沙瓊
[摘 要]初中數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想方法有:數(shù)形結(jié)合的思想方法、化歸思想方法、分類思想方法、函數(shù)思想方法、方程思想方法等。只有領(lǐng)會(huì)了數(shù)學(xué)思想方法,才能有效地應(yīng)用知識(shí),形成能力,為解決數(shù)學(xué)問題。
[關(guān)鍵詞]初中數(shù)學(xué);思想方法;解決問題;學(xué)習(xí)效率
近幾年來數(shù)學(xué)中考對(duì)數(shù)學(xué)思想的重視,所以在教學(xué)中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在初中階段的教學(xué)建議中要求“對(duì)于重要的數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)體現(xiàn)螺旋上升的、不斷深化的過程,這就要求我們教師能在實(shí)際的教學(xué)過程中不斷地發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、滲透數(shù)學(xué)思想方法。運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程就是感性認(rèn)識(shí)不斷積累的過程。學(xué)生只有領(lǐng)會(huì)了數(shù)學(xué)思想方法,才能有效地應(yīng)用知識(shí),形成能力,為解決數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)思維起到很好的促進(jìn)作用。
一、滲透化歸思想,提高學(xué)生解決問題的能力
“化歸”是指把要解決的問題,通過轉(zhuǎn)化,歸結(jié)到已經(jīng)解決或比較容易解決的問題中去,最終使問題得到解決的一種思想方法?;瘹w思想在本教材的數(shù)學(xué)教學(xué)中是貫穿始終的。
比較典型的體現(xiàn)在在教材《有理數(shù)的減法》、《有理數(shù)的除法》這兩節(jié)內(nèi)容中,在學(xué)習(xí)過有理數(shù)的加法和有理數(shù)的乘法后,通過 “議一議”形式使學(xué)生在自主探究和合作交流的過程中,讓學(xué)生經(jīng)歷把有理數(shù)的減法、除法轉(zhuǎn)化為加法、乘法的過程,體驗(yàn)、轉(zhuǎn)化的思想方法?!俺梢赞D(zhuǎn)化為乘法”、“除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”。這在主觀上幫助了學(xué)生在探索時(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化的過程,而在學(xué)生體會(huì)到成功后客觀上就滲透了學(xué)生化歸的思想。再如圖形題中研究四邊形時(shí),我們把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形來解決。解分式方程轉(zhuǎn)化為解整式方程,解“二元”方程轉(zhuǎn)化為解“一元”方程,解多邊形問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題等等。
二、滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法,提高學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)化能力和遷移思維的能力
數(shù)形結(jié)合思想是指將數(shù)與圖形結(jié)合起來解決問題的一種思維方式。在教材《有理數(shù)》這一節(jié)中用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示有理數(shù),就是最簡(jiǎn)單的數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn),結(jié)合數(shù)軸表示有理數(shù)很直觀,能幫助學(xué)生較好地理解有理數(shù)的絕對(duì)值、相反數(shù)等概念,以及進(jìn)行兩個(gè)有理數(shù)的大小比較。
三、滲透分類討論的思想方法,培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、靈活解決問題的能力。
在滲透分類討論思想的過程中,首先要能培養(yǎng)學(xué)生分類的意識(shí),然后才能在其基礎(chǔ)上進(jìn)行討論。在我們所學(xué)教材中不難發(fā)現(xiàn),在《有理數(shù)》這一節(jié)研究相反數(shù)、絕對(duì)值、有理數(shù)的乘法運(yùn)算的符號(hào)法則等都是按有理數(shù)分成正數(shù)、負(fù)數(shù)、零三類分別研究的:在研究平面圖形中在滲透分類討論思想的時(shí)候,用的非常多。如在研究《三角形》時(shí)把三角形按邊來分和按角來分,分別把三角形分為等腰三角形和斜三角形;銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形,這樣分就能做到三角形不重不漏。在《圓》這一節(jié)中數(shù)學(xué)分類思想滲透的就更多,如:點(diǎn)與圓的位置關(guān)系;直線與圓的位置關(guān)系和圓與圓的位置關(guān)系都用到分類的數(shù)學(xué)思想。再如:講解二次函數(shù)時(shí)我們把二次函數(shù)分為 y=ax2 , y=ax2 + C y=a(x﹣h)2,y=a(x﹣h)2+k, y=ax2+bx+c來研究。并且都從開口方向,頂點(diǎn)坐標(biāo),對(duì)稱軸和圖形的性質(zhì)來研究。通過對(duì)這些問題的解決滲透著分類討論的思想。能讓學(xué)生學(xué)會(huì)從多角度、多方面去分析,培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性、全面性。
四、滲透方程思想,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力。
方程思想指借助解方程來求出未知量的一種解題策略。它是從問題的數(shù)量關(guān)系入手,運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,將問題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系通過適當(dāng)設(shè)元建立起方程(組),然后通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解的思維方式。有時(shí),還實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化。笛卡爾的方程思想是:實(shí)際問題→數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程問題運(yùn)用方程思想求解的題目在中考試題中隨處可見。同時(shí),方程思想也是我們求解有關(guān)圖形中的線段、角的大小的重要方法。
例如:一個(gè)不透明的袋中裝有12個(gè)紅球和若干個(gè)黑球,每個(gè)球除顏色外都相同,任意摸出一個(gè)球是黑球的概率為,那么袋中的黑球有 4 個(gè).
【分析】首先設(shè)袋中的黑球有x個(gè),根據(jù)題意得:=,解此分式方程即可求得答案.
【解答】解:設(shè)袋中的黑球有x個(gè),
根據(jù)題意得:=,
解得:x=4,
經(jīng)檢驗(yàn):x=4是原分式方程的解.
即袋中的黑球有4個(gè).
故答案為:4.
經(jīng)典例題(山西省中考試題)已知:如圖,將矩形ABCD沿著直線BD折疊,使點(diǎn)C落在C′處,BC′交AC于E,AD=8,AB=4,求△BED的面積.
解法 : 如圖,在矩形ABCD中,
∵ AD∥BC,∴ ∠2=∠3.
當(dāng)矩形ABCD沿著直線BD折疊后,△BC′D與△BCD關(guān)于直線BD對(duì)稱,
∴ ∠1=∠2,故∠2=∠3.
∴ △BED是等腰三角形,
BE=ED
作EF⊥BD于F,則BF=BD=2.設(shè)BE=x,
∵ BE=ED,∴ AE=8-x,
在Rt△ABE中,42+(8-x)2=x2,解之,得x=5,
在Rt△BEF中,x2=EF2+(2)2
∴ EF= ,∴ S△BDE=BD·EF=10.
點(diǎn)評(píng):本題中的解法二就是用方程解決,思路清晰,直接,容易解決。
五、函數(shù)思想
函數(shù)思想是建立函數(shù)關(guān)系,運(yùn)用變化的觀點(diǎn)把數(shù)量關(guān)系表示出來,運(yùn)用函數(shù)的圖像及性質(zhì)去解決問題。 例如.某種商品每件進(jìn)價(jià)為20元,調(diào)查表明:在某段時(shí)間內(nèi)若以每件x元(20≤x≤30,且x為整數(shù))出售,可賣出(30﹣x)件.若使利潤(rùn)最大,每件的售價(jià)應(yīng)為 25 元.【分析】二次函數(shù)的應(yīng)用本題是營(yíng)銷問題,基本等量關(guān)系:利潤(rùn)=每件利潤(rùn)×銷售量,每件利潤(rùn)=每件售價(jià)﹣每件進(jìn)價(jià).再根據(jù)所列二次函數(shù)求最大值.
【解答】解:設(shè)最大利潤(rùn)為w元,
則w=(x﹣20)(30﹣x)=﹣(x﹣25)2+25,
∵20≤x≤30,
∴當(dāng)x=25時(shí),二次函數(shù)有最大值25,故答案是:25.
本題考查了把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),再利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用.此題為數(shù)學(xué)建模題,借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題.有時(shí)函數(shù)與方程思想又是相互轉(zhuǎn)化的。
數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂。日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏,他深深感到,“許多在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí),如果畢業(yè)后沒有什么機(jī)會(huì)去用的話,時(shí)間不久就忘掉了,然而,數(shù)學(xué)思想方法學(xué)好了,在數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)下解決數(shù)學(xué)問題,就比較容易。使他們終身受益” 運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程就是感性認(rèn)識(shí)不斷積累的過程。 學(xué)生領(lǐng)會(huì)了數(shù)學(xué)思想方法,能有效地應(yīng)用知識(shí),形成能力對(duì)數(shù)學(xué)思維起到很好的促進(jìn)作用。endprint