生聯(lián)想，培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性

一題多解題目的訓(xùn)練目的，不是單純地解題，而是為了培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的思維、發(fā)展學(xué)生的智力，提高學(xué)生的解題能力.對于學(xué)生“別出心裁”“獨辟蹊徑”的解法，我們要鼓勵和表揚.

例如，“已知甲船每小時航行80千米，乙船每小時航行60千米.現(xiàn)在兩船從相距200千米的A，B兩地同時出發(fā)，經(jīng)過2小時航行，兩船相距多少千米？”在解這道應(yīng)用題時，由于思維僵化，大多數(shù)學(xué)生只給出了一種情況的解法，得到了唯一的答案，實際上這道題有四種實際情況，與之相應(yīng)的有四種解法，四種答案.

（1）兩船同時相對而行，相遇后又拉開距離：（80+60）×2-200=80（千米）.

（2）兩船同時相背而行：（80+60）×2+200=480（千米）.

（3）兩船同向而行，甲船在前面，乙船在后面：80×2+200-60×2=240（千米）.

（4）兩船同向而行，乙船在前面，甲船在后面：60×2+200-80×2=160（千米）.

這種多角度思考問題的訓(xùn)練，可以幫助學(xué)生有力地克服思維僵化的現(xiàn)象，從而使數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)能力的形成更加靈活而又高效.

（四）通過變式教學(xué)，培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生思維的批判性

如，對于判斷改錯題，通過設(shè)計變式訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生縝密分析和判斷問題，以批判的眼光對待已有的結(jié)論的思維.

例如，將一塊蛋糕分給4名小朋友，每人得到這塊蛋糕的14.（ ）

變式1：將一塊蛋糕分給4名小朋友，每人得到14塊蛋糕.（ ）

變式2：將一塊蛋糕等分給4名小朋友，每人得到14塊蛋.（ ）

（五）也可以將有用條件、無用條件混在一起，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析條件與問題，學(xué)會排除干擾，提高學(xué)生明辨是非、去偽存真的鑒別能力，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性

例如，學(xué)校有籃球72個、足球34個、排球12個，三種球共有多少個？

變式1：學(xué)校有籃球72個、足球34個、排球12個，籃球和排球共有多少個？

變式2：學(xué)校有籃球72個、足球34個、排球12個，籃球是排球的幾倍？

變式3：學(xué)校有籃球72個，是排球的3倍，足球34個，籃球和足球共有多少個？

（六）利用變式教學(xué)，培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生思維的創(chuàng)造性

通過變式教學(xué)，使得教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)不變，研究問題的方法不變，把封閉性問題轉(zhuǎn)化成了開放性問題，讓學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)和總結(jié)，從而培養(yǎng)學(xué)生探索問題、總結(jié)規(guī)律的能力，即培養(yǎng)了學(xué)生思維的創(chuàng)造性.比如，面積單位換算的教學(xué)，出示1平方米的示意圖（邊長1米的正方形），問學(xué)生：“1平方米等于多少平方分米呢？”引導(dǎo)學(xué)生思考推理，并說出自己的推理過程.又如，學(xué)習(xí)速度、時間、路程的關(guān)系后，讓學(xué)生自編三道分別求速度、時間、路程的題目.

（七）利用題目的內(nèi)聯(lián)變式，培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生思維的邏輯性

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，不但要把數(shù)學(xué)知識點教好，還要從整體著眼，抓住新舊知識的連接點，對前后有邏輯關(guān)系的題目進(jìn)行對比、分析，然后才用一定的變式訓(xùn)練，培養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生思維的邏輯性.

例如，分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)中，（1）一根繩長8米，裁去12米，還剩多少米？（2）一根繩長8米，裁去12，還剩多少米？學(xué)生一看這兩個問題，覺得一樣.但是我們引導(dǎo)他們認(rèn)真分析發(fā)現(xiàn)：前面的12帶有單位，是具體的長度，而后面的12沒帶單位，是比例問題.一字之差，差之千里，通過比較，發(fā)展了學(xué)生的邏輯思維.還可以改變這兩道題的條件和結(jié)果進(jìn)行變式訓(xùn)練.

數(shù)學(xué)變式教學(xué)是對小學(xué)生數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的一種重要方式，它能有效地培養(yǎng)和訓(xùn)練小學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性、敏捷性、靈活性、批判性、創(chuàng)造性和邏輯性.但是，數(shù)學(xué)變式教學(xué)不是為“變式”而變式，而是要根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)或者教師教學(xué)的實際需要，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，精心設(shè)計差異性、層次性、開闊性和靈活性的變式教學(xué)，讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上，把數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力，從而激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

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