趙瑞生

摘 要：“抽象”是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征。小學(xué)三年級的學(xué)生，思維正處在由具體形象思維向抽象邏輯思維發(fā)展的階段。在教學(xué)中，解決數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)和學(xué)生思維之間的矛盾需要設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)，積累基本經(jīng)驗(yàn)。因此，“長方形的面積計(jì)算”一課的教學(xué)，首先要安排對具體材料的操作與實(shí)驗(yàn)，獲取直接經(jīng)驗(yàn)；其次，直接經(jīng)驗(yàn)要內(nèi)化為數(shù)學(xué)思考；再次，要對數(shù)學(xué)思考進(jìn)行反思與抽象，概括出面積計(jì)算公式；最后，公式還需返回生活實(shí)際以解決具體問題。

關(guān)鍵詞：基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；數(shù)學(xué)抽象；長方形的面積計(jì)算

“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”，“抽象”是它的本質(zhì)特征。所謂抽象，是指在認(rèn)識過程中，舍棄事物個(gè)別的、非本質(zhì)的屬性，抽取出事物本質(zhì)屬性的過程和方法。“數(shù)學(xué)抽象”是指通過觀察、比較和分析，從數(shù)量關(guān)系和空間形式方面揭示客觀事物本質(zhì)和規(guī)律的一種數(shù)學(xué)研究方法。小學(xué)三年級的學(xué)生，思維正處在由具體形象思維向抽象邏輯思維發(fā)展的階段。數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)和學(xué)生的思維之間存在矛盾，解決這一矛盾的主要方法是設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)，積累基本經(jīng)驗(yàn)。如蘇教版三年級下冊“長方形的面積計(jì)算”，教材安排學(xué)生通過“測量”長方形面積的活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)和總結(jié)規(guī)律，抽象概括出長方形的面積計(jì)算公式。那么，如何基于基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)來展開數(shù)學(xué)抽象呢？

因?yàn)椤皵?shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生通過自己所經(jīng)歷或從事的數(shù)學(xué)活動(dòng)而獲得的感性經(jīng)驗(yàn)與直接經(jīng)驗(yàn)”，所以，首先要安排對具體材料的操作與實(shí)驗(yàn)，獲取直接經(jīng)驗(yàn)；其次，直接經(jīng)驗(yàn)要內(nèi)化為數(shù)學(xué)思考；再次，要對數(shù)學(xué)思考進(jìn)行反思與抽象，概括出面積計(jì)算公式；最后，公式還需返回生活實(shí)際以解決具體問題。

一、動(dòng)手操作，獲取直接經(jīng)驗(yàn)

動(dòng)手操作是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。擺一擺、量一量、畫一畫等“做”的過程，一方面可以把學(xué)生的注意力集中到眼前的活動(dòng)，通過操作，獲得對相關(guān)概念、公式、規(guī)律的一些感性認(rèn)識；另一方面又為后續(xù)的觀察、比較、猜測等思維活動(dòng)提供了直觀材料。在本課中，教師可以設(shè)計(jì)用若干個(gè)1平方分米的正方形，擺出一個(gè)長方形，然后讓學(xué)生說出每排擺幾個(gè)、擺了幾排、一共有多少個(gè)面積單位、長方形的長和寬以及面積分別是多少，并提出：你發(fā)現(xiàn)了什么？學(xué)生匯報(bào)后，形成了表1。

在匯報(bào)的同時(shí)安排質(zhì)疑。比如：為什么每排擺5個(gè)，長就是5分米？擺3排，寬就是3分米？為什么長方形面積是15平方分米？質(zhì)疑的目的是引導(dǎo)學(xué)生邊做邊想，如果只見操作而沒有想的過程，將“想”淹沒在“做”的過程中，就違背了設(shè)計(jì)操作的初衷。比如，為什么每排擺5個(gè)，長就是5分米？因?yàn)槊總€(gè)正方形的邊長是1分米，5個(gè)1分米相加就是5分米。進(jìn)一步觀察，會(huì)發(fā)現(xiàn)：每排擺幾個(gè)，長就是幾分米。這樣就把動(dòng)手操作和數(shù)學(xué)思考結(jié)合起來了。

用小正方形拼擺長方形，是學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，要把生活經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，需要數(shù)學(xué)問題的適時(shí)介入。當(dāng)學(xué)生從活動(dòng)中抽身，借助“你發(fā)現(xiàn)了什么”對活動(dòng)“反省抽象”，會(huì)發(fā)現(xiàn)：用邊長1分米的正方形來擺，每排擺幾個(gè)，長就是幾分米；擺幾排，寬就是幾分米；一共有多少個(gè)面積單位，長方形的面積就是多少平方分米。這里，學(xué)生通過親自“做”獲取了直接經(jīng)驗(yàn)，而獲得的直接經(jīng)驗(yàn)將是后續(xù)進(jìn)一步思考的依據(jù)。

形式化是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一。如果數(shù)學(xué)距離學(xué)生的生活越來越遠(yuǎn)，學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)會(huì)產(chǎn)生“畏懼”。而對具體材料的實(shí)驗(yàn)與操作，手腦并用，產(chǎn)生“對某個(gè)對象的發(fā)生式定義——如何把它做出來”，新知的學(xué)習(xí)就成了令人難忘的探索之旅。在操作的同時(shí)，要明確提出需思考的數(shù)學(xué)問題，如果缺少對問題的關(guān)注與思考，學(xué)生就極容易陷入具體的情境，被外在的學(xué)具的顏色、形狀、質(zhì)地等吸引，這樣的操作活動(dòng)就流于形式，更談不上把生活經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

二、過程內(nèi)化，轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)思考

人類的學(xué)習(xí)，一般是沿著動(dòng)作、表象、符號的路徑，達(dá)到對事物的認(rèn)知。新知的學(xué)習(xí)，是在已有知識與經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的深化和發(fā)展。要把直接經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)思考，往往需要經(jīng)歷多層次的活動(dòng)。數(shù)學(xué)概念具有“兩重性”，一個(gè)數(shù)學(xué)概念由過程向?qū)ο筠D(zhuǎn)化，內(nèi)在的心理機(jī)制是“過程的內(nèi)化、壓縮到對象的實(shí)體化或?qū)ο蠡??！斑^程的內(nèi)化”是一個(gè)操作過程，在本環(huán)節(jié)可以安排如下的活動(dòng)。

活動(dòng)一：求出長是4分米，寬是3分米的長方形面積。要求學(xué)生先想一想，再擺一擺，驗(yàn)證自己的想法是否正確。交流環(huán)節(jié)，教師有意識地安排全部擺滿、不擺滿、只標(biāo)出記號（用1分米分別去量長和寬，做出記號）的分別匯報(bào)。這里的反饋順著學(xué)生的思維實(shí)際，既展示了不同學(xué)生數(shù)學(xué)思考的真實(shí)情況，又體現(xiàn)了逐步簡化的過程。在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)優(yōu)化，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，不用測量，根據(jù)長和寬是幾分米，“想”用1分米量的過程（如：因?yàn)?里面有4個(gè)1，所以一排擺4個(gè)；3里面有3個(gè)1，所以擺3排），同樣可以推算出長方形的面積。這里，學(xué)生會(huì)悄悄地運(yùn)用操作獲取的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行思考。

活動(dòng)二：給出圖形，沒有告訴長和寬各是多長，要求學(xué)生求出它的面積。交流時(shí)，分別讓用面積單位去度量和直接測量長和寬的同學(xué)匯報(bào)。引導(dǎo)比較兩種方法的異同，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)：用面積單位去度量一排擺幾個(gè)、有幾排和直接測量長和寬只是形式不同，實(shí)質(zhì)是一回事。因?yàn)槊娣e單位的邊長是“1”，長里面有幾個(gè)“1”，長就是幾，也就是一排擺幾個(gè)；寬里面有幾個(gè)“1”，寬就是幾，即是有幾排。如果直接測量得出長和寬的數(shù)據(jù)，推算出一排擺幾個(gè)，有幾排，這種方法反而方便。

活動(dòng)三：求長是45米，寬是30米的長方形面積。主要有兩種方法，一種是先畫示意圖再算，一種是直接列式計(jì)算。交流中，教師具體指導(dǎo)示意圖的畫法，并指出可以把示意圖“畫”在腦中，然后推算。“幾何直觀”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）的核心詞，它不僅是種意識，也是種技能，更是種思維方式。在推算長方形面積時(shí)，畫出圖形，把數(shù)據(jù)標(biāo)在圖上，對著圖形思考：因?yàn)殚L度用“米”作單位，所以用邊長1米的正方形來度量。長45米，沿著長一排可以擺45個(gè)正方形；寬30米，可以擺30行；長方形里面1平方米的個(gè)數(shù)是30個(gè)45，所以面積是45×30=1350（平方米）。結(jié)合具體的內(nèi)容，有意識地滲透畫圖的策略，把畫圖、算式、推理有機(jī)結(jié)合，不僅有利于當(dāng)前知識的學(xué)習(xí)，還有助于“幾何直觀”教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成。

從活動(dòng)一到活動(dòng)三，逐步提高要求，任由學(xué)生自由“操作”，增加了思維含量。通常的教學(xué)，經(jīng)歷活動(dòng)一，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)長方形面積計(jì)算公式就已足夠，為什么還要安排后兩個(gè)活動(dòng)？因?yàn)閷?shí)踐操作獲取的直接經(jīng)驗(yàn)要轉(zhuǎn)化為心理操作，需要一定的數(shù)量。沒有一定的數(shù)量，“經(jīng)驗(yàn)”會(huì)沉湎在情境的細(xì)節(jié)之中，而不容易被發(fā)現(xiàn)。當(dāng)操作經(jīng)過重復(fù)實(shí)施而被學(xué)生熟悉，“經(jīng)驗(yàn)”就會(huì)和具體的情境分離，上升為“心理操作”，進(jìn)入到“過程的壓縮和對象化”。上面安排了三次求長方形面積的活動(dòng)，每次求長方形面積，都要想“長、寬與每排擺的個(gè)數(shù)、擺的排數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系”，多次反復(fù)，“長方形面積與長、寬之間的對應(yīng)關(guān)系”就脫離了情境，上升為思考對象，思維活動(dòng)逐步替代操作理解。

三、反思抽象，概括面積公式

把三次活動(dòng)的圖形及面積計(jì)算整體呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生思考如下的問題：長方形的面積和什么有關(guān)？長方形的面積如何計(jì)算？

通過擺一擺、畫一畫、算一算，學(xué)生雖然解決了問題，但這種解決問題的方法是依據(jù)操作獲取的直接經(jīng)驗(yàn)。經(jīng)過多次計(jì)算長方形的面積，長方形的面積與它所包含面積單位的數(shù)量的關(guān)系，面積單位的數(shù)量與每排擺的個(gè)數(shù)、擺的排數(shù)的關(guān)系，長方形的面積與長、寬之間的內(nèi)在聯(lián)系逐漸浮出水面而被學(xué)生理解，在此基礎(chǔ)上，要引導(dǎo)學(xué)生展開數(shù)學(xué)思考以發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律。而要發(fā)現(xiàn)規(guī)律，關(guān)鍵是“反省抽象”，把親身經(jīng)歷的活動(dòng)作為思考的對象。如通過對“長方形的面積和什么有關(guān)”的思考，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：長方形的面積=面積單位的數(shù)量，面積單位的數(shù)量=每排擺的個(gè)數(shù)×擺的排數(shù)，每排擺的個(gè)數(shù)=長，擺的排數(shù)=寬，所以“長方形面積=長×寬”。這里的推理過程相當(dāng)復(fù)雜，但依據(jù)直接經(jīng)驗(yàn)及表象，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造數(shù)學(xué)規(guī)律，思維達(dá)到對知識本質(zhì)的認(rèn)識。

四、回歸生活，運(yùn)用思想方法

解題既是抽象知識的具體化過程，又可從中學(xué)到新的知識、技能和方法，可以安排如下練習(xí)。

1. 如圖1，每個(gè)正方形的邊長是1米，長方形的面積是多少平方米？

2. 一幅長方形十字繡，長8米，寬5米。給這幅十字繡裱一個(gè)畫框，至少需要多長的木條和多大的玻璃？

通常的教學(xué)，在歸納出長方形面積公式后，就直接運(yùn)用公式解決問題，而不太重視“視覺—空間”表征?！耙曈X—空間”表征是指對長方形面積首先形成視覺圖式，接著對面積單位的個(gè)數(shù)和計(jì)算方法進(jìn)行對應(yīng)，形成空間圖式。如練習(xí)1，可以想每排有幾個(gè)、有幾排，或者由每排有幾個(gè)、有幾排得出長和寬各是多少，進(jìn)而算出面積，不是僅僅直接運(yùn)用公式。重視“視覺—空間”表征，有利于學(xué)生空間關(guān)系的形成。

在學(xué)完長方形面積后，學(xué)生經(jīng)常犯的錯(cuò)誤是把面積和周長弄混。題目明明求的是面積，學(xué)生算的確是周長。如果重視“比較”，重視從意義、計(jì)算方法和單位名稱等方面進(jìn)行區(qū)分，將有助于學(xué)生判斷題目究竟要求的是什么。如練習(xí)2，要求學(xué)生畫出圖形，標(biāo)出數(shù)據(jù)。問題“至少需要多長的木條”是求周長，而“需要多大的玻璃”求的則是面積。雖然教材的編排把長方形的周長和面積分別安排在三年級的上冊和下冊，但在教的時(shí)候，教師可以發(fā)揮自己的主觀能動(dòng)性，把周長和面積作為一個(gè)整體，重視比較，在區(qū)別和聯(lián)系中把握概念的本質(zhì)內(nèi)涵。

基于數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)教學(xué)，經(jīng)歷對活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的概括與提煉獲取數(shù)學(xué)知識，不僅有助于學(xué)生真正學(xué)好知識，還將有助于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提升。