夏華

[摘 要] 新修訂的課程標(biāo)準(zhǔn)將數(shù)學(xué)抽象作為核心素養(yǎng)的第一要素，凸顯數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最重要的本質(zhì).抽象能力如何提高？在數(shù)學(xué)抽象中獲得提升的關(guān)鍵是什么？本文以抽象函數(shù)的學(xué)習(xí)為例，談一談數(shù)學(xué)抽象能力如何實(shí)現(xiàn)聚焦.

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)抽象；能力；抽象函數(shù)；思維；模型

新一輪數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)正在修訂過程中，但是數(shù)學(xué)抽象已經(jīng)作為第一準(zhǔn)則被寫入了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求. 為什么每次課程標(biāo)準(zhǔn)的制定中，數(shù)學(xué)抽象一直成為必不可少而且是首當(dāng)其沖的準(zhǔn)則呢？張景中院士這么解釋：數(shù)學(xué)最核心的是研究表象下的本質(zhì)，從中學(xué)數(shù)學(xué)角度來(lái)說(shuō)就是研究問題情境背后的數(shù)學(xué)本質(zhì).然而數(shù)學(xué)問題有具象化的表現(xiàn)，也有抽象化的表現(xiàn)，從中學(xué)生現(xiàn)有的思維程度來(lái)看，具象化的問題在高中生的認(rèn)知中屬于淺層問題，通過運(yùn)算、邏輯思考可以解決，但是抽象化的數(shù)學(xué)問題在中學(xué)生頭腦中尚處于深層次問題，需要加強(qiáng)概念的理解和使用，從漸進(jìn)的角度來(lái)解決問題. 本文從抽象函數(shù)的視角入手，從幾個(gè)教學(xué)相關(guān)方面分析數(shù)學(xué)抽象能力的建立.

特殊到一般的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)抽象能力不是一朝一夕培養(yǎng)的，而且在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)抽象具體在教材中的體現(xiàn)是鳳毛麟角的，導(dǎo)致學(xué)生很難適應(yīng)高中數(shù)學(xué)的抽象部分. 以函數(shù)概念為例，初中數(shù)學(xué)的函數(shù)對(duì)概念的要求比較粗略，這與初中生接受能力相關(guān)，因此函數(shù)都是以具體模型的形態(tài)給出的，而高中數(shù)學(xué)將函數(shù)概念上升到了更為復(fù)雜的問題中，隨之而來(lái)的抽象函數(shù)讓學(xué)生的理解出現(xiàn)了較大的困擾.

問題1：（線性為背景的抽象函數(shù)學(xué)習(xí)）已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>0，f（-1）=-2，則f（x）在區(qū)間[-2，1]上的值域?yàn)開___________.

特殊化分析：作為一道抽象函數(shù)小題，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生小題小做的思路，即能利用特殊化的思路進(jìn)行解決. 在后續(xù)再做出一些抽象性的思考，將問題上升到抽象層面. 我們知道，抽象函數(shù)一般都具備具體的函數(shù)模型，或者可以這么說(shuō)：編制抽象函數(shù)試題的命題者，首先采用一個(gè)具體函數(shù)模型為背景進(jìn)行了性質(zhì)的研究，進(jìn)而抽去表象編制抽象函數(shù)試題. 因此筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)的第一個(gè)階段是利用具象化的問題進(jìn)行試探，引導(dǎo)學(xué)生理解初級(jí)抽象函數(shù)試題是可以用具體函數(shù)模型去適配的，從而簡(jiǎn)化問題的求解. 對(duì)于本題，我們不妨從f（x+y）=f（x）+f（y）及當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>0，f（-1）=-2這些條件出發(fā)，可以令f（x）=2x，問題顯而易見.

變式：若問題以解答題的形態(tài)給出呢？

一般化分析：誠(chéng)然若以解答題的形式給出，上述特殊化的想法自然是不全面的，問題需要回歸到解答題層面求解. 有了特殊化分析給我們做出的良好分析和鋪墊，我們發(fā)現(xiàn)要解決值域問題首先必須解決函數(shù)單調(diào)性，考慮到心底有了函數(shù)模型f（x）=2x支撐，所以只要證明抽象函數(shù)具有單調(diào)遞增的性質(zhì)即可. 不妨設(shè)設(shè)x10，有條件f（x2-x1）>0，知f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1），所以f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）>0，即f（x1）

小結(jié)：我們發(fā)現(xiàn)，抽象函數(shù)問題的教學(xué)從兩個(gè)層面分步進(jìn)行，是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力一種循序漸進(jìn)、螺旋式上升的提高，有了具象化的函數(shù)表達(dá)式自然對(duì)抽象函數(shù)的分析做到了心中有底，自然而然有了思考的方向，形成從特殊到一般的數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng).

從圖形化的角度培養(yǎng)

解決數(shù)學(xué)抽象問題，直觀感性永遠(yuǎn)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的第一準(zhǔn)則.要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，離不開圖形化思想的滲透，有了直觀才能想象，有了感性才會(huì)理性.

問題2：對(duì)定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x），表達(dá)式f（a+x）=f（b-x）與f（a+x）+f（b-x）=0的理解.

圖形化分析：函數(shù)中有很多抽象代數(shù)式，這些表達(dá)式闡述了函數(shù)的某一些數(shù)學(xué)性質(zhì)，但是學(xué)生往往區(qū)分不清. 筆者認(rèn)為教學(xué)可以從圖形化角度入手，借助圖形化的手段進(jìn)而回頭思考抽象代數(shù)式的含義，將抽象問題結(jié)合具體圖像理解，有助于數(shù)學(xué)抽象能力的提高. 從f（a+x）=f（b-x）中，我們知道a，b是兩個(gè)常數(shù)，對(duì)定義域?yàn)镽的函數(shù)而言，即x任意變化情況下，我們作出其圖像（圖1）：

結(jié)合圖像大家發(fā)現(xiàn)，抽象代數(shù)式f（a+x）=f（b-x）中所表示的含義是，自變量x1=a+x與x2=b-x到它們的中點(diǎn)等距離，其函數(shù)值也相等，隨著x的變換，但是自變量x1=a+x與x2=b-x的函數(shù)值永遠(yuǎn)相等，從而從其運(yùn)動(dòng)軌跡可知函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=成軸對(duì)稱. 類似的，我們可以引導(dǎo)學(xué)生：

對(duì)定義域?yàn)镽的函數(shù)而言，即x任意變化情況下，我們作出其圖像（圖2）：結(jié)合圖像大家發(fā)現(xiàn)，抽象代數(shù)式f（a+x）+f（b-x）=0中所表示的含義是，自變量x1=a+x與x2=b-x到它們的中點(diǎn)等距離，其函數(shù)值互為相反數(shù)，隨著x的變換，但是自變量x1=a+x與x2=b-x的函數(shù)值永遠(yuǎn)互為相反數(shù)，從而從其運(yùn)動(dòng)軌跡可知函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)，0成中心對(duì)稱.

抽象代數(shù)式認(rèn)知培養(yǎng)：有了上述圖形化思路的分析，學(xué)生在閱讀這樣的類似抽象代數(shù)式時(shí)，常常可以利用腦海中的圖像為輔助，進(jìn)而加強(qiáng)對(duì)抽象代數(shù)的閱讀和理解.可以給出類似問題，以供學(xué)生認(rèn)知和理解：

訓(xùn)練1：設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，則下列命題中：①若y=f（x）是偶函數(shù)，則y=f（x+2）圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；②若y=f（x+2）是偶函數(shù)，則y=f（x）圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱；③若f（x-2）=f（2-x），則函數(shù)y=f（x）圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱；④y=f（x-2）與y=f（2-x）圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱. 其中正確命題序號(hào)為__________.（答案：②④）

訓(xùn)練2：已知函數(shù)y=f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x滿足f（2-x）=f（4+x），且方程f（x）=0有5個(gè)實(shí)根，則這5個(gè)實(shí)根之和為_________.（答案：15）

小結(jié)：函數(shù)中許多抽象的代數(shù)式，有表述對(duì)稱性的、有表述周期性的，對(duì)于數(shù)學(xué)抽象思維能力的培養(yǎng)依賴圖形化思想的實(shí)踐來(lái)加強(qiáng)是一種常用的手段，從本問題的研究中我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生懼怕的抽象代數(shù)式，通過圖像分析獲得了理解，將抽象代數(shù)式的含義理解到位，對(duì)于所有的同類問題有了全面的抽象理解，提高了數(shù)學(xué)抽象的能力.

從重要函數(shù)模型的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)抽象能力在函數(shù)教學(xué)中的運(yùn)用離不開從重要函數(shù)模型中的滲透，加強(qiáng)重要函數(shù)模型中相關(guān)問題的理解和運(yùn)用，是提高其抽象能力的一個(gè)重要環(huán)節(jié).

問題3：已知函數(shù)f（x）滿足定義域在（0，+∞）上的函數(shù)，對(duì)于任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），當(dāng)且僅當(dāng)x>1時(shí)，f（x）<0成立. （1）設(shè)x，y∈（0，+∞），求證：f=f（y）-f（x）；（2）設(shè)x1，x2∈（0，+∞），若f（x1）

證明：（1）因?yàn)閒（xy）=f（x）+f（y），所以f+f（x）=f（y），所以f=f（y）-f（x）.

（2）因?yàn)閒（x1）

因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)x>1時(shí)，f（x）<0成立，所以當(dāng)f（x）<0時(shí)，x>1，所以>1，x1>x2.

（3）令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y）得f（1）=f（1）+f（1），f（1）=0，所以關(guān)于x的不等式f（x2-a+1）<0為f（x2-a+1）1？圯x2>a，下面簡(jiǎn)要討論即可：當(dāng)a<0時(shí)，不等式恒成立，x∈R；當(dāng)a=0時(shí)，顯然不等式的解為x≠0即可；當(dāng)a>0時(shí)，不等式的解為x<-或x>.

小結(jié)：函數(shù)章節(jié)中抽象能力的聚焦還需要一定典型的、相關(guān)的函數(shù)模型為載體，筆者教學(xué)中一般選用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)為背景的試題各一，以重要的基本初等函數(shù)為背景，融合抽象函數(shù)中較為重要的“令”的方式，解決抽象函數(shù)解決中的一些特殊值，進(jìn)而通過構(gòu)造利用函數(shù)單調(diào)性解決問題.

總之，數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)需要教師日復(fù)一日的滲透、培養(yǎng)，以函數(shù)為例的本文僅僅從少數(shù)方面做出了一些實(shí)踐. 筆者認(rèn)為，將直觀和感性融入抽象函數(shù)教學(xué)中，循序漸進(jìn)地認(rèn)知、理解抽象函數(shù). 數(shù)學(xué)抽象是一個(gè)綜合性的能力，其在后續(xù)向量、幾何等很多章節(jié)都有體現(xiàn)，從函數(shù)章節(jié)中獲得的經(jīng)驗(yàn)去啟發(fā)、思考有助于學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的抽象知識(shí).